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山东省荣成市第六中学2017届高三10月月考理数试题Word版含答案.doc


数学(理科)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | y ? A. (0, ??)

x}, B ? {x | y ? ex } ,则 A ? B ? (
B. [0, ??) C. (1, ??)

) D. (??, ??)

2.在矩形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点, AB ? a , AD ? b ,则 BE ? ( A. ?

??? ?

?

????

?

??? ?



1? ? a ?b 2

B.

1? ? a ?b 2
C. 36?

C. ? )

1? ? a ?b 2
D. 48?

D.

1? ? a ?b 2

3.棱长为 2 的正方体外接球的表面积是( A. 4? B. 12?

4.已知复数 z ? (a2 ? 4) ? (a ? 2)i(a ? R) ,则“ a ? 2 ”是“ z 为纯虚数”的( A.充分不必要条件



B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件

5.为了得到函数 y ? 4sin(2 x ? 图象上所有点的( )

?

) , x ? R 的图象,只需把函数 y ? 4sin( x ? ) , x ? R 的 5 5

?

A.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变

1 倍,纵坐标不变 2 1 D.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变 2
C. 横坐标缩短到原来的 6.已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,且 a2 是 a1 与 a4 的等比中项,则 d ?( A.-1 B.1 C. -2 D .2 )

?x ? 2 y ? 1 ? 7.若变量 x, y 满足条件 ? x ? 4 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最大值是( ?y ? 0 ?
A. 3 B.2 C.1 D.0



8.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 8n(n ? N * ) ,则 {an } 的通项公式为(



A. an ? 6n ? 8

B. an ? 6n ? 5

C. an ? 3n ? 8

D. an ? 3n ? 5

9.取一根长度为 5 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 2 m 的 概率为( A. ) B.

1 2

1 3

C.

1 4

D.

1 5


10.执行如图所示的程序框图后,输出 s 的值为(

A. 8

B.9

C. 30

D.36

11.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,正视图和侧视图中 的两条虚线都互相垂直且相等,则该几何体的体积是( )

A. 8 ?

? 3

B. 8 ?

? 6

C.

20 3

D.

16 3

12.设 D 是函数 y ? f ( x) 定义域内的一个区间,若存在 x0 ? D ,使得 f ( x0 ) ? ? x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的一个“次不动点” ,也称 f ( x) 在区间 D 上存在次不动点.若函数

5 f ( x) ? ax 2 ? 3 x ? a ? 在区间 [1, 4] 上存在次不动点,则实数 a 的取值范围是( 2 1 1 1 (-?, ] A. (??, 0] B. (0, ) C. D. [ , ??) 2 2 2
第Ⅱ卷(共 90 分)



二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.焦点坐标为 (?2, 0) 的抛物线的标准方程为_____________. 14. (

1 2 x

? x3 )5 的展开式中 x8 的系数是___________.(用数字作答)

15.设 f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 [0, ??) 上是增函数,若 f (?3) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 的解集 是____________. 16.已知圆 x2 ? y 2 ? 4 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四 4 b2

点,若四边形 ABCD 的面积为 2b ,则 b ? _____________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足 2a cos B ? 2c ? b . (I)求角 A 的大小; (II)若 c ? 2b ,求角 B 的大小. 18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PD ? AB ,PD ? BC , 且 PD ? 1 , E 为 PC 的中点.

(I)求证: PA / / 平面 BDE ; (II)求直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值. 19. (本小题满分 12 分) “健步走”是一种方便而又有效的锻炼方式,李老师每天坚持“健步走” ,并用计步器进行 统计.他最近 8 天“健步走”步数的条形统计图及相应的消耗能量数据表如下:

(I)求李老师这 8 天“健步走”步数的平均数; (II)从步数为 16 千步,17 千步,18 千步的 6 天中任选 2 天,设李老师这 2 天通过“健步 走”消耗的能量和为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且椭圆 C 经过点 A(1, ? ) ,直线 2 a b 2 2

l : y ? x ? m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B .
(I)求椭圆 C 的方程; (II)若 ?AOB 的面积为 1( O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax2 ? (2a ?1) x , a ? 0 . (I)设 g ( x) ? f '( x) ,求 g ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是圆 O 的内接三角形, P 是 BA 的延长线上一点,且 PC 切圆 O 于点 C .

