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广东省2017届高三上学期阶段性测评理数试题Word版含答案.doc


理科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ? x x ? ?1? ,B ? ?x y ? ln ? x ? 2 ?? ,则 A ? CR B ? ( A. ? ?1 ,2? B. ? 2 , ? ? ? C. ? ?1 ,2? ) D. ? ?1 , ? ? ? )

x ?1 ? ?2e ,x ? 2 2.设函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? f ? 2? ? 的值为( 2 ? ?log 3 ? x ? 1? ,x ? 2

A.0

B.1

C.2

D.3 )

3.若实数 x , y 满足 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x2 ? y2 的最小值为( A.3 B. 5 C. 3 D. 2

4.在区间 ?0 , 1? 上随机选取两个数 x 和 y ,则 y ? 2 x 的概率为( A.



1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

1 3

5.已知命题:p : ?x ? R ,x2 ? 2 x sin ? ? 1 ? 0 ; 命题 q : ?? , ? ? R ,sin ?? ? ? ? ? sin ? ? sin ? . 则下列命题中的真命题为( A. ? ?p ? ? q ) C. ? ?p ? ? q D. ? ? p ? q ?

B. p ? ? ?q ?

6.三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面,且 AB ? BC , AB ? BC ? AA1 ? 2 ,若该三棱柱的 所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A. 48? B. 32? C. 12? ) D. 8?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? 7.已知向量 AB ,AC ,AD 满足 AC ? AB ? AD , AB ? 2 , AD ? 1 , E ,F 分别是线段

??? ? ???? ???? ??? ? 5 BC ,CD 的中点,若 DE ? BF ? ? ,则向量 AB 与 AD 的夹角为(

4



A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

8.已知双曲线

x2 y 2 右焦点分别为 F1 ,F2 , 且 F2 为抛物线 y 2 ? 24 x ? ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的左、 a2 b2

的焦点,设点 P 为两曲线的一个公共点,若 △PF1 F2 的面积为 36 6 ,则双曲线的方程为 ( A. )

x2 y 2 ? ?1 9 27

B.

x2 y 2 ? ?1 27 9

C.

x2 y 2 ? ?1 16 9

D.

x2 y 2 ? ?1 9 16


9.执行如图所示的程序框图,若 x ??a , b? , y ??0 ,4? ,则 b ? a 的最小值为(

A.2

B.3
7

C.4

D.5 )

10.若 ?1 ? 2x ??1 ? 2x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? … ? a8 x8 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? … ? a7 的值为( A. ?2 B. ?3 C.253 D.126

???? ? ???? 11.过抛物线 C : y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 M ,N 两点, 若 MF ? 4FN ,

则直线 l 的斜率为( A. ?



3 2

B. ?

2 3

C. ?

3 4

D. ?

4 3

12.函数 f ? x ? ? sin ?x ? 3cos ?x ?1 的最小正周期为 ? ,当 x ? ? m ,n? 时, f ? x ? 至少有 12 个零点,则 n ? m 的最小值为( A. 12? B. ) C. 6? 第Ⅱ卷 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.复数 z 在复平面内的对应点是 ?1 , ? 1? ,则 z ? 14.定积分 ?
1

7? 3

D.

16? 3



0

?

1 ? x 2 ? x dx 的值为

?



15.定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ,则 f ?37.5? 等于 .

16.将一块边长为 6cm 的正方形纸片,先按如图(1)所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三 角形,然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型(底面是正方形,从顶点向底面 作垂线,垂足是底面中心的四棱锥) ,将该四棱锥如图(2)放置,若其正视图为正三角形, 则其体积为
cm 2 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 在 △ ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,已知 A ? 60? ,b ? 5 ,c ? 4 . (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求 sin B sin C 的值. 18.(本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,且 2a1 ? d ,2an ? a2n ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 2n

19.(本小题满分 12 分) 某市为了解各校《国学》课程的教学效果,组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知 识水平测试,测试成绩从高到低依次分为 A、B、C、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学 校各 60 名学生的成绩,得到如下的分布图:

(Ⅰ)试确定图中 a 与 b 的值; (Ⅱ)规定等级 D 为“不合格”,其他等级为“合格”,以事件发生的频率作为相应事件发生的 概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选 1 名学生,求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的 概率. 20.(本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PC ,底面 ABC 为正三角形.

