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第二章2知能优化训练


1.30 件产品中,有 15 件一等品,10 件二等品,5 件三等品,现随机地抽取 5 件,下列不 服从超几何分布的是( ) A.抽取的 5 件产品中的一等品数 B.抽取的 5 件产品中的二等品数 C.抽取的 5 件产品中的三等品数 D.30 件产品中的三等品数 解析:选 D.A、B、C 中的产品数都是变量,又满足超几何分布的形式和特点;而 D 中的产 品数是常数,不是变量. 2. 盒中有 4 个白球, 个红球, 5 从中任取 3 个球, 则取出 1 个白球和 2 个红球的概率是( ) 37 17 A. B. 42 42 17 10 D. C. 21 21 C1C2 10 4 5 解析:选 C.p= 3 = . C9 21 3. 4 个女同学和 5 个男同学中, 从 任选 3 人, 选到 2 个女同学和 1 个男同学的概率 p 为( ) 1 5 A. B. 14 14 5 11 C. D. 84 84 C2C1 5 4 5 解析:选 B.p= 3 = . C9 14 4.某导游团有外语导游 10 人,其中 6 人会说日语,现要选出 4 人去完成一项任务,则其中 有两人会说日语的概率 p 为________. C2C2 3 6 4 解析:由超几何分布得:p= 4 = . C10 7 3 答案: 7

一、选择题 1.有 5 条线段长度分别为 1、3、5、7、9,从这 5 条线段中任取 3 条,3 条线段能构成三角 形的概率为( ) 1 3 A. B. 10 10 1 7 C. D. 2 10 解析:选 B.5 条线段中任取 3 条共有 C3种取法,构成三角形的只有 3,5,7;3,7,9;5,7,9 三种, 5 3 3 ∴P= 3= . C5 10 2.某 12 人的兴趣小组中,有 5 名“三好生”,现从中任意选 6 人参加竞赛,用 ξ 表示这 6 C3×C3 5 7 人中“三好生”的人数,则下列概率中等于 6 的是( ) C12 A.P(ξ=2) B.P(ξ=3) C.P(ξ≤2) D.P(ξ≤3) - 解析:选 B.设 6 人中“三好生”的人数为 k,则其选法数为 Ck ·C6 k,当 k=3 时,选法数为 5 7 3 3 C5C7.

3.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,则所选 3 人中至少有 1 名女生的概率 是( ) 1 2 A. B. 5 5 4 3 D. C. 5 5 解析:选 D.设所选 3 人中的女生人数为 X,则 X 服从参数为 N=6,M=2,n=3 的超几何 - Ck C3 k 2 4 分 布 , 且 P(X = k)= (k = 0,1,2), 故 所 求 概 率 为 P(X≥1) = P(X = 1) + P(X = 2) = C3 6 1 2 2 1 C2C4+C2C4 12+4 4 = = . 3 20 5 C6 4.一个盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后装 回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X=4)的值为( ) 1 27 A. B. 220 55 21 27 D. C. 25 220 C2×C1 27 3 9 解析:选 C.由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球,故 P(X=4)= 3 = . C12 220 5.一批产品共 50 件,次品率为 4%,从中任取 10 件,则抽到 1 件次品的概率是( ) C1C9 C1C9 2 48 2 50 A. 10 B. 10 C50 C50 C1 C9 2 48 C. 10 D. 10 C50 C50 解析:选 A.50 件产品中,次品有 50×4%=2 件,设抽到的次品数为 X,则抽到 1 件次品的 C1C9 2 48 概率是 P(X=1)= 10 . C50 6.一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个,红球 12 个,白球 4 个,从中任取 2 人,其中白 1 C1 C4+C2 22 22 球的个数记为 X,则等于 的是( ) C2 26 A.P(0<X≤2) B.P(X≤1) C.P(X≥1) D.P(X≥2) 解析:选 B.由条件知,随机变量 X 服从参数为 N=26,M=4,n=2 的超几何分布,其中 X 的不同取值为 0,1,2,且 - Ck C2 k 4 22 P(X=k)= 2 (k=0,1,2). C26 C0C2 4 22 ∴P(X=0)= 2 , C26 C1C1 4 22 P(X=1)= 2 , C26 C2 4 P(X=2)= 2 . C26 C2 +C1C1 22 4 22 ∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= . C2 26 二、填空题 7.从分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 张卡片中任取 2 张,则两数字之和是奇数的概率是 ________. 解析:两数字之和为奇数,必定是从 1,3,5,7,9 中取一个奇数,从 2,4,6,8 中取一个偶数.故 P 1 C1C4 5 5 = 2 = . C9 9 5 答案: 9 8.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ξ 个红球,则 P(ξ=2)为