(I)求证: AC ?PC ? PA?BC ; (II)若 PA ? AB ? BC ,且 PC ? 4 ,求 AC 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? x ? ?1 ? t ? ? 5 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 以原点 O 为极点, x ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ?
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程 ? ? (I)求曲线 C 的直角坐标方程; (II)若直线 l 与曲线 C 交于 M ,N 两点,求 | MN | . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (I)若 a ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (II)若 f ( x) ? 2 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2 sin(? ? ) . 4

?

2017 届高三调研检测考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题 1-5:BCBDC 二、填空题 13. y 2 ? ?8x 三、解答题 17.解: (I)在 ?ABC 中,由余弦定理得, cos B ? 14. 6-10:BABDD 11、12:CC

5 2

15.

(?3,3)

16. 2 3

a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

∵ 2a cos B ? 2c ? b ,∴

a 2 ? c 2 ? b2 ? 2c ? b ,即 b2 ? c2 ? a 2 ? bc , c

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,又 A 为 ?ABC 的内角, ∴ cos A ? 2bc 2
∴A?

?
3

.??????6 分

(II) c ? 2b ,由正弦定理得, sin C ? 2sin B , 即 sin C ? 2sin(? ? A ? C ) ? 2sin( ∴ cos C ? 0 ,故 C ?

?
2

2? ? C ) ? 3 cos C ? sin C , 3

.

∴ PA / / 平面 BDE .??????6 分 (II)∵ PD ? AB , PD ? BC , AB ? BC ? B ,∴ PD ? 平面 ABCD , 如图,以 D 为原点,分别以 DA , DC , DP 为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) , B(1,1, 0) , P(0, 0,1) , E (0, , ) ,

1 1 2 2

??? ? 1 1 2 2 ? ? ??? ? ? ??? ? 设平面 BDE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 n ? DE , n ? DB 得,
∴ PB ? (1,1, ?1) , DE ? (0, , ) , DB ? (1,1,0) ,

??? ?

????

1 ?1 ? y? z ?0 ,令 x ? 1 ,则 y ? ?1 , z ? 1 , 2 ?2 ? ?x ? y ? 0
∴ n ? (1, ?1,1) ,又∵ PB ? (1,1, ?1) ,

?

??? ?

? ? ??? ? n?PB ?1 1 ? ??? ?= ∴ cos n, PB ? ? ??? ?? , 3 |n |? |PB| 3? 3
∴直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值为

1 .??????12 分 3

19.解: (I)由条形统计图可知,李老师这 8 天“健步走”步数的平均数为:

16 ? 3 ? 17 ? 2 ? 18 ?1 ? 19 ? 2 ? 17.25 (千步)??????5 分 8
(II) X 的所有可能取值为:800,840,880,920.

P( X ? 800) ?

1 1 C32 1 C3 C2 2 , ? P ( X ? 840) ? ? , 2 2 C4 5 C4 5 1 1 2 1 1 C3 C1 ? C2 C2 C1 2 4 , ? P ( X ? 920) ? ? , 2 2 C4 15 C4 15

P( X ? 880) ?

所以 X 的分布列为:

??????10 分 数学期望 EX ? 800 ?

1 2 4 2 2560 ? 840 ? ? 880 ? ? 920 ? ? .??????12 分 5 5 15 15 3

20.解: (I)∵离心率 e ?

c2 3 a 2 ? b2 3 c 3 ? ,得 a 2 ? 4b2 ,① ? ,∴ 2 ? ,即 2 a 4 a 4 a 2

∵椭圆 C 经过点 A(1, ?
2

1 3 3 ) ,∴ 2 ? 2 ? 1,② a 4b 2
2

联立①②,解得 a ? 4 , b ? 1 , ∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.??????6 分 4

(II)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 将直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C : x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 联立,可得 5x ? 8mx ? 4m ? 4 ? 0 ,
2 2

由 ? ? 64m2 ? 4 ? 5 ? (4m2 ? 4) ? 0 ,得 ? 5 ? m ? 5 ,

x1 ? x2 ? ?

8m 4m 2 ? 4 , x1 x2 ? , 5 5

∴ | AB |? 12 ? 1? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

2 ? (?

8m 2 4m2 ? 4 4 2 ? 5 ? m2 , ) ? 4? ? 5 5 5

原点 O 到直线 l : x ? y ? m ? 0 的距离 d ?

|m| , 2

∴ S?AOB ?

