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椭圆及圆锥曲线练习题


1.2
知识点总结: 一.椭圆及其标准方程





1.椭圆的定义:平面内与两定点 F1,F2 距离的和等于常数 2a ? F1 F2 的点的轨迹叫做椭 圆,即点集 M={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c}; 这里两个定点 F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。 ( 2a ? F1 F2 时为线段 F1 F2 , 2a ? F1 F2 无轨迹) 。 2.标准方程:

?

?

c 2 ? a 2 ? b2
焦点 F(±c,0)

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ; a b
y2 x2 ②焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ; a b

焦点 F(0, ±c)

注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上; ②两种标准方程可用一般形式表示: 二.椭圆的简单几何性质: 1.范围 (1)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 或者 mx2+ny2=1 m n

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b a2 b2

(2)椭圆 2.对称性

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a a2 b2

椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中 心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 3.顶点 (1)椭圆的顶点:A1(-a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,-b) ,B2(0,b)
1

(2)线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做椭圆 的长半轴长和短半轴长。 (3)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方 程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
B2 y F2 O F1 B1 A2 x

P 图 形 A1 F1

y

B2 O F2 B1 A2

x

P A1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0) F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

离心率

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a





2b 2 (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段) a

4.离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比
2 记作 e( 0 ? e ? 1 ) ,e ?

2c c ,即 称为椭圆的离心率, 2a a

c2 b ? 1 ? ( )2 2 a a

王新敞
奎屯

新疆

e ? 0 是圆;e 越接近于 0 (e 越小) ,椭圆就越接近于圆; e 越接近于 1 (e 越大) ,
椭圆越扁; 注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
2

小结:基本元素 (1)基本量:a、b、c、e、 (共四个量) , 特征三角形 (2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3)基本线:对称轴(共两条线) 5.椭圆的的内外部

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

x y ? 2 2 a b

2

2

2 2 x0 y0 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b
2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
6.几何性质 (1) 最大角 ? ?F 1PF 2 ?max

? ?F1B2 F2 , (2)最大距离,最小距离
? | A|

三、弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

其中, A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 的判别式和 x 的系数 求弦长步骤: (1)求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的一元二次方程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 由韦达定理求出 x1 ? x 2 ? ?
2

B , A

x1 x 2 ?

C ; (3)代入弦长公式计算。 A
2

法(二)若是联立两方程,消去 x,得关于 y 的一元二次方程 Ay ? By ? C ? 0, 则相应的 弦长公式是:

1 1 1 ? | AB |? 1 ? ( ) 2 | y1 ? y 2 |? 1 ? ( ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 ? ( ) 2 ? k k k | A|
注意(1)上面用到了关系式 | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

? 和 | A|

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

? | A|
3

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距

离) ,但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分 割法 五、弦的中点坐标的求法 法(一) : (1)求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的一 元二次方程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由韦达定理求出 x1 ? x 2 ? ? 设中点 M ( x0 , y0 ) ,由中点坐标公式得 x0 ?

B ; (3) A

x1 ? x 2 ;再把 x ? x0 代入直线方程求出 y ? y0 。 2

法(二) :用点差法,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线上,线段 的中点坐标公式,过 A、B 两点斜率公式,列出 5 个方程,通过相减,代入等变形,求出 x0 , y0 。 六、求离心率的常用方法:法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系,消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程求 e (求 e 时, 要注意椭圆离心率取值范围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)

例题讲解: 一.椭圆定义: 1.方程

? x ? 2 ?2 ? y 2

?

? x ? 2 ?2 ? y 2

? 10 化简的结果是

2.若 ?ABC 的两个顶点 A? ?4,0? , B ? 4,0? , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程是

x2 y2 3.已知椭圆 + =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点距离为 16 9
二.利用标准方程确定参数 1.若方程

x2 y2 + =1 5?k k ?3
. . . . ,短轴长等于
4

(1)表示圆,则实数 k 的取值是 (2)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (3)表示焦点在 y 型上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (4)表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 2. 椭 圆 4 x ? 25 y ? 100 的 长 轴 长 等 于
2 2

, 顶点坐标

是 率等于 3.椭圆 ,

,焦点的坐标是

,焦距是

, 离心

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,则 m = 4 m



4.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 三.待定系数法求椭圆标准方程



1.若椭圆经过点 (?4, 0) , (0, ?3) ,则该椭圆的标准方程为 2.焦点在坐标轴上,且 a ? 13 , c ? 12 的椭圆的标准方程为
2 2



3.焦点在 x 轴上, a : b ? 2 : 1 , c ? 6 椭圆的标准方程为 4. 已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) ,求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标 准方程;

变式:求与椭圆 4x ? 9 y ? 36 共焦点,且过点 (3, ?2) 的椭圆方程。
2 2

四.焦点三角形 1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 , AB 是椭圆过焦点 F1 的弦,则 ?ABF2 的周长是 9 25



2.设 F1 , F2 为椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的焦点, P 为椭圆上的任一点,则 ?PF 1 F2 的周长是 多少? ?PF 1 F2 的面积的最大值是多少?

