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2012年高考二轮复习三角函数专题 第2讲


第2讲
高考真题感悟】 【高考真题感悟】

三角变换与解三角形

(2011·山东 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 山东)在 山东 , , cos A-2cos C 2c-a - - a,b,c.已知 , , 已知 = b . cos B sin C (1)求 的值; 求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 的长. 若 =4 , a b c 解 (1)由正弦定理,可设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 = = , b ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A = , 所以 sin B cos B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, - = - , 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). + = + . sin C 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A.因此sin A=2. + + = , = . sin C 1 (2)由 由 =2,得 c=2a.由余弦定理及 cos B= , , = 由余弦定理及 = sin A 4 1 2 2 2 2 2 2 得 b =a +c -2accos B=a +4a -4a × =4a2. = 4 所以 b=2a.又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2. = 又 + + = , = , =

本题考查了正弦定理、余弦定理、 考题分析 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等变 换等基础知识.考查了考生的运算能力, 换等基础知识.考查了考生的运算能力,以及运用知识综 合分析、解决问题的能力.题目典型常规、难度适中. 合分析、解决问题的能力.题目典型常规、难度适中.
易错提醒 (1)注意化归思想的应用、 即将题中的条件都转 化为角的关系或都转化为边的关系. (2)不能正确进行三角恒等变换. (3)易忽略隐含条件:三角形内角和为 π.

主干知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 .两角和与差的正弦、余弦、 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. = (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. = ? tan α±tan β (3)tan(α±β)= = . 1?tan αtan β ? 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 .二倍角的正弦、余弦、 (1)sin 2α=2sin αcos α. = (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. = - = - = - 2tan α . (3)tan 2α= = 1-tan2α -

3.三角恒等式的证明方法 . (1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. 从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. 从等式的一边推导变形到另一边 (2)等式的两边同时变形为同一个式子. 等式的两边同时变形为同一个式子. 等式的两边同时变形为同一个式子 (3)将式子变形后再证明. 将式子变形后再证明. 将式子变形后再证明 4.正弦定理 . a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). 外接圆的直径 . sin A sin B sin C 变形: = 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. , = , = a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . =2R =2R =2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. ∶ ∶ = ∶ ∶

5.余弦定理 . a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, , , c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论: 推论:cos A= = ,cos B= = , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= . = 2ab 变形: 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B, , , a 2+b2-c2=2abcos C. 6.面积公式 . 1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. = = 2 2 2

7.解三角形 . (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. 已知两角及一边,利用正弦定理求解. 已知两角及一边 (2)已知两边及一边的对角, (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求 已知两边及一边的对角 解的情况可能不唯一. 解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. 已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. 已知两边及其夹角 (4)已知三边,利用余弦定理求解. 已知三边,利用余弦定理求解. 已知三边

热点分类突破
题型一 例1 三角变换及求值 π β 1 α (1)已知 0<β< <α<π,且 cos(α- )=- ,sin( -β) 已知 , - =- 2 2 9 2

2 的值; = ,求 cos(α+β)的值; + 的值 3 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- , 已知 , ∈ , , - = =- 2 7 求 2α-β 的值. - 的值.
α+β α β 思维启迪 (1)(α- )-( -β)= ; 2 2 2 (2)α=(α-β)+β,2α-β=α+(α-β).

π 解 (1)∵0<β< <α<π, ∵ , 2 π α π π β ∴- < -β< , <α- <π, - , 4 2 2 4 2 α 5 2 α 1-sin ( -β)= , ∴cos( -β)= = - = 2 2 3 β β 4 5 2 sin(α- )= 1-cos (α- )= - = - - = , 2 2 9 α+β + β α ∴cos =cos[(α- )-( -β)] - - 2 2 2 β α β α =cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin( -β) - + - 2 2 2 2 1 5 4 5 2 7 5 =(- )× + - × × = , 9 3 9 3 27 49×5 × + 239 2α+β ∴cos(α+β)=2cos + = -1=2× = × -1=- . =- 2 729 729

1 1 - tan(α-β)+tan β - + 2 7 1 (2)tan α=tan[(α-β)+β]= = - + = = = , 1 1 3 1-tan(α-β)tan β - - 1+ × + 2 7 tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] - = + - 1 1 + tan α+tan(α-β) + - 3 2 = = =1. 1 1 1-tan αtan(α-β) - - 1- × - 3 2 1 π ∵tan α= >0,∴0<α< ,∴0<2α<π. = , 3 2 2tan α 3 π , 又 tan 2α= = 2 = >0,∴0<2α< . 4 2 1-tan α - 1 π ∵tan β=- <0,∴ <β<π, =- , , 7 2 3π ∴-π<2α-β<0.∴2α-β=- . - ∴ - =- 4

探究提高

α+β + β α (1)注意角的变换,(α- )-( -β)= 注意角的变换, - - 注意角的变换 = ; 2 2 2

(2)先由 tan α=tan[(α-β)+β],求出 tan α 的值,再求 先由 的值, = - + , tan 2α 的值,这样能缩小角 2α 的取值范围; 的值, 的取值范围; (3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系, 善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系, 善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系 整体运 用条件中角的函数值可使问题简化. 用条件中角的函数值可使问题简化.