(Ⅰ)证明: AC ? PB ; (Ⅱ)若平面 PAC ? 平面ABC , AC ? PC ? 2 ,求二面角 A ? PC ? B 的余弦值. 21.(本小题满分 12 分) 椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 . a 2 b2

(Ⅰ)若椭圆 E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,求椭圆 E 的离心率; (Ⅱ)若椭圆 E 过点 A ? 0 , ? 2 ? ,直线 AF1 , AF2 与椭圆的另一个交点分别为点 B ,C ,且
△ ABC 的面积为

50c ,求椭圆 E 的方程. 9

22.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x2 ? x ,其中 a ? R . (Ⅰ)当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

2016-2017 学年度高三年级阶段性测评(一) 理科数学参考答案及评分参考 一、选择题 1-5:CCDAB 解析: 1.C 【解析】 A ? ? ?1 ,? ?? , B ? ? 2 ,? ?? , CR B ? ? ?? ,2? ,∴ A ? CR B ? ? ?1 ,2? . 2.C 【解析】 f ? f ? 2?? ? f ? log3 3? ? f ?1? ? 2 ? e0 ? 2 . 3.D 【解析】 z ? x2 ? y2 的最小值为 2 . 6-10:CBAAC 11、12:DD

1 1 ?1? 2?1. 4.A 【解析】 y ? 2 x 的概率为 2 1 4

5.B 【解析】 p : x2 ? 2x sin? ? 1 ? ? x ? sin? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? x ? sin? ? ? cos2 ? ? 0 ,∴ p 为真
2 2

命题.

q:当? ? ? ?

5? 5? 时, ? ? ? ? , sin ?? ? ? ? ? 1 , sin ? ? sin ? ? ? 2 , 4 2

∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ,∴ q 为假命题,∴ p ? ? ?q ? 为真命题. 6.C 【解析】如图,由题可知矩形 AA1C1C 的中心 O 为该三棱柱外接球的球心,

OC ? 12 ?

? 2?

2

? 3.

∴该球的表面积为 4?

? 3?

2

? 12? .

7.B

???? ??? ? ???? ??? ? AD ??? ? ???? AB ,BF ? AD ? 【解析】 DE ? AB ? , 2 2

??? ? 2 ???? 2 ???? ??? ? ???? ??? ? ? ???? AB AD 5 AD ? AB 5 5 ??? 5 ? ? ? ? ? AB ? AD ? ? . ∴ DE ? BF ? ? 2 2 4 2 4 4
??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 1 ? ∴ AB ? AD ? 1 , cos ? AB ,AD ?? ,∴ AB 与 AD 的夹角为 . 2 3

1 8.A 【解析】 设 P 点为第一象限点, 且 P ? x1 , ∴ y1 ? 6 6 , y1 ? ,S△PF1F2 ? ?12 ? y1 ? 36 6 , 2
x1 ? 9 ,∴ 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,∴ a ? 2 ,b ? 27 ,故双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 27

? x ? 1 ,x ? 0 9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数 y ? ? 的函数值, 2 ?4 x ? x ,x ? 0

如图可知 2 ? ? a ,b? ,当 a ? 0 ,b ? 2 或 a ? 2 ,b ? 4 时符合题意,∴ b ? a ? 2 .

10.C 【解析】令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? … ? a8 ? 3 , a8 ? 2 ? ? ?2? ? ?256 ,
7

∴ a0 ? … ? a7 ? ?a8 ? 3 ? 253 .
???? ? ???? 11.D 【解析】不妨设 M ? x1 , y1 ?? x1 ? 0 , y1 ? 0? , N ? x2 , y2 ? ,∵ MF ? 4FN ,

∴ y1 ? ?4 y2 ,又 y1 y2 ? ? p2 ,

p ? ?0 4 p p 4 2 ∴ y2 ? ? , ? .根据对称可得直线 l 的斜率为 ? . x2 ? ,∴ kMN ? p p 3 2 8 3 ? 8 2

?? ?? ? ? 12.D 【解析】由题知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 ,f ? x ? ? 0 ,2sin ? 2 x ? ? ? ?1 , 3? 3? ? ? ?? 1 ? ∴ sin ? 2 x ? ? ? ? . 3? 2 ?