1 1 4 2 ? 5 ? m2 | m | | AB |?d ? ? ? ? 1, 2 2 5 2
2

4 2 化简得, 4m ? 20m ? 25 ? 0 ,∴ m ?

5 , 2

∴m ? ?

10 , 2 10 .??????12 分 2


∴直线 l 的方程为 y ? x ?

2 ln x ? 2 ax ? 2a , x ? 0 21.解: (I)∵ f (x) ? x ln x ?ax ?(2a ? 1 ) x ,∴ g (x) ? f '( x) ?

1 1 ? 2ax ? 2a ? ,x ? 0. x x 1 ) 上 g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 当 a ? 0 时,在 (0, 2a 1 在 ( , ??) 上 g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递减. 2a 1 1 ) ,单调减区间是 ( , ??) .??????6 分 ∴ g ( x) 的单调增区间是 (0, 2a 2a
∴ g '( x) ?

(II)∵ f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,∴ f '(1) ? 0 . ①当

1 1 ? 1 ,即 a ? 时,由(I)知 f '( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, 2a 2

∴当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,不合题意;

1 1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时,由(I)知, f '( x) 在 (0, ) 上单调递增, 2a 2 2a 1 ∴当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 时, f '( x) ? 0 , 2a 1 ) 上单调递增, ∴ f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, 2a
②当 ∴ f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值,不合题意; ③当 0 ? ∴当

1 1 1 ? 1 ,即 a ? 时,由(I)知, f '( x) 在 ( , ??) 上单调递减, 2a 2 2a

1 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , 2a 1 ,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, ∴ f ( x) 在 ( 2a
∴当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值,满足条件. 综上,实数 a 的取值范围是 ( , ??) .??????12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (I)∵ PC 为圆 O 的切线,∴ ?PCA ? ?PBC , 又∵ ?CPA ? ?BPC , ∴ ?CAP ∽ ?BCP ,∴

1 2

AC PA ? , BC PC

即 AC ?PC ? PA?BC .??????5 分 (II)设 PA ? x( x ? 0) ,则 AB ? BC ? x ,

2x ? 4 , 由切割线定理可得, PA?PB ? PC ,∴ x?
2 2

解得 x ? 2 2 或 x ? ?2 2 (舍) ,∴ PA ? BC ? 2 2 ,

2 2, 由(I)知, AC ?PC ? PA?BC ,∴ 4 AC ? 2 2 ?
∴ AC ? 2 .??????12 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解 :( I ) 将 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 ? ?

2 sin(? ? ) ? cos ? ? sin ? , 得 4

?

? 2 ? ?c o s? ? ?s i, n ?
将 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? 2 ? x2 ? y 2 代入上式, 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 :.??????5 分

3 ? x ? ? 1 ? t ? ? 5 (II) 直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) , 消去参数 t , 得普通方程:4 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 4 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?
2 2 由(I)知,曲线 C 的直角坐标方程为: x ? y ? x ? y ? 0 ,即 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 , 2

∴圆 C 的圆心为 ( , ) ,半径为 r ?

1 1 2 2

2 , 2

1 1 | 4 ? ? 3 ? ? 1| 3 2 2 ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d ? ? . 5 10
∴ | MN |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 (

2 2 3 41 .??????10 分 ) ? ( )2 ? 2 10 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I)当 a ? 3 时,不等式 f ( x) ? 5 ,即 | x ? 1| ? | x ? 3|? 5 , ①当 x ? 3 时,不等式即 x ? 1 ? x ? 3 ? 5 ,解集 x ?

9 ; 2 1 . 2

②当 1 ? x ? 3 时,不等式即 x ? 1 ? 3 ? x ? 5 , x 无解; ③当 x ? 1 时,不等式即 1 ? x ? 3 ? x ? 5 ,解得 x ? ?

综上,不等式 f ( x) ? 5 的解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??) .??????5 分 (II)∵ f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a |?| ( x ? 1) ? ( x ? a) |?| a ? 1| , ∴ f ( x)min ?| a ?1| . ∵ f ( x) ? 2 对任意 x ? R 恒成立, ∴ | a ? 1|? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? 3 . 即实数 a 的取值范围为 (??, ?1] ? [3, ??) .??????10 分

1 2

9 2


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