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高中数学比赛课件:三角函数图像的变化


用图像变换法画三角函数
y ? A sin(?x ? ? ) ? A ? 0, ? ? 0? 的图像

重点:用电脑动态演示函数图像的变换过程,让 学生形象直观地看到各参数对图像的影响, 从而发现和归纳出各种变换法则。

难点:

y ? sin ?x

y ? sin(?x ? ? )
y ? sin(?x ? ? )

y ? sin(x ? ? )

的变换过程.

一、提出问题
问题一: 在同一坐标系中画出 y ? sin(x ?

?

一个周期内的图像,并观察它们与 y ? sin x 的图像之间的关系。

) 和 y ? sin(x ? ) 靠近原点的 4 6

?

1 问题二: 在同一坐标系中画出 y ? sin 2 x 和 y ? sin x 靠近原点的一个 2 周期内的图像,并观察它们与 y ? sin x 的图像之间的关系。

问题三: 在同一坐标系中画出 y ? 2 sin x 和 y ?

周期内的图像,并观察它们与

1 sin x 靠近原点的一个 2 y ? sin x 的图像之间的关系。

二、研究问题
问题一:画 y ? sin(x ?
y ? sin(x ? ) 4
A1

?
4

) 和y ? sin(x ?

?
6

)的图像,并观察与 y ? sin x 的图像关系。

y
1
F1 B1

?

y ? sin x
B
B2

A
0

G

F
A2 G2

C1

5? C C 2 4

5? 3 E1 3? 2 7? 4
D2

E
2?

E2

?

?
4

?? 64

? 2? 3? 2 3 4

?

7? 6

13? 6

x
y ? sin(x ? ) 6

-1
D1

?

D

y ? sin x y ? sin x

所有的点向左平移 所有的点向右平移

? 个单位 4 ?
6
个单位

y ? sin(x ?

?

y ? sin(x ?

?

4

)

一般地, y ? sin x ? >0时,向左平行移动 ? 个单位

6

)

? <0时,向右平行移动 ? 个单位

y ? sin(x ? ? )

y ? sin(x ? ? )?x ? R ? 的图像,可看作由 y ? sin x 上所有的点向左或向右平移|? | ? |决定平移大小。 个单位而得,注意 ? 的正负决定平移方向, |

? ? y ? sin( 2 x ? ) y ? sin( 2 x ? ) y ? sin 2 x 变式1:如何由 的图像变换得到 和 4 6
的图像?

y
?
1
7? 12 3? ? 8 2

y ? sin(2 x ? ) 4

y ? sin 2 x
7? 8 13? 12

0
?

?

? ? 8 12 6

?

2?

x

-1

y ? sin 2 x
y ? sin 2 x

所有的点向左平移 所有的点向右平移
?

?
8

y ? sin(2 x ? ) 6

?

个单位 个单位
?

y ? sin(2 x ?

?
4

)
)

?
12

y ? sin(2 x ?

?
6

注意到:

y ? sin(2 x ? ) ? sin[2( x ? )] 4 8

?

一般地: y ? sin ?x
注意:
? ?

向左平移

? 个单位 ?
?

y ? sin(2 x ? ) ? sin[2( x ? )] 6 12

?

y ? sin(?x ? ? )
的大小决定平移量

( ? ? 0)

的正负决定平移方向, ?

变换法则(一)
函数 y ? sin(?x ? ? )的图像,可看作由函数 y ? sin ?x 的图像上
? 个单位而得,注意 ?

所有的点向左或向右平移
? 平移方向,?

?

的正负决定

决定平移大小。

问题二:画

1 y ? sin 2 x 和 y ? sin x 2
y
y ? sin 2 x
1

的图像,并观察其与 y

? sin x 的图像关系

1 y ? sin x 2

0
-1

?

2?

3?

4?

x

y ? sin x
y ? sin x
y ? sin x

1 纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍 2 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍

y ? sin x 一般地,

ω >1时,纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1/ω倍

y ? sin 2 x 1 y ? sin x 2

0<ω <1时,纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1/ω倍

y ? sin ?x

y ? sin ?x( x ? R, ? ? 0) 可以看作由 y ? sin x 上所有的点的纵坐标不 变,横坐标变为原来的 1 倍而得,注意 ? 与1的大小决定是扩大还是缩小。 ?

变式2:如何由 y ? sin(x ?

?

)的图像变换得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像? 6 6
?
y ? sin(x ? ) 6
3π 2 5? 3

?

y
1

y ? sin(2 x ? ) 6

?

? 7? 2 12

?

7? 6 13? 12

2?
13? 6

0
-1

? ? 12 6

? 3

2? 5? 3 6

x

1 ? y ? sin(x ? ) 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍 y ? sin(2 x ? ? )

6

6

1
纵坐标不变,横坐标变为原来的 ? 倍 一般地, y ? sin(x ? ? )

y ? sin(?x ? ? )

(? ? 0)

变换法则(二)
函数y ? sin(?x ? ? ) 可以看作由y ? sin(x ? ? ) 上所有的点



1

?

?
倍而得,注意 与1

纵坐标不变,横坐标变为原来的


大小决定是扩大还是缩小。

问题三:画 y ? 2 sin x 和 y ?
2 1
1 2 1 0 ? 2 ?1

y

1 sin x 的图像,并观察其与 y ? sin x 的关系 2

A1

y ? 2 sin x
B
B1

A

? 2

?