由周期性可知 n ? m ? 5? ? 二、填空题 13. 1 ? i 【解析】 13. z ? 1 ? i ,∴ z ? 1 ? i . 14. ?
1

?
3

?

16? 16? ,∴ ? n ? m?min ? . 3 3

14.

?
4

?

1 2

15. 0.5

16.

8 6 3

0

?

1 ? x2 ? x dx ? ? 1 ? x 2 dx ? ? xdx ,由几何意义得 ? 1 ? x2 dx ?
0 0

?

1

1

1

?
4

0

,又

?

1

0

xdx ?
1

1 2 1 1 x 0? . 2 2
2

∴?

0

1 ? . ? 1 ? x ? x? dx ? ? 4 2

15.∵ f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,∴ f ? x ? 4? ? f ? x ? 且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? , 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ,
? 1? ?1? 1 ∴ f ? 37.5 ? ? f ?1.5 ? ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? . 2 ? ? ?2? 2

2 16.由正视图为正三角形可知,图(1)中 PD ? 2CD ,∴ PD ? ? 3 2 ? 2 2 , 3
∴正三角形的边长为 2 2 , PO ? PD2 ? OD2 ? 6 .
1 8 6 ∴四棱锥的体积为 ? 6 ? 8 ? . 3 3

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由余弦定理得: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 21,∴ a ? 21 .……………………5 分 (Ⅱ)∵ ? 2R ? ?
2

a2 ? 28 , sin 2 A
2

∴ sin B sin C ?

bc

? 2R ?

?

5 .……………………………………………………………………10 分 7

18.解: (Ⅰ)由题可得:

2a1 ? 4 ? n ? 1? a1 ? a1 ? 2 ? 2n ? 1? a1 ? 1 ,解得 a1 ? 1 ,d ? 2 .

∴ an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 1 n ? N * .………………………………………………5 分 (Ⅱ)∵ bn ? ∴ Sn ?

?

?

an 2n ? 1 ? n , 2n 2


1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n?1 ? n . 2 2 2 2 2

1 1 ? 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 ∴ Sn ? 2 ? 3 ? … ? n?1 ? ? n?1 .② 2 2 2 2 2n 2
① ? ② 得:

? 2n ? 1 ? ? n ?1 . ? 2 1 1 ? 2n ? 1 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 S n ? 1 ? 22 ? 2 ? 3 ? … ? n ? ? n ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? … ? n ? 2 ? n ? 3 ? .…… 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 2n ?2 1 1 1 1 ? 1 Sn ? ? 2 ? 2 ? 3 ? … ? n 2 2 2 2 ?2

12 分 19.解: (Ⅰ) a ? 15 ,b ? 0.5 ;??………………4 分 (Ⅱ)记 E1 表示事件“甲校国学成绩等级为 A“,则 P ? E1 ? ? 绩等级为 B” ,则 P ? E2 ? ?

6 ; E2 表示事件“甲校国学成 54

15 ; 54

20.(Ⅰ)证明:取 AC 的中点 O ,连接 PO , BO , ∵ PA ? PC , ∴ PO ? AC , 又 AB ? CB , ∴ AC ? 平面POB , ∴ AC ? PB .………………………………5 分 (Ⅱ)平面 PAC ? 平面ABC 且交于 AC , PO ? AC , ∴ PO ? 平面ABC ,则可建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz .

又 PA ? PC ,AC ? PC ? 2 , △ ABC 为正三角形, ∴ P 0 ,0 , 3 ,B 0 , 3 ,0 ,C ? ?1 ,0 ,0 ? ,
??? ? ??? ? PB ? 0 , 3 , ? 3 ,BC ? ?1 , ? 3 ,0 .

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ? ?n ? PB ? 0 ? 设 n ? ? x ,y ,z ? 为平面 PBC 的法向量,则 ? ??? , ? ? ?n ? BC ? 0 ? ? ?z ? y ? 3 y ? 3z ? 0 ∴? ,∴ ? , x ? ? 3 y ? ? x ? 3 y ? 0 ? ? ?
取 y ? ?1 ,则 n ?

?

3 , ? 1 , ? 1 为平面 PBC 的一个法向量,

?

