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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:第二章 2.2 数学归纳法


预习课本 P92~95,思考并完成下列问题
(1)数学归纳法的概念是什么?适用范围是什么?

(2)数学归纳法的证题步骤是什么?

[新知初探]
1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.

2.数学归纳法的框图表示

[点睛]

数学归纳法证题的三个关键点

(1)验证是基础 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数 n0,这个 n0, 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数, 这个自然数并不一定 都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推, 所以从“k”到“k+1”的过程中, 要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清 由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.

(3)利用假设是核心 在第二步证明 n=k+1 成立时,一定要利用归纳假设, 即必须把归纳假设“n=k 时命题成立”作为条件来导出“n =k+1”,在书写 f(k+1)时,一定要把包含 f(k)的式子写出 来,尤其是 f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不 用归纳假设的证明就不是数学归纳法.

[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归 纳法. ( × )

(2)数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.( × ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( √)

2.如果命题 p(n)对所有正偶数 n 都成立,则用数学归纳法证 明时须先证 n=________成立.

答案:2
1 1 1 3 * 3.已知 f(n)=1+ + +…+n(n∈N ),计算得 f(2)= ,f(4) 2 3 2 5 7 >2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,由此推测,当 n>2 时, 2 2 有______________.
n+2 答案:f(2 )> 2
n

用数学归纳法证明等式
[典例] 用数学归纳法证明:

n(n+1) 12 22 n2 + +…+ = (n∈N*). 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1)

[证明]

1×2 12 (1)当 n=1 时, = 成立. 1×3 2×3

(2)假设当 n=k(n∈N*)时等式成立,即有 k(k+1) 12 22 k2 + +… + = , 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) 2(2k+1)

12 22 k2 则当 n=k+1 时, + +…+ + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (k+1)2 k(k+1) (k+1)2 = + (2k+1)(2k+3) 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) (k+1)(k+2) = , 2(2k+3) 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)可得对于任意的 n∈N*等式都成立.

用数学归纳法证明恒等式应注意的三点 用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况;二是弄清从 n=k 到 n=k+1 等 式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明 n=k+1 时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并 朝 n=k+1 证明目标的表达式变形.

[活学活用] 1 1 1 1 1 1 1 1 求证: 1 - + - +…+ - = + +…+ 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2
(n∈N*).

1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 1 1 右边= = ,左边=右边. 1+ 1 2 1 1 1 1 (2)假设 n=k(k∈N )时等式成立,即 1- + - +…+ - 2 3 4 2k-1
*

1 1 1 1 = + +…+ , 2k k+1 k+2 2k

则当 n=k+1 时,
? ? 1 1 1 1 1? 1 ? ? ? ? 1 ? 1 - + - + … + - - + ? ? ? 2 3 4 2k-1 2k? ? ? ?2k+1 2k+2? ? 1 ? 1 1? 1 ? ? ? ? 1 ? =?k+1+k+2+…+2k?+?2k+1-2k+2? ? ? ? ?

1 1 1 1 = + +…+ + . k+2 k+3 2k+1 2k+2 即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式成立.

用数学归纳法证明不等式
[典例] 已知 n∈N*,n>2,

1 1 1 求证:1+ + +…+ > n+1. n 2 3

[证明]

1 1 (1)当 n=3 时,左边=1+ + ,右边= 3+1=2, 2 3

左边>右边,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥3)时,不等式成立, 1 1 1 即 1+ + +…+ > k+1. k 2 3

当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1+ + +…+ + > k+1+ k 2 3 k+1 k+1 k+1+1 k+2 = = . k+1 k+1 k+2 k+2 因为 > = k+2= (k+1)+1, k+1 k+2 1 1 1 1 所以 1+ + +…+ + > (k+1)+1. k 2 3 k+1 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1),(2)知对一切 n∈N*,n>2,不等式恒成立.

[一题多变] 1.[变条件,变设问]将本题中所要证明的不等式改为: 1 1 1 1 5 + + +…+ > (n≥2,n∈N*),如何证明? 3n 6 n+1 n+2 n+3 1 1 1 1 5 证明:(1)当 n=2 时, + + + > ,不等式成立. 3 4 5 6 6 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,命题成立. 1 1 1 5 即 + +…+ > . 3k 6 k+1 k+2

则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 + +…+ + + 3k 3k+1 3k+2 (k+1)+1 (k+1)+2
? ? ? ?