3? 2

2?

x
y ? sin x

?2

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x 1 横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍 y ? 1 sin x y ? sin x 2 2
A>1时,横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍 0<A<1时, 横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A倍

横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍

一般地, y ? sin x

y ? A sin x

变为原来的A倍而得。注意 A 与1的大小决定是扩大还是缩小。

y ? A sin x?x ? R, A ? 0? 可以看作由 y ? sin x 上所有的点,横坐标不变,纵坐标

变换法则(三)
函数y ? A sin x 可以看作由 y ? sin x
的 点,横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍而得。 注 意 A与1的大小决定是扩大还是缩小。

上所有

综合题:如何由 y ? sin x 变换一:

的图像变换到 y ? sin(2 x ? ) 的图像? 4

?

? ? 纵坐标不变,横坐标变 ? 向左平移 个单位 4 y ? sin x y ? sin(x ? ) y ? sin(2 x ? ) 1 为原来的 倍 4 4 2

y
1

? y ? sin(2 x ? ) ? 4 y ? sin(x ? )

4

y ? sin x

?

?
4

?

?0
8

? ? 3? ? 5? 3? 7? 8 4 8 2 8 4 8

?

5? 4

3? 2

7? 4

2?

x

-1

一般地:

y ? sin x

向左平移

? 个单位

y ? sin(x ? ? )

纵坐标不变,横坐标

1 变为原来的 倍 ?

y ? sin(?x ? ? )

综合题:如何由 y ? sin x 的图像变换到 y ? sin(2 x ?
变换二:

?
4

) 的图像?

? 向左平移 个单位 ? y ? sin x 纵坐标不变,横坐标变 y ? sin 2 x 8 y ? sin( 2 x ? ) 为原来的 1 倍 4 2

y
1

? y ? sin(2 x ? ) 4

y ? sin 2 x

y ? sin x

?

?
4

?

?0
8

? ? 3? ? 5? 3? 7? 8 4 8 2 8 4 8

?

3? 2

2?

x

-1

一般地:

y ? sin x

纵坐标不变,横坐标 1 变为原来的 倍

y ? sin ?x

向左平移

?

? 个单位 ?

y ? sin(?x ? ? )

变换法则(四) 由函数 y ? sin x 的图像变换得到函数 y ? sin(?x ? ? )
.

? A ? 0, ? ? 0?

的图像。

变换一:从参数? 入手

纵坐标不变,

y ? sin x

向左平移

? 个单位

y ? sin(x ? ? ) 横坐标变为原
1 来的 倍 ?

y ? sin(?x ? ? )

变换二:从参数?入手 变为原来的

y ? sin x

1 倍 ?

纵坐标不变,横坐标

y ? sin ?x ? 个 单 位
?

向左平移

y ? sin(?x ? ? )

三、归纳问题 由函数 y ? sin x
.
变换一:从参数? 入手 向左平移

的图像变换得到函数

? A ? 0, x ? R, ? ? 0? 的图像。
? 个单位
y ? sin(x ? ? )
纵坐标不变,

y ? A sin(?x ? ? )

y ? sin x

横坐标变为原 1 来的 倍

横坐标不变,
纵坐标伸长到 原来的A倍

?

y ? sin(?x ? ? )
变换二:从参数?入手

y ? A sin(?x ? ? )

1 倍 变为原来的 ? 变换三:从参数 A入手(口述)

y ? sin x

? 个 单 位 ? 纵坐标不变,横坐标

向左平移

y ? sin ?x

向两边扩展

四、应用举例及练习
是 y ? sin( x ?
A. C.

? 例1、若将某函数的图像向右平移 以后得到的图像的函数解析式 2

?

3? y ? sin(x ? ) 4

4

) ,则原来的函数解析式是( A
B.

)。

y ? sin( x ? ) 2

?

D. y ? sin( x ? ) 4 ? ? 例2、为了得到函数 y ? sin(x ? )的图像,只需将函数 y ? sin(2 x ? )

?

y ? sin( x ? ) ? 4 4

?

?

的图像上的每个点(

A

)。

5

5

A.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变; 1 B.横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;

C.纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变; 1 D.纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变。

例3:若函数 f ( x) ? sin(x ?

?
3

)

图像上每一个点的纵坐标不变,横

坐标伸长到原来的3倍得到函数 h( x ) 的图像,再将图像上所有的点向右 平移 6 个单位得到k ( x )的图像,最后将图像上每一点的横坐标不变, 纵坐标伸长到原来的3倍得到 g ( x ) 的图像

?

1 5? g ( x ) ? 3 sin( x ? ) 则 g ( x ) 的解析式为 3 18
归纳:1.函数变换前的解析式;函数变换后的解析式;变换法则三者知其二 能求第三 2.求变换法则时要注意变换方向 3. 多步变换时要按步进行

练习:课本

P52 3

P56 3

五、课堂小结
1、变换法则: y ? sin x

y ? sin(x ? ? )

y ? sin ?x y ? sin x y ? sin x
y ? sin(x ? ? )

y ? sin(?x ? ? )(水平平移变换) y ? A sin x
(上下伸缩变换)

y ? sin ?x
y ? sin(?x ? ? )
(水平伸缩变换)

y ? sin x

y ? sin x

y ? sin(?x ? ? ) y ? A sin(?x ? ? )

2、题型:函数变换前解析式,变换后解析式及变换法则三者知其二能求第三。 注意:两函数名相同,变换方向要明确。

知识拓展
1、要得到函数 y ? cos(x ?
? ? 0 呢? 2、若 A ? 0 ,

?
3

) 的图像,需将函数 y ? 3 sin 4 x怎样变换?
请学生课后思考!!!

六、布置作业

P115.

2. 3

谢谢


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