??? ? 又 OB ? 0 , 3 ,0 为平面 PAC 的一个法向量,

?

?

??? ? ∴ cos ? n ,OB ??

? 3 5? 3

??

5 , 5
5 .……………………………………12 分 5

则二面角 A ? PC ? B 的余弦值为

21.(Ⅰ)∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列, ∴ 2b ? a ? c ,4b2 ? a2 ? 2ac ? c2 ,4 a2 ? c2 ? a2 ? 2ac ? c2 , ∴ 3a 2 ? 5c 2 ? 2ac ? 0 , 两边同除以 a 2 得, 5c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , 解得 e ?

?

?

c 3 ? .………………………………5 分 a 5

(Ⅱ)由已知得 b ? 2 , 把直线 AF2 : y ?

2 x2 y 2 x ? 2 代入椭圆方程 2 ? ? 1 ,得 a2 ? c2 x2 ? 2a2cx ? 0 , c a 4

?

?

4 ? c2 ? c ? 2a 2 c ? 2 ∴x? 2 . a ? c2 c ?2

? ? 4 ? c2 ? c ? ,y ? . ∴C? 2 ? c ?2 ? ? ?

由椭圆的对称性及平面几何知识可知, △ ABC 面积为:
2 1 2 2 2 ??4 ? c ?c ? ? , S ? ? 2x ? y ? 2? ? x ? ? 2 2 c c? c ?2 ? ? ? 2

2 ??4 ? c ?c ? 50 ? ? ∴ ? 2 ? c ,解得 c 2 ? 1 , c? c ?2 ? 9 ? ?
2 2

∴ a2 ? 5 . 故所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……………………………………12 分 5 4

22.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? ? a ln x ? x2 ? x 的定义域为 ? 0 ,? ?? ,

f '? x? ?

a 2 x2 ? x ? a , ? 2x ? 1 ? x x

设 g ? x ? ? 2x2 ? x ? a , ? ? 1 ? 8a ,

1 (1)当 a ? 时, ? ? 0 , g ? x ? ? 0 成立,故 f ' ? x ? ? 0 成立, f ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 上为增函数; 8
(2)当 0 ? a ?
1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a 1 ,x2 ? 时, ? ? 0 ,令 g ? x ? ? 0 ,得 x1 ? . 4 4 8

显然 x2 ? x2 ? 0 , 当 x ? ? 0 ,x1 ? 时, g ? x ? ? 0 , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数, 当 x ? ? x1 , x2 ? 时, g ? x ? ? 0 , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 为减函数, 当 x ? ? x2 , ? ? ? 时, g ? x ? ? 0 , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数,

1 综上,当 a ? 时, f ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 上为增函数, 8
当0? a ?
? ? 1 ? 1 ? 8a ? ? 1 ? 1 ? 8a 1 时, f ? x ? 在 ? ,? 0, ,? ? ? ? ? ? ? ? 上为增函数, 4 4 8 ? ? ? ?

? 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ? 在? , ? ? ? 上为减函数.…………………………5 分 4 4 ? ?

(Ⅱ)显然 f ?1? ? 0 ,由 x ? 1 可知: 当 a ? 0 时, a ln x ? 0 ,x2 ? x ? 0 ,故 f ? x ? ? 0 成立;

当 a ? 0 时, ? ? 1 ? 8a ? 0 . 令 g ? x ? ? 0 ,得 x1 ?
1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ,x2 ? . 4 4

显然 x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 当 x ? ? 0 ,x2 ? 时, g ? x ? ? 0 , f '? x? ? 0 , f ? x ? 为减函数, 当 x ? ? x2 , ? ? ? 时, g ? x ? ? 0 , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 为减函数; 若 ?1 ? a ? 0 ,则 x2 ? 1 ,当 x ? 1 时, f ? x ? 为增函数,故 f ? x ? ? f ?1? ? 0 成立; 若 a ? ?1 , 则 x2 ? 1 ,由 f ? x ? 在 ? 0 , 当 x ? ?1 ,x2 ? 时, f ? x ? 为减函数, x2 ? 上为减函数可知,
f ? x ? ? f ?1? ? 0 与题意不符,舍去.

综上, a 的取值范围是 ? ?1 , ? ? ? .


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