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人教版-高中数学选修2-3


计数原理(二)
§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方 法. 2、分步乘法计数原理:完成一件事,需要分成n个步 骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点:回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点:分类加法计数原理与分类有关, 分步乘法计数原理与分步有关。

分类计数原理
区别1 完成一件事,共有n类 办法,关键词“分类”

分步计数原理
完成一件事,共分n个 步骤,关键词“分步”

每类办法都能独立地完成 这件事情,它是独立的、 区别2 一次的、且每次得到的是 最后结果,只须一种方法 就可完成这件事。 区别3

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能独立完成这件 事,缺少任何一步也不能完成 这件事,只有各个步骤都完成 了,才能完成这件事。
各步之间是互相关联的。

各类办法是互相独立的。

即:类类独立,步步关联。

用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始 计算之前要进行仔细分析 ,需要分类还是需要分步. 分类要做到“不重不漏”. 分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加 法计数原理求和,得到总数. 分步要做到“步骤完整” ― 完成了所有步骤,恰好完成任务, 当然步与步之间要相互独立. 分步后再计算每一步的方法数, 最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方 法数相乘,得到总数.

例1.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线
路可通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条
第二类, m2 = 1 条

第三类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。

例2

随 着人们生活水平的提 高 ,某城市家

庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要 扩容. 交通管理部门出台了一种汽车牌照组 成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重 复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数 字, 并且3个字母必须合成一组出现, 3个数字也 必须合成一组出现 . 那么这种办法共能给多 少辆汽车上牌照 ?
分析 按照新规定 , 牌照可以分为 2 类,即字 母组合在左和字母组合 在右.确定一个牌照 的字母和数字可以分 6个步骤.

解 将汽车牌照分为2类, 一类字母组合在左,另一 类的字母组合在右 . 字母组合在左时,分6个步骤确定一个汽车牌照的 字母和数字 : 第1步, 从26个字母中选1个, 放在首位,有26种选法; 第 2 步, 从剩下的25个字母中选1 个, 放在第2位, 有 25种选法; 第3步, 从剩下的24个字母中选 1 个, 放在第3位, 有 24种选法;

第4步, 从10个数字中选 1个, 放在第4位,有10种选法;

第5步, 从剩下的9个数字中选1个, 放在第5位,有9 种选法; 第6步, 从剩下的8 个数字中选1个, 放在第6位, 有8 种选法. 根据分步乘法计数原理, 字母组合在左的牌照共 有26 ? 25 ? 24 ? 10 ? 9 ? 8 ? 11 232 000 ?个?. 同理,字母组合在右的牌照也有11 232 000个. 所以,共能给11232000 ? 11232000 ? 22464000 辆汽车上牌照.
思考 你能归纳一下用分类加 法计数原理、分步乘 法计数原理解决计数问 题 的 方 法 吗?

练习
1、乘积 ( a1 ? a 2 ? a 3 )( b1 ? b2 ? b3 )( c1 ? c 2 ? c3 ? c 4 ? c5 ) 展开后共有几项?

2、某商场有6个门,如果某人从其中的任意一个 门进入商场,并且要求从其他的门出去,共有多 少种不同的进出商场的方式?

例3. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人 限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争 夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多 少种?
解:(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每 个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 . (2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种 故有n=5×5×5×5= 54 种 .

例4:用0,1,2,3,4,5这六个数字可

以组成多少个无重复数字的
(1)四位密码? (2)四位数?

(3)能被5整除的四位数?

? 用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四

个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜 色,相邻的区域颜色不同,问有多少种 不同的涂色方案?

?

3. 用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图 中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜 色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?

? 解析:给各区域标记号A、B、C、D、E,则A区域有4种不

同的涂色方法,B区域有3种,C区域有2种,D区域有2种, 但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色,如果B与D颜色相 同有 2 种,如果不相同,则只有一种 . 因此应先分类后分 步.

? ?

?

第一类, B 、 D 涂同色时,有 4×3×2×1×2 = 48 种, 第二类,当 B 、 D 不同色时,有 4×3×2×1×1 = 24 种, 故共有48+24=72种不同的涂色方法.

练习:
1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚 班,有多少种不同的选法? 2、乘积(a1+a2+a3 )(b1+b2+b3+b4 )(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项? 3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重 复数字的三位数?

4、由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个有重复数字的三位数?

5、3个班分别从5个风景点中选择一处游览,不同选法的种数 是35还是53?

6、集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} .从A,B 中各取1个元素作为 点P(x,y) 的坐标. (1)可以得到多少个不同的点? (2)这些点中,位于第一象限的有几个?

练习: 有架楼梯共6级,每次只 允许上一级或两级,求上完这架楼梯 共有多少种不同的走法? 第1类:走3步 第2类:走4步 第3类:走5步 第4类:走6步
1种走法 6种走法 5种走法 1种走法

N=1+6+5+1=13(种)


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