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等比数列及前n项和导学案学生版


新郑二中分校

导学案

等比数列及前 n 项和导学案
一、学习目标: 1.能说出等比数列的概念及其通项公式与前 n 项和公式,并能运用其解决问题。 3. 能说出等比数列与指数函数的关系. 4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题. 二、知识梳理:

变式迁移 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列{Sn+2}是等比数列. 探究点三 等比数列性质的应用 例3 1 1 1 1 1 (2011· 湛江月考)在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=8,且 + + + + =2,求 a3. a1 a2 a3 a4 a5

1.等比数列的定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那 么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母________表示(q≠0). 变式迁移 3 (1)已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,求 b5+b9 2.等比数列的通项公式:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=__________. 的值;(2)在等比数列{an}中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求 a41a42a43a44. 3.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中 项. 4.等比数列的常用性质:(1)通项公式的推广:an=am· ________ (n,m∈N*). * (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N ),则__________________________. 分类讨论思想与整体思想的应用 ?1? ?an? 2 例 (12 分)设首项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 80,它的前 2n 项和为 6 560,且前 n 项中 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan} (λ≠0),?a ?,{an},{an· bn},?b ?仍是等比数列. ? n? ? n? 数值最大的项为 54,求此数列的第 2n 项. ? ? ?a1<0 ?a1<0 ?a1>0, ?a1>0, (4) 单调性:? 或? ? {an}是 ________数列;? 或? ? {an}是 ________数列; q ?0<q<1 ?q>1 ?q>1 ?0<q<1 ? ? 五、课堂检测: =1?{an}是____数列;q<0?{an}是________数列. 1. 设{an}是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和. 已知 a2a4=1, S3=7, 则 S5 等于 ( ) 5.等比数列的前 n 项和公式:等比数列{an}的公比为 q (q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1; n n n 15 31 33 17 a1?1-q ? a1?q -1? a1q a1 A. B. C. D. 当 q≠1 时,Sn= = = - . 2 4 4 2 1-q q-1 q-1 q-1 S5 6.等比数列前 n 项和的性质:公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 2.(2010· 浙江)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于 ( ) S2 仍成等比数列,其公比为______ A.-11 B.-8 C.5 D.11 三、基础训练: 1.“b= ac”是“a、b、c 成等比数列”的 ( ) 3.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和 S3=21,则 a3+a4+a5 等于( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A . 33 B . 72 C . 84 D . 189 2.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-a,数列{an}为等比数列,则实数 a 的值是 ( ) 4.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么数列 T10,T13,T17,T25 中也 A.3 B.1 C.0 D.-1 是常数的项是 ( )A.T10 B.T13 C.T17 D.T25 + 3.(2011· 温州月考)设 f(n)=2+24+27+?+23n 1 (n∈N*),则 f(n)等于 ( ) S10 5.(2011· 佛山模拟)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 等于( ) 2 2 + 2 + 2 + S5 A. (8n-1) B. (8n 1-1) C. (8n 2-1) D. (8n 3-1) 7 7 7 7 A.-3 B.5 C.-31 D.33 4 . (2011· 湖南长郡中学月考 ) 已知等比数列 {an} 的前三项依次为 a- 2 ,a +2, a +8 ,则 an 等于 6.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为________. ?3?n ?2?n ?3?n-1 ?2?n-1 7.在等比数列{an}中,公比 q=2,前 99 项的和 S99=30,则 a3+a6+a9+?+a99=________. ( ) A.8· B.8· C.8· D.8· ?2? ?3? ?2? ?3? 8.(2010· 福建)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an= 5.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1 (n=1,2,?),若数列{bn}有连续四项在集合 ________. {-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________. 9.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. 探究点一 等比数列的基本量运算 (1)求数列{an}的通项;(2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 例 1 已知正项等比数列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36,求数列{an}的 10.(12 分)(2011· 廊坊模拟)已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且 a1=3,a2=5. 通项 an 和前 n 项和 Sn. 1 1 1 (1)求证:数列{an-1}是等比数列;(2)求 + +?+ 的值. a2-a1 a3-a2 an+1-an 变式迁移 1 在等比数列{an}中,a1+an=66,a2· an-1=128,Sn=126,求 n 和 q. 探究点二 等比数列的判定 例 2 (2011· 岳阳月考)已知数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*. (1)证明数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式以及 Sn. 11.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn} c1 c2 的第 2 项、第 3 项、第 4 项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对 n∈N*均有 + +?+ b1 b2 cn =an+1 成立,求 c1+c2+c3+?+c2 010. bn
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