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基于应变测量法的几种典型悬臂梁的挠度测量


2006 年 10 月 第 20 卷 第 5 期

装 甲 兵 工 程 学 院 学 报
Journal of Academy of A rmored Force Engineering

Oct1   2006 Vol . 20 No. 5

基于应变测量法的几种典型悬臂梁的挠度测量
刘国强   薛春芳   王丹杰
(装甲兵工程学院机械工程系 ,北京 100072)

摘     要 : 挠度变形是工程梁设计中的一项重要指标 ,为了更加准确地测量梁的 挠度变形 ,提出了采用应变式传感器进行挠度测量的方法对几种典型的悬臂梁的挠 度进行测量 ,该方法是利用挠度与外载荷 (外力偶 ) 、 弯矩与应力 、 应力应变之间的关 系 ,导出梁的挠度与应变之间的关系 ,从而由测得的应变得出悬臂梁在外载荷作用 下的挠度 。测量结果表明该测量方法测得的结果大大地提高了挠度测量精度 。 关  键  词 : 应变式传感器 ; 挠度 ; 应力与应变 ; 悬臂梁 ; 电测原理 中图分类号 : TH87117 文献标志码 : A      文章编号 : 1672 2 1497 ( 2006 ) 05 20055 203

D eflection M ea sur in g of Som e Typ ica l Can tilever G irders Ba sed on Stra in 2Gauge M ea surem en t
LI U Guo 2qiang XUE Chun 2fang WANG Dan 2jie
(Departm ent of Mechanical Engineering of the Academy of A r mored Forces Engineering, Beijing 100072, China)

Abstract: Deflection2distortion is an important guideline in the design of girder . In order to measure the deflec2 tion of girder more accurately, strain2sensor is p resented to measure the deflection of some typ ical cantilever girders . In this method, by using the relations between deflection and load, bending2 moment and stress, stress and strain, we can educe the relation of deflection and strain, then using the strain, the deflection of cantilever girder can be obtained. The outcomes indicate that this method has imp roved the measuring p recision. Key words: strain 2gauge sensor; deflection; stress and strain; cantilever girder; electricity m easure p rincip le

   梁的挠度测量 、 计算在工程中有着重要意 义 ,因此 ,教学实验中重点安排梁的挠度测量实 验 。在以往的实验课程中测量挠度变形的主要 方法是采用镜式引申仪来测量 ,其挠度的值由读 数放大镜读出 ,其原理如图 1 所示 。

于加载过程中存在着扰动以及在读数中存在着 人为的偏差 , 使得出的结果存在着较大的误差 , 因此 ,笔者提出了基于应变传感器的梁的挠度精 确测量方法 。

1  应变传感器电测原理
金属丝应变传感器的基本原理是利用金属材 料的电阻定律 。当应变片的结构尺寸发生变化时 , 其电阻也会发生相应变化。电阻应变式传感器在 实际应用中可等效一个电桥电路 ,如图 2所示 。 图 2 中 R1 、 R2 、 R3 、 R4为 4 个桥臂电阻 , E 为 激励电源 , 则电桥的输出电压为
U0 = E R 1 R3 - R2 R4 , ( R1 + R2 ) ( R3 + R4 )

图 1  应变传感器电测原理

虽然梁的挠度值由读数放大镜直接读出 , 但 是通过理论分析以及大量的实验 , 不难发现 , 由
收稿日期 : 2006 2 06 2 20 作者简介 : 刘国强 ( 1974 2) ,男 ,天津宁河人 ,讲师 ,硕士 .

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装甲兵工程学院学报

第 20 卷

2. 1. 2   集中力作用的悬臂梁

图 2  电阻应变式传感器等效电桥电路图

图 4  集中力作用的悬臂梁

当 R 1 R3 = R2 + R4 时 , 电桥处于平衡状态 , 输出电 压为零 。当 桥 臂 电 阻 R i 发 生 变 化 时 (变 化 值 ΔR i ) , 电桥的输出电压为 (R1 +ΔR1 ) (R3 +ΔR3 ) - (R2 +ΔR2 ) (R4 +ΔR4 ) U0 = E , (R1 +ΔR1 + R2 +ΔR2 ) (R3 +ΔR3 + R4 +ΔR4 ) 为了使桥路灵敏度最大及测量简单 , 常采用等臂 电桥即 R1 = R2 = R3 = R4 = R 0 , 并略去高阶小项 , ΔR i εi , K为系数 , 则电桥的输出为 且 =K
R0 U0 = EK (ε 1 - ε 2 +ε 3 - ε 4 )

在图 4 中 , 集中力作用的悬臂梁挠度方程及 i截面处的弯矩方程分别为
w2 = Fx ( 3 l - x) 6E I .
2

( 2)

M 2 = F ( l - i)

2. 1. 3   集中力作用外伸悬臂梁

4

.
图 5  集中力作用外伸悬臂梁

   上式表明 ,电桥的输出电压与各桥臂应变的代 数和成正比 , 根据上述原理 , 在应变仪上直接显示出 被测点的应变。设应变仪的读数应变为 ε du , 则有 4U 0 ε ε =ε du = 1 -ε 2 + 3 -ε 4,
KE