题型二 例2

正、余弦定理

(2011·大纲全国 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分 大纲全国)△ 大纲全国 、 、

别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. 、 、 , + - = (1)求 B; 求 ; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c. 若 = , = , ,
解 (1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2, 2 由余弦定理得 b =a +c -2accos B,故 cos B= . 2
2 2 2

又 B 为三角形的内角,因此 B=45°. (2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° 2+ 6 = . 4 2+ 6 bsin A bsin C sin 60° 故 a= = =1+ 3,c= =2× = 6. sin B sin B sin 45° 2

探究提高 正、 余弦定理与三角函数恒等变换综合考查是 高考的一个方向. 高考的一个方向 . 本题突破的关键是先根据三角变换化 简,再利用正、余弦定理求解. 再利用正、余弦定理求解.

规律方法总结
1.证明三角恒等式的常用方法 . (1)从一边开始证它等于另一边,一般由繁到简. 从一边开始证它等于另一边,一般由繁到简. 从一边开始证它等于另一边 (2)证明左右两边都等于同一个式子 或值 . 证明左右两边都等于同一个式子(或值 证明左右两边都等于同一个式子 或值). (3)运用分析法,证明其等式成立. 运用分析法,证明其等式成立. 运用分析法 2.三角恒等变形的基本思路 . (1)“化异为同”,“切化弦”,“1”的代换是三角恒 “化异为同” 切化弦” ” 等变换的常用技巧. 等变换的常用技巧. 化异为同”是指“ 化异名为同名” “ 化异为同 ” 是指 “ 化异名为同名 ” , “ 化异次为同 次”,“化异角为同角”. 化异角为同角” (2)角的变换是三角变换的核心,如 β=(α+β)-α,2α 角的变换是三角变换的核心, 角的变换是三角变换的核心 = + - , =(α+β)+(α-β)等. + + - 等

3.已知两边及其一边的对角,判断三角形解的情况 .已知两边及其一边的对角, 以已知 a,b,A 为例 , , (1)当 A 为直角或钝角时,若 a>b,则有一解;若 a≤b, 当 为直角或钝角时, ,则有一解; ≤ , 则无解. 则无解. (2)当 A 为锐角时,如下表: 当 为锐角时,如下表: a<bsin A 无解 a=bsin A bsin A<a<b a≥b = ≥ 一解 两解 一解

4.三角形中的常用结论 三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理:A+B+C=π. 三角形内角和定理: + + = 三角形内角和定理 (2)A>B>C?a>b>c?sin A>sin B>sin C. ? ? (3)a=bcos C+ccos B. = +

5.在△ABC 中,三边分别为 a,b,c(a<b<c) . , , (1)若 a2+b2>c2,则△ABC 为锐角三角形. 若 为锐角三角形. (2)若 a2+b2=c2,则△ABC 为直角三角形. 若 为直角三角形. 为钝角三角形. (3)若 a2+b2<c2,则△ABC 为钝角三角形. 若

名师押题我来做
?π ? 12 π 1.已知 cos?4-α?= , -α 是第一象限角, 是第一象限角, . ? ? 13 4 ?π ? sin?2-2α? ? ? 则 ? 的值是 . ? 的值是________. π sin?4 +α? ? ?

押题依据 同角三角函数的基本关系式,诱导公式及倍角 公式都是高考的热点,本题题点设置恰当,难度适中,体 现了对基础和能力的双重考查,故押此题.
押题级别 ★★★★★

?π ? π 5 ? -α?= , 是第一象限角, 解析 ∵ -α 是第一象限角,∴sin 4 4 ? ? 13 ?π ? ?π ? sin?2 -2α? sin 2?4 -α? ? ? ? ? 于是 ? = ? ?π ? π sin?4 +α? cos?4 -α? ? ? ? ? ?π ? 10 =2sin?4-α?= . ? ? 13

10 答案 13

2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, . , , ,,, 已知 2sin A= 3cos A. = (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; 若 的值; , (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 若 = , 面积的最大值.
押题依据 本题将三角函数、余弦定理及基本不等式巧妙 地结合在一起,突出了对重点知识的重点考查.体现了高 考题在知识的交汇处出题的理念,故押此题.
押题级别 ★★★★★



(1)∵ 2sin A= 3cos A,∴2sin2A=3cos A, ∵ = , = ,

即 2cos2A+3cos A-2=0, + - = , 1 舍去), 解得 cos A= 或-2(舍去 , = 舍去 2 π 又 0<A<π,∴A= . , = 3 由余弦定理, 由余弦定理,知 b2+c2-a2=2bccos A. 又 a2-c2=b2-mbc, , m 可得 cos A= ,∴m=1. = = 2

π (2)由余弦定理及 a= 3,A= , 由余弦定理及 = , = 3 可得 3=b2+c2-bc, = , 再由基本不等式 b2+c2≥2bc,∴bc≤3, , ≤ , 1 1 π 3 3 3 A= bc≤ ∴S△ABC= bcsin A= bcsin = bc≤ , 2 2 3 4 4 3 3 . 故△ABC 面积的最大值为 4

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