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高三数学07 函数奇偶性与单调性 学案

§07
【基础自查】 : 1.函数的奇偶性 (1)定义: (2)性质:

函数奇偶性与单调性

①定义域的对称性________; ②图象的对称性_____; ③若奇函数的定义域包含 0, f ? 0 ? ? ____________; 则 ④奇、偶函数有关定义的等价形式: f ? ? x ? ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? x ? ? _ _ _ _ _ _ _ ?
f

??x? f ?x?

? ____

2、函数的单调性: (1)定义: (2)性质: ①奇函数在对称的两个区间上具有_______的单调性; ②偶函数在对称的两个区间上具有______的单调性; 3、 y ? x ?
?

1 x

的单调性:在___________和________上单调递增;在___________和________上单调递减

: 4 .函数周期性的相关结论(供参考) (1)设 a 是非零常数,若对定义域内的任意 x ,恒有下列条件之一成立: ① f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ;② f ? x ? a ? ?
1 f

?x?

;③ f ? x ? a ? ? ?

1 f

?x?

;④ f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ? x ? 是

周期函数, 2 a 是它的一个周期; (2)函数图象的对称性:若 f ? x ? a ? ? f ? b ? x ? (a,b 为常数)在定义域上恒成立,则 f ? x ? 的图象关 于_____________对称

【自学导引】
1.(2010 泰州) f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, f ? 3 ? ? f ? ? 2 ? ? 2 , f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? ______________ 设 且 则 2、已知 f ? x ? ? a x ? b x 是定义在 ? a ? 1, 2 a ? 上的偶函数,则 a ? b ? ______________
2

3、 (必修 1P94 .28)已知定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? ? 上是单调增函数,若 f ? 1 ? ? f ? lg x ? , 则 x 的取值范围是_______ 4、 (必修 1P95 .8)若 f ? x ? ?
1 2 ?1
x

? a 是奇函数,则 a ? ___________
2

?x ? 4x ?x ? 0? ? 5、 (必修 1P43 .4)已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f 2 ?4x ? x ? x ? 0? ?

? 2 ? a ? ? f ? a ? ,则 a 的取值范围是_______
2

【要点例析】
题型 1 单调性的判断与证明 【例 1】判断函数 f ? x ? ?
ax x ?1
2

, x ? ? ? 1,1 ? , a ? 0 的单调性,并给予证明

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题型 2 求函数的单调区间 【例 2】. 求下列函数的单调区间: (1) y ? a 1 ? x ? a ? 0, a ? 1 ? ; (2) y ? log 0.5 ? 4 x ? x 2 ?
2

题型 3 抽象函数的单调性 【例 3】函数 f ? x ? 对任意的 a , b ? R ,都有 f ? a ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? ? 1 ,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 (1)求证: f ? x ? 是 R 上的增函数; (2)若 f ? 4 ? ? 5 ,解不等式 f ? 3 m 2 ? m ? 2 ? ? 3

题型 4 函数奇偶性的判断 【例 4】判断下列函数的奇偶性 (1) f ? x ? ? ? x ? 1 ?
1? x

? x ? 2 ? x ? ? 1? ? ; (2) f ? x ? ? 2 ; (3) f ? x ? ? ? 0 ? x ? 1 ? 1? x x ?2 ?2 ? ? ? x ? 2 ? x ? 1?
lg ? 1 ? x
2

?

题型 5 函数奇偶性应用 【例 5】 (1)已知函数 f ? x ? ?
ax ? 1
2

bx ? c

? a , b , c ? Z ? 是奇函数, f ?1 ? ?

2, f ? 2 ? ? 3 ,求 a , b , c 的值;

(2)已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上是增函数,且 f ? 3 x ? 1 ? ? f ? 2 x ? ,求 x 的取值范围

【随堂演练】 已 知 f ?x? 在 R 上 是 奇 函 数 , 且 满 足
f ? 2011 ? ? _________________.

f

? x ? 4? ?

f

?x? , 当

x ? ? 0, 2 ? 时 , f

?x? ?

2x

2

,则

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