5

3.设点 P 是椭圆 为 。

x2 y 2 ? ? 1 上的一点, F1 , F2 是焦点,若 ?F1PF2 是直角,则 ?F1 PF2 的面积 25 16

变式:已知椭圆 9 x 2 ? 16y 2 ? 144 ,焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点. 若 ?F1 PF2 ? 60? , 求 ?PF 1 F2 的面积.

五.离心率的有关问题 1.椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 2 4 m
0

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120 ,则此椭圆的离心率 e 为 3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为

4、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰 直角三角形,求椭圆的离心率。

5. 在 △ ABC 中, ?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 椭圆的离心率 e ? .
6

1.2.1 椭圆例题及其练习题
3 x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1.已知椭圆 a (a>b>0)的离心率等于 5 ,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向 16 ? 旋转 2 后,所得的新椭圆的一条准线的方程y= 3 ,则原来的椭圆方程是

x2 y2 ? ?1 A. 129 48

x2 y2 ? ?1 B. 100 64

x2 y2 ? ?1 C. 25 16

x2 y2 ? ?1 9 D. 16

x2 y2 ? 2 2.椭圆 5a 4a ? 1 =1的焦点在x轴上,则它的离心率的取值范围是
1 A.(0, 5 ) 1 5 B.( 5 , 5 )]

? 5? ? 0, ? 5 ? ? C. ?

? 5 ? ? ,1? 5 ? ? D. ?

( x ? 3) 2 ( y ? 6) 2 ? ?1 4 m 3.椭圆 的一条准线为 x ? 7 ,则随圆的离心率 e 等于
1 A. 2

2 B. 2

3 C. 2

1 D. 4

4.已知椭圆

的两个焦点为F1?F2,过F2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A?B,则

三角形ABF1的周长是 A.20 B.24 C.32 D.40

5.已知椭圆的长轴为8,短轴长为4

3 ,则它的两条准线间的距离为

A.32

B.16

C.18

D.64

x2 y2 ? ?1 9 6.已知(4,2)是直线L被椭圆 36 所截得的线段的中点,则L的方程是
A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y+4=0 D.x+2y-8=0

7.若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为

7

1 A. 2

2 B. 3

3 C. 4

1 D. 4

8.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e为

10 10 A.
2

17 17 B.
2

2 13 C. 13

37 37 D.

9.椭圆ax +by =1与直线y=1-x交于A、B两点,若过原点与线段AB中点的直线的倾角为30°,则

a b 的值为

3 A. 4

3 B. 3

3 C. 2

D. 3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 10.过椭圆 a 的中心的弦为PQ,焦点为F1,F2,则△PQF1的最大面积是
A. a b B. b c C. c a D. a b c

1 11.一广告气球被一束平行光线投射到地平面上 ,其投影呈椭圆形 ,若此椭圆的离心率为 2 ,则光

线与地平面所成的角为
? A. 3 ? B. 6
1 C.arccos 3

? D. 4

9 12.如果椭圆的焦距是8,焦点到相应的准线的距离为 4 ,则椭圆的离心率为

4 A. 5

3 B. 4

2 C. 3

3 D.- 4

13.线段A1A2、B1B2分别是已知椭圆的长轴和短轴,F2是椭圆的一个焦点(|A1F2|>|A2F2|),若该

5 ?1 椭圆的离心率为 2 ,则∠A1B1F2等于?
A.30° B.45° C.120° D.90°

x2 ? y2 ? 1 2 a 24. 已知椭圆 (a>1) 的两个焦点为 F1,F2,P为椭圆上一点 , 且∠ F1PF2=60o,则 |PF1|· |PF2|
8

的值为

A.1

1 B. 3

4 C. 3

2 D. 3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? 2 ?k 2 2 b2 b 15.椭圆 a 和a (k>0)具有
A..相同的长短轴 B.相同的焦点 C.相同的离心率 D.相同的顶点

x2 y2 ? ?1 25 16.椭圆 9 的准线方程是
?
A.x=

25 4

?
B.y=

25 4

?
C.x=

9 4

?
D.y=

9 4

x2 y2 ? ?1 3 17.若椭圆 4 上一点P到右焦点的距离为3,则P到右准线的距离是
3 A. 4 3 B. 2

C.6

D.12

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b 18.自椭圆 (a>b>0)上任意一点P,作x轴的垂线,垂足为Q,则线段PQ的中点M的
轨迹方程是

A.

y2 x2 ? ?1 a 2 4b 2

B.

y2 x2 ? ?1 4a 2 b 2

C.