________. C2 3 解析:P(ξ=2)= 2=0.3. C5 答案:0.3 9.李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔,在已知备选的 10 道题中,李 明能答对其中的 6 道, 规定考试从备选题中随机地抽出 3 题进行测试, 至少答对 2 题才能入 选.则李明入选的概率为________. 解析:设所选 3 题中李明能答对的题数为 X,则 X 服从参数为 N=10,M=6,n=3 的超几 何分布, - Ck C3 k 6 4 且 P(X=k)= 3 (k=0,1,2,3) C10 故所求概率为 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3), 1 C2C4 C3C0 60 20 2 6 6 4 = 3 + 3 = + = . C10 C10 120 120 3 2 答案: 3 三、解答题 10.袋中有 7 个球,其中 3 个黑球、4 个红球,从袋中任取 3 个球,求取出的红球数 X 的分 布列,并求至少有一个红球的概率. C3 1 3 解:X=0,1,2,3,X=0 表示取出的三个球全是黑球,P(X=0)= 3= . C7 35 C1C2 12 C2C1 18 4 3 4 3 同理 P(X=1)= 3 = ,P(X=2)= 3 = , C7 35 C7 35 C3 4 4 P(X=3)= 3= . C7 35 ∴X 的分布列为: X 0 1 2 3 1 12 18 4 P 35 35 35 35 1 34 至少有一个红球的概率为 P(X≥1)=1- = . 35 35 11.(2010 年高考广东卷)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流 水线上 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495], (495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量; (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, Y 为重量超过 505 克的产品数量, Y 的分布列. 设 求 解:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为 40×(0.05×5+0.01×5)= 40×0.3=12. (2)Y 的可能取值为 0,1,2, C2 C0 63 28 12 P(Y=0)= 2 = , C40 130 C1 C1 28 28 12 P(Y=1)= 2 = , C40 65

C0 C2 11 28 12 P(Y=2)= 2 = , C40 130 故 Y 的分布列为: 0 1 2 63 28 11 P 130 65 130 12.在 10 件产品中, 3 件一等品, 件二等品, 件三等品. 有 4 3 从这 10 件产品中任取 3 件. 求: (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列; (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率. 解:(1)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且 X 服从参数为 N=10,M=3,n=3 的超几 何分布,因此 - Ck C3 k 3 7 P(X=k)= 3 (k=0,1,2,3). C10 C0C3 35 7 3 7 ∴P(X=0)= 3 = = , C10 120 24 C1C2 63 21 3 7 P(X=1)= 3 = = , C10 120 40 C2C1 21 7 3 7 P(X=2)= 3 = = , C10 120 40 C3C0 1 3 7 P(X=3)= 3 = . C10 120 ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 7 21 7 1 P 24 40 40 120 (2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A, “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1,“恰好取出 2 件一等品”为事件 A2,“恰好取出 3 件一等品”为 C1C2 3 3 3 事件 A3,由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1+A2+A3,而 P(A1)= 3 = ,P(A2) C10 40 7 1 =P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= , 120 40 所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率 3 7 1 31 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = . 40 40 120 120 Y


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