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2018届苏教版第七章 7.4基本不等式及其应用

1.(教材改编)已知 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的序号是________. ①a2+b2>2ab; ②a+b≥2 ab; 1 1 2 ③ + > ; a b ab b a ④ + ≥2. a b 答案 ④ 解析 因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以①错误;对于④,因为 ab>0, b a 所以 + ≥2 a b ba · =2.对于②,③,当 a<0,b<0 时,明显错误. ab 2.(教材改编)用长为 16cm 的铁丝围成一个矩形,则所围成的矩形的最大面积是________cm2. 答案 16 解析 设矩形长为 xcm(0<x<8),则宽为(8-x)cm, x+8-x 2 面积 S=x(8-x).由于 x>0,8-x>0,可得 S≤( ) =16,当且仅当 x=8-x,即 x=4 时, 2 Smax=16.所以矩形的最大面积是 16cm2. 3.当 x>0 时,函数 f(x)= 答案 大 1 2x 2 2 解析 f(x)= 2 = ≤ =1,当且仅当 x=1 时取等号. 1 2 x +1 x+ x 4.(2016· 盐城模拟)函数 y= 答案 2 x2+1+1 1 1 解析 y= = x2+1+ 2 ≥2,当且仅当 x2+1= 2 ,即 x=0 时,y 取到最 2 x +1 x +1 x +1 小值 2. x2+2 x2+1 的最小值为______. 2x 有最________值,为________. x2+1 t+1 1 5.设正数 a,使 a2+a-2>0 成立,若 t>0,则 logat____loga (填“>” “≥” “≤”或“<”). 2 2 答案 ≤ 解析 因为 a2+a-2>0,所以 a<-2 或 a>1, 又 a>0,所以 a>1, t+1 因为 t>0,所以 ≥ t, 2 t+1 1 所以 loga ≥loga t= logat. 2 2 f?x? 6.设 f(x)=x2+x+1,g(x)=x2+1,则 的取值范围是________. g?x? 1 3 答案 [ , ] 2 2 解析 2 f?x? x +x+1 x = 2 =1+ 2 , g?x? x +1 x +1 f?x? 当 x=0 时, =1; g?x? f?x? 1 1 3 当 x>0 时, =1+ ≤1+ = ; 1 2 2 g?x? x+ x 1 1 当 x<0 时,x+ =-[(-x)+(- )]≤-2, x x 则 f?x? 1 1 1 =1+ ≥1- = . 1 2 2 g?x? x+ x f?x? 1 3 ∈[ , ]. g?x? 2 2 ∴ 1 1 1 9 *7.(2016· 吉林九校第二次联考)若正数 a, b 满足 + =1, 则 + 的最小值是________. a b a-1 b-1 答案 6 1 1 a 1 9 1 解析 ∵正数 a, b 满足 + =1, ∴b= >0, 解得 a>1.同理可得 b>1, ∴ + = a b a-1 a-1 b-1 a-1 + 9 1 = +9(a-1)≥2 a a-1 -1 a-1 1 1 4 · 9?a-1?=6,当且仅当 =9(a-1),即 a= 时等号 3 a-1 a-1 成立,∴最小值为 6. 8.(2016· 南京一模)已知 x, y∈R 且满足 x2+2xy+4y2=6, 则 z=x2+4y2 的取值范围为________. 答案 [4,12] x2+4y2 解析 ∵2xy=6-(x2+4y2),而 2xy≤ , 2 x2+4y2 ∴6-(x +4y )≤ , 2 2 2 ∴x2+4y2≥4(当且仅当 x=2y 时取等号). 又∵(x+2y)2=6+2xy≥0, 即 2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12 (当且仅当 x=-2y 时取等号). 综上可知 4≤x2+4y2≤12. ?a+b?2 9.已知 x>0, y>0, x, a, b, y 成等差数列, x, c, d, y 成等比数列, 则 的最小值为________. cd 答案 4 ?a+b=x+y, ? 解析 由题意,知? ?cd=xy, ? ?a+b?2 ?x+y?2 x2+y2+2xy x2+y2 所以 = = = +2 cd xy xy xy ≥2+2=4,当且仅当 x=y 时,等号成立. 10.某民营企业的一种电子产品,2015 年的年产量在 2014 年基础上增长率为 a;2016 年计划 a+b 在 2015 年的基础上增长率为 b(a,b>0),若这两年的平均增长率为 q,则 q 与 的大小关 2 系是________. a+b 答案 q≤ 2 解析 设 2014 年的年产量为 1, 则 2016 年的年产量为(1+a)(1+b), ∴(1+q)2=(1+a)(1+b), ∴1+q= ?1+a??1+b?≤ 1+a+1+b a+b =1+ , 2 2 a+b ∴q≤ ,当且仅当 a=b 时,取“=”. 2 1 11.(2016· 泰州模拟)已知 a>b>1 且 2logab+3logba=7,则 a+ 2 的最小值为________. b -1 答案 3 1 解析 因为 2logab+3logba=7,所以 2(logab)2-7logab+3=0,解得 logab= 或 logab=3,因 2 1 1 1 为 a>b>1,所以 logab∈(0,1),故 logab= ,从而 b= a,因此 a+ 2 =a+ =(a-1) 2 b -1 a-1 + 1 +1≥3,当且仅当 a=2 时等号成立. a-1 x2 12.(2016· 南通模拟)设实数 x,y 满足 -y2=1,则 3x2-2xy 的最小值是________. 4 答案 6+4 2 2y 3- 2 x 3 x - 2 xy x2 2 y 1 1 解析 方法一 因为 -y =1,所以 3x2-2xy= 2 = ,令 k= ∈(- ,

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