4x 2 y 2 ? 2 ?1 a2 b

D.

x2 4y2 ? 2 ?1 a2 b

19.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是

1 A. 5

3 B. 4

3 C. 3

1 D. 2

20.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍,则这个椭圆的离心率为

1 A. 4

2 B. 2

2 C. 4

1 D. 2

9

y2 ? ?1 21.椭圆 3m ? 1 2m 的准线平行于x轴,则m的取值范围是
A.m>0
2

x2

B.0<m<1
2

C.m>1

D.m>0且m≠1

22.椭圆x + 9y =36的右焦点到左准线的距离是

17 2 A. 2

B. 17 2

17 C. 2

9 2 D. 2

2 23.到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为 2 的动点的轨迹方程是
x2 y2 ? ?1 A. 16 12 x2 y2 ? ?1 B. 12 16

2 2 C. x ? 2 y ? 8x ? 56 ? 0

2 2 D. x ? 2 y ? 8x ? 68 ? 0

x2 ? y2 ?1 9 24.直线x-y-m=0与椭圆 且只有一个公共点,则m的值是

A.10

B.±10
2 2

C.± 10

D. 10

25.如果方程x +ky =2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是

A.(0,+∞)

B.(0,2)

C.(1,+∞)

D.(0,1)

x2 y2 ? ?1 9 26.椭圆 25 上点P到右准线等于4.5,则点P到左准线的距离等于
A.8 B.12.5 C.4.5 D.2.25

27.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份,则椭圆的离心率等于?

A. 3

3 B. 2

3 C. 3

3 D. 4

28.中心在原点,长轴长是短轴长的2倍,一条准线方程是x=4,则此椭圆的方程是

x2 y2 ? ?1 3 A. 12

x2 ?
B.

y2 ?1 4

x2 ? y2 ? 1 C. 4

x2 y2 ? ?1 12 D. 3

29.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率是

10

1 A. 2

3 B. 2 ?

3 C. 3

D.不能确定

30.函数y=2sin(arccosx)的图象是

A.椭圆

B.半椭圆

C.圆

D.直线

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 31.若F(c,0)是椭圆 a 的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则
M ?m 2 的点的坐标是 椭圆上与F点的距离等于

b2 A.(c,± a )

b2 B.(-c,± a )

C.(0,±b)

D.不存在

x2 y2 5 3 3 ? , 9 =1 上的点 ,F1,F2 是椭圆的两焦点 , 点 Q 在线段 F1P 上 , 且 32. 已知点 P( 2 2 ) 为椭圆 25
│PQ│=│PF2│,那么Q分F1P之比是

3 A. 4

4 B. 3

2 C. 5

5 D. 3

x2 y2 3 ? ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 33.若将离心率为 4 的椭圆 a 绕着它的左焦点按逆时针方向旋转 2 后,所
得新椭圆的一条准线方程是3y+14=0椭圆的另一条准线方程是 A. 3y-14=0 B. 3y-23=0 C. 3y-32=0 D. 3y-50=0

34.如图,直线l:x-2 y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为

1 A. 5

2 B. 5

5 C. 5

2 5 D. 5

11

35.如果方程x +ky =2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是

2

2

A.(0,+∞)

B.(0,2)

C.(1,+∞)

D.(0,1)

36.已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得

| PQ |?| PF2 | ,那

么动点Q的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

37.以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点M、N,椭圆的左焦点为F1,

且直线MF1与此圆相切,则椭圆的离心率e为

2 A. 2

3 B. 2

C.2- 3

D. 3 -1

a b (x ? )2 ( y ? )2 1 2 ? 2 ?1 x 2 ? y 2 ? ax ? by ? ab ? 0 2 2 2 a b 38.圆 与椭圆
的个数为 A.0 B.2 C.3 D.4

(a ? b ? 0)

