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江苏省数学苏教版必修一同步课堂精练-2.2 函数的简单性质第2课时 含答案

1.对于定义在 R 上的任意奇函数 f(x),下列式子中恒成立的序号是________. (1) f(x)-f(-x)≥0; (2)f(x)-f(-x)≤0; (3)f(x)·f(-x)≤0; (4)f(x)·f(-x)≥0; (5)f(x)+f(-x)=0;(6) f ( x) ? ?1 . f (? x) 2.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,其定义域是,则 a=________, b=________. 3.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=________. 4.已知奇函数 f(x)在 x<0 时,函数解析式为 f(x)=x(x-1),则当 x>0 时, 函数解析式 f(x)=______________. 5.若 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是单调减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是______. 6.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x-2)=-f(x),给出下列 4 个结论: ①f(2)=0;②f(x)=f(x+4);③f(x)的图象关于直线 x=0 对称;④f(x+2)=f(-x), 其中所有正确结论的序号是______. 7.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? (4) f ( x ) ? x 2 ? ? x3 ? 3 x 2 ? 1, x ? 0, x x 4 ? x3 ? f ( x ) ? ;(2) f ( x) ? ; (3) ; ? 3 2 1 ? x2 x ?1 ? ? x ? 3x ? 1, x ? 0. a (a∈R). x 8.设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x;当 x>2 时,y=f(x) 的图象是顶点为 P(3, 4)且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数 f(x)的图象; (3)写出函数 f(x)的值域. 参考答案 1.(3)(5) 解析:由奇函数的定义知,f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=f(x)·= -2≤0,且 f(x)+f(-x)=0,∴(3)(5)正确,(1)(2)(4)错,(6)当 f(-x)≠0 时成立, 故不恒成立. 2. 1 3 0 解析:∵函数具有奇偶性时,定义域必须关于原点对称,故 a-1= 1 -2a,∴ a ? ,又对于 f(x)有 f(-x)=f(x)恒成立,∴b=0. 3 3.-26 解析:方法一:令 g(x)=x5+ax3+bx,则 g(x)是奇函数.∴f(-2) =g(-2)-8=-g(2)-8=10,∴g(2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 方法二: ∵f(-x)+f(x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)-8+x5+ax3+bx-8=-16, ∴f(-2)+f(2)=-16,又 f(-2)=10,∴f(2)=-16-f(-2)=-16-10=-26. 4.-x(x+1) 解析:设 x>0 时,则-x<0,由条件,得 f(-x)=-x(-x- 1)∵函数为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x(-x-1),∴f(x)=-x(x+1)(x> 0). 5.(-2,2) 解析:方法一:f(2)=0,f(-2)=0,f(x)在(-∞,0]上单调递减, 又∵f(x)为偶函数,∴f(x)在时,f(x)<f(-2)=0,当 x∈上是单调减函数,∴f(x)在[0, +∞)上是单调增函数,∵f(2)=0,∴f(-2)=f(2)=0,由单调性易知使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-2,2),借助图形更直观,如图. 6.①②④ 解析:由题意,知 f(0)=-f(2),∴f(2)=-f(0),又 f(x)是 R 上的奇函 数,∴f(0)=0,∴f(2)=0,故①正确;∵f(x)=-f(x+2)=f(x+4),∴②正确;∵f(x) 为奇函数,∴图象关于原点对称,③不正确;∵f(-x)=-f(x)=f(x+2),∴④正确. 7.解:(1) f ( x) ? x 4 ? x3 ? x3 ,但 f(x)的定义域为{x|x≠1},关于原点不对称, x ?1 故此函数是非奇非偶函数. (2)f (x)的定义域为 R, ∵对任意的 x∈R, 都有 f (? x) ? ∴函数 f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3- 3x2+1)=-f(x).当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2 +1=-(x3+3x2-1)=-f(x)∴对定义域内的任意 x,都有 f(-x)=-f(x)∴函数 f(x) 为奇函数. (4)当 a=0 时,f(x)=x2,对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2 =f(x),∴函数 f (x)为偶函数.当 a≠0 时, f ( x ) ? x 2 ? a (a≠0,x≠0),取 x=±1, x ??x? 2 1? ??x? ?? x ? ? f ( x) , 1 ? x2 得 f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),∴ 函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 8.解:(1)当 x>2 时,设 f(x)=a(x-3)2+4.又因为过 A(2,2),所以 f(2)=a(2 -3)2+4=2,解得 a=-2,所以 f(x)=-2(x-3)2+4.设 x∈(-∞,-2),则-x >2, 所以 f(-x)=-2(-x-3)2+4.又因为 f(x)在 R 上为偶函数, 所以 f(-x)=f(x), 所以 f(x)=-2

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