在图 5 中 , 外伸悬臂梁挠度方程及 i 截面处 的弯矩方程分别为
w3 = Fx ( 3a - x) ( 0 Φ x Φ a) 6E I ,
2 2

ε ε ε 式中   1、 3 为正应变 ,ε 2、 4 为负应变 。

( 3)

M 3 = F ( a - i)   ( 0 Φ x Φ a ) w3 = Fa ( 3x - a)   ( aΦ xΦ 1) . 6E I

2  悬臂梁的挠度测量原理
2. 1   常见的悬臂梁及其挠度 、 弯矩方程

悬臂梁根据加载的方式以及外载荷的不同 可分为 :集中力偶作用悬臂梁 (如图 3 所示 ) 、 集 中力作用的悬臂梁 (如图 4 所示 ) 、 集中力作用外 ( ) 伸悬臂梁 如图 5 所示 , 以及均布载荷作用的悬 臂梁 (如图 6 所示 ) 。 2. 1. 1   集中力偶作用悬臂梁

2. 1. 4   均布载荷作用的悬臂梁

图 6  均布载荷作用的悬臂梁

在图 6 中 , 均布载荷作用的悬臂梁挠度方程 及 i截面处的弯矩方程分别为
w4 =
图 3  集中力偶作用悬臂梁

qx 2 2 ( x - 4 lx + 6 l ) 24 E I q ( l - i)

2

.

( 4)

在图 3 中 , 集中力偶作用悬臂梁挠度方程及 i截面处的弯矩方程分别为
w1 = Me x
2

M4 =

2

2. 2   基于应变的悬臂梁的挠度方程

因为应力应变关系式为 :ε =
( 1)

σ
E

, 而矩形截面

2E I.

M1 = Me

梁上的最大正应力 σmax =

M , 因此截面 i 处梁表 W

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第 5期

刘国强等 :基于应变测量法的几种典型悬臂梁的挠度测量

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ε 面上的应变与弯矩的关系为 : M i = W E i , 因此上 述 4 种悬臂梁的挠度方程可改写为 εi x2 ( 5) w1 = ,
h w2

根据式 ( 2 ) 来分别算的不同载荷下梁的挠度变 形 , 计算结果如表 1。
表 1  理论算得的梁的挠度值
外载荷 弹性模量
E / GPa

, ( 7) 2 ε i a ( 3x - a ) ( a Φ x Φ l) , (0 Φ i Φ a ) 3h ( a - i) εi x2 ( x2 - 4 lx + 6 l2 ) ( 8) w4 = 6 ( l - i) εi 为 i处的应变值 ; h 为矩形截面梁的高 。 式中   w3 =

εi x2 ( 3 l - x ) εi WE = ,F = , ( l - i) 3 h ( l - i) 2 ε i x ( 3a - x ) (0 Φ x Φ a) 3h ( a - i)

截面宽
b /m

截面高
h /m

挠度
|ω | /mm 0. 704 0 1. 408 0 2. 112 0 2. 816 0 3. 520 0

( 6)

F /N

4 8 12 16 20

200 200 200 200 200

0. 01 0. 01 0. 01 0. 01 0. 01

0. 005 0. 005 0. 005 0. 005 0. 005

3. 2   梁的挠度实验测量数据结果

因此只要测得 i截面梁表面上的应变值 , 便 可求出梁上任意 x 处的挠度值 。

实验中对梁采用逐级加载的方法 , 由应变仪 测得应变值 ,由公式 ( 6 ) 算得的外载荷及挠度结 果如表 2。
表 2  外载荷及挠度测量结果及系统误差
应变值
10 - 5ε 2. 398 4. 805 7. 206 9. 599 12. 003

3  挠度的理论计算与试验测量结果
为了保证梁挠度测量的精确性 , 分别对理论 计算结果与装置测量结果进行了对比 , 得到了以 下数据 。 3. 1   梁的挠度理论计算数据 以图 4 集中力作用悬臂梁为例 , 进行试验测 试 。实验装置如图 7 所示 。

外载荷
F /N

挠度
| w | /mm 0. 703 5 1. 409 4 2. 113 8 2. 814 6 3. 524 2

w测量 - w理论

误差
/ (%) 0. 071 0. 099 0. 085 0. 050 0. 119

/mm 0. 000 5 0. 001 4 0. 001 8 0. 001 4 0. 004 2

3. 997 8. 008 12. 010 15. 998 20. 005

4  结论
笔者利用电阻应变式传感器对梁的挠度变 形进行测量 , 从测量的结果可以看出 , 该方法不 仅有效地消除了因为加载所引起的扰动误差 , 而 且有效地排除了在传统挠度测量实验中由人为 原因所带来的误差 。从整体来看该方法大大提 高了梁的挠度测量精度 。
图 7  悬臂梁挠度测试装置

参考文献 :
[ 1 ]  金保森 ,卢智先 . 材料力学实验 [M ] , 西安 : 西北工业大学

在集中力悬臂梁挠度测量的实验装置中 , 梁 的长度 l = 25 cm , 测量点 x = 20 cm 处梁的挠度 值 , 采用逐级加载的方法 , 逐渐增加外载的大小 ,

出版社 , 1998.
[ 2 ]  范钦珊 . 工程力学 [M ]. 北京 : 高等教育出版社 , 1999. [ 3 ]  刘 鸿 文 . 材 料 力 学 [ M ]. 第 四 版 . 北 京 : 高 等 教 育 出 版

社 , 2004.

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