1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? + = + +…+ + + + - 3k ?3k+1 3k+2 3k+3 k+1 3(k+1) k+1 k+2
?

? 5 ? 5 ? 1 1 1 1 1 1 ? 5 ? ? ? ? > + + + - > +3× - = . 6 ?3k+1 3k+2 3k+3 k+1? 6 ? 3k+3 k+1? 6 ? ?
? ?

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1),(2)可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N*都成立.

2.[变条件,变设问]将本题中所要证明的不等式改为:
? 1 ? 1?? 1? ? ? ? ?1+ ??1+ ?…?1+ > 3?? 5? ? 2n-1? ? ?

2n+1 (n≥2,n∈N*),如何证明? 2

1 4 5 证明:(1)当 n=2 时,左边=1+ = ,右边= . 3 3 2 左边>右边,所以原不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立,
? 1 ? 1?? 1? ? ? 即?1+3??1+5?…?1+2k-1? ?> ? ?? ? ? ?

2k+1 . 2

则当 n=k+1 时,
? 1 ? 1?? 1? ? ? ? 左边=?1+3??1+5?…?1+2k-1? ? ?? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 + > ? 2(k+1)-1? ? ?

2k+1 2k+2 · 2 2k+1

2k+2 4k2+8k+4 4k2+8k+3 = = > 2 2k+1 2 2k+1 2 2k+1 2k+3· 2k+1 2(k+1)+1 = = . 2 2 2k+1 所以,当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)和(2)可知,对一切 n≥2,n∈N*不等式都成立.

用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个 n 的值时,要注意 n0 不一定为 1,若 n>k(k 为正整数),则 n0=k+1. (2)证明不等式的第二步中, 从 n=k 到 n=k+1 的推导过程 中,一定要用到归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归 纳法,因为缺少归纳假设. (3)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形 式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式 子, 按要求比较它们的大小, 对第二类形式往往要先对 n 取前 n 个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某 个 n 值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时成立得 n= k+1 时成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.

归纳—猜想—证明
[典例] 2=2×1 3×4=4×1×3 4×5×6=8×1×3×5 5×6×7×8=16×1×3×5×7 你能做出什么一般性的猜想?能证明你的猜想吗? [ 解 ] 由 题 意 得 , 2 = 2×1,3×4 = 4×1×3,4×5×6 = 考察下列各式

8×1×3×5,5×6×7×8=16×1×3×5×7,… 猜想:(n+1)(n+2)(n+3)…2n=2n· 1· 3· 5· …· (2n-1),

下面利用数学归纳法进行证明: 证明:(1)当n=1时,显然成立; (2)假设当n=k时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+3)…2k= 2k· 1· 3· 5· …· (2k-1), 那么当n=k+1时, (k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)· …· 2(k+1) =(k+1)(k+2)· …· 2k· (2k+1)· 2 = 2k · 1· 3· 5· …· (2k-1)(2k+1)· 2 = 2k 1 · 1· 3· 5· …· (2k+1)


=2k+1· 1· 3· 5· …· [2(k+1)-1] 所以当n=k+1时等式成立. 根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立.

(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节

(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式,求通项或前 n 项和. ②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求 使命题成立的参数值是否存在. ③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对 任意正整数 n 都成立的一般性命题.

(n-1)an 1 数列{an}中,a1=1,a2= ,且 an+1= (n≥2),求 a3,a4, 4 n-an 猜想 an 的表达式,并加以证明. (n-1)an 1 解:∵a2= ,且 an+1= (n≥2), 4 n-an

[活学活用]

1 2× 7 1 a2 1 2a3 ∴a3= = = ,a = = = . 1 7 4 3-a3 1 10 2- a2 2- 3- 4 7 1 猜想:an= (n∈N*). 3n-2 下面用数学归纳法证明猜想正确.

1 4

(1)当 n=1,2 易知猜想正确. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时猜想正确, 1 即 ak= . 3k-2 当 n=k+1 时, (k-1)ak ak+1= k-ak 1 (k-1)· 3k-2 = 1 k- 3k-2

k-1 3k-2 = 2 3k -2k-1 3k-2 k-1 = 2 3k -2k-1 k-1 = (3k+1)(k-1) 1 = 3k+1 1 = 3(k+1)-2 ∴n=k+1 时猜想也正确. 由(1)(2)可知,猜想对任意 n∈N*都正确.

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