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2016-2017学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1.2基本不等式课后练习新人教A版选修4-5资料

2016-2017 学年高中数学 第 1 讲 不等式和绝对值不等式 1.2 基本 不等式课后练习 新人教 A 版选修 4-5

一、选择题 1.如果 0<a<b,且 a+b=1,则下列四个数中最大的是( A. 1 2 B.b D.a +b
2 2

)

C.2ab

1 2 4 解析: 设 a= ,b= ,代入可得 2ab= , 3 3 9

a2+b2= + =
答案: B

1 9

4 5 9 9

2.当 a>1,0<b<1 时,loga b+logb a 的取值范围是( A.[2,+∞) C.(2,+∞) B.(-∞,-2) D.(-∞,-2]

)

解析: 由条件知 loga b<0,logba<0, 故(-logab)+(-logba)≥2 ?-logab?·?-logba?=2, ∴logab+logba≤-2,选 D. 答案: D 3.下列结论正确的是( )

1 A.当 x>0 且 x≠1 时,lg x+ ≥2 lg x B.当 x>0 时, x+ 1

x

≥2

1 C.当 x≥2 时,x+ 的最大值为 2

x

1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值

x

解析: 若 0<x<1 时,lg x<0,所以 A 错;

x+ ≥2 时当且仅当 x=1 时取等号,因为 x≥2,所以 C 错;因为 x 和- 均为增函数, x x
1 1 3 所以 x- 为增函数,当 x=2 时,x- 有最大值 ,所以 D 错. x x 2

1

1

1

答案: B 4.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( A.5 千米处 C.3 千米处 B.4 千米处 D.2 千米处 )

解析: 设仓库应建在离车站 x 千米处,设总费用为 y, 由题意得

k1 y1= ,y2=k2x. x
4 把(10,2),(10,8)代入得 k1=20,k2= , 5 20 4x ∴y= + ≥2 x 5 20 4x · =8, x 5

20 4x 当且仅当 = ,∴x=5. x 5 答案: A 二、填空题 1 2 5.a,b 满足 + =1,则 a+b 的最小值为________.

a b

1 2 解析: ∵ + =1,

a b

?1 2? ∴a+b=(a+b)? + ? ?a b?
=1+2+ +

b 2a ≥3+2 2, a b

∴a+b 的最小值为 3+2 2. 答案: 3+2 2 6.设 x>0,y>0,且 xy-(x+y)=1,则 x+y 的取值范围为________. ?x+y? ?x+y? 解析: 因为 xy-(x+y)=1,且 xy≤ ,所以 1=xy-(x+y)≤ - 4 4 (x+y).设 x+y=a,则 -a-1≥0(a>0),则 a≥2+2 2,即 x+y≥2 2+2,故 x+y 的 4 取值范围为[2 2+2,+∞). 答案: [2 2+2,+∞) 三、解答题
2 2

a2

2

7.设 a,b∈(0,+∞),试比较 解析: ∵a,b∈(0,+∞), 1 1 2 ∴ + ≥ ,

a+b
2

, ab,

a2+b2
2



2ab 的大小,并说明理由. a+b

a b

ab

即 ab≥

1

a b
又? ∴

2ab = (当且仅当 a=b 时取等号). 1 a+ b + 2
2 2 2 2 2 2 2 2

?a+b?2=a +b +2ab≤a +b +a +b =a +b . ? 4 4 2 ? 2 ?
a+b
2 ≤

a2+b2
2 2 ,

(当且仅当 a=b 时取等号).

而 ab≤ 于是

a+b

2ab a+b ≤ ab≤ ≤ a+b 2

a2+b2
2

(当且仅当 a=b 时取等号).

8.求函数 y=

1 +x(x>3)的最小值. x-3 1

解析: 将原式配凑成 y= ∵x>3,∴x-3>0, ∴y≥2 当且仅当 1

x-3

+x-3+3.

x-3

>0, +3=5.

?x-3?· 1

1

x-3

x-3

=x-3,即 x=4 时,y 有最小值 5.

9.如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他 各面用钢筋网围成.

(1)现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积 最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m ,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎 笼的钢筋网总长最小? 解析: (1)设每间虎笼长 x m 时,宽为 y m,则由条件知:
3
2

4x+6y=36,即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S,则 S=xy. 方法一:由于 2x+3y≥2 2x·3y=2 6xy, 27 ∴2 6xy≤18,得 xy≤ , 2 27 即 S≤ ,当且仅当 2x=3y 时,等号成立. 2
?2x+3y=18 ? 由? ? ?2x=3y,

解得?

?x=4.5 ? ? ?y=3.

故每间虎笼长 4.5 m,宽为 3 m 时,可使面积最大. 3 方法二:由 2x+3y=18,得 x=9- y. 2 ∵x>0,∴0<y<6,

? ? S=xy=?9- y?y= (6-y)·y. ?
3 2 ? 3 2 ∵0<y<6,∴6-y>0, 3 ??6-y?+y?2 27 ∴S≤ ·? ?=2. 2 2 ? ? 当且仅当 6-y=y,即 y=3 时,等号成立,此时 x=4.5. 故每间虎笼长 4.5 m,宽 3 m 时,可使面积最大. (2)由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2 2x·3y=2 6xy=24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.
? ?2x=3y, 由? ?xy=24 ?

解得?

? ?x=6 ?y=4. ?

故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小. 方法二:由 xy=24,得 x= 24

y

.

96 ?16 ? ∴l=4x+6y= +6y=6? +y?

y

?y

?

≥6×2

16

y y

·y=48.

16 当且仅当 =y,即 y=4 时,等号成立,此时 x=6. 故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋总长最小.
4


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