的公共点

x2 y2 ? ? ?1 ?F1 PF2 ? 3 ,则△F1 P F2的面积是 39.P是椭圆 100 64 上的点,F1,F2是焦点,若

A. 64(2 ? 3 )

B. 64(2 ? 3 )

C.64

64 3 D. 3

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ?1 9 4 40.下列各点中,是曲线 的顶点的是
A.(1,-2) B.(0,-2) C.(1,-4) D.(-2,-1)

二、填空题
1.椭圆的焦点F1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.

x2 y2 ? ?1 4 2.椭圆 9 上的点到直线 2x ? 3 y ? 3 3 ? 0 距离的最大的值是
12

.

x2 y2 ? ?1 9 3.已知F1?F2是椭圆 25 的两个焦点,AB是过焦点F1的弦,若︱AB︳=8,则︱F2A︳+︱F2B︳
的值是 A.16 B.12 C.14 D.8
2 2

4.若A点坐标为(1,1),F1是5x +9y =45椭圆的左焦点,点P是椭圆的动点,则|PA|+|PF1|的最

小值是__________.
5.直线y=1-x交椭圆mx +ny =1于M,N两点,弦MN的中点为P,若
2 2

2 m ,则 ? n _______________. KOP= 2
6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是______.

2 7.已知椭圆的准线方程是y= ? 9,离心率为 3 ,则此椭圆的标准方程是_______________.
2 8.到定点 (1, 0) 的距离与到定直线x=8的距离之比为 2 的动点P的轨迹方程是
2 2

.

9. 已知椭圆 x +2 y =2 的两个焦点为 F1 和 F2 , B 为短轴的一个端点,则△ BF1F2 的外接圆方程是

_________________。
10.已知点A(0,1)是椭圆x +4y =4上的一点,P是椭圆上的动点,当弦 AP的长度最大时,则点P
2 2

的坐标是_________________.
11. 椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是 (0 , 13) ,另一个顶点是 (-10 , 0) ,则焦点坐标



.

x2 y2 ? 12.P是椭圆 27 16 =1上的点,则点P到直线4x+3y-25=0的距离最小值为
x2 y2 ? 2 ?1 2 b 13.如图,F1,F2分别为椭圆 a 的左、右焦点,点P在椭圆上,
△POF2是面积为 3 的正三角形,则b2的值是 .

.

13

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 14.椭圆 a 的左焦点为F,A(-a,0),B (0,b)是两个项点,如果占F到直线AB b
的距离等于 7 ,则椭圆的离心率为___________.
15.椭圆x +4y =4长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,
2 2

该三角形的面积是______________.

x2 y2 ? ?1 a2 a2 16.椭圆 2 与连结A(1,2),B(2,3)的线段没有公共点,则正数a的取值范围
是 .

x2 y2 ? 2 2 b =1(a>b>0)的两个焦点 ,P是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个 17. 设 F1(-c,0)? F2(c,0)是椭圆 a
交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为

3 A. 2

6 B. 3

2 C. 2

2 D. 3

x2 y2 ? ?1 3 18.椭圆 12 焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|
的______________.
x2 y2 ? ?1 19. 已 知 椭 圆 25 9 , 左 右 焦 点 分 别 为 F1 ? F2,B(2,2) 是 其 内 一 点 ,M 为 椭 圆 上 动 点 , 则

|MF1|+|MB|的最大值与最小值分别为______________.
20.如果方程x +ky =2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是______.
2 2

x2 y2 ? ?1 2 m m ? 1 21.方程 表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是______.

14

三、解答题

3 5 ?0 2 2 ? y 1.设中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 2 , 并且椭圆与圆 x -4x-2y+ 2 交于
A,B 两点,若线段 AB 的长等于圆的直径。 (1)求直线AB的方程; (2)求椭圆的方程.

2.在直角坐标系中,△ABC两个顶点C、A的坐标分别为(0,0) 、 (2 3 ,0) ,三个内角A、B、C

满足 2 sin B ? 3 (sin A ? sinC ) . (1)求顶点B的轨迹方程;

(2)过顶点C作倾斜角为θ 的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点,当 积S(θ )的最大值.

? ? ? (0, )

2 时,求△APQ面

15

3.已知点 M 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,M P' 垂直于椭圆焦点所在的直线,垂直为 P' ,并且 M 为线段 25 9

P P' 的中点,求 P 点的轨迹方程

x2 y 2 5 ? ? 1(0 ? m ? 45) 的焦点分别是 F1 和 F2 , 4.椭圆 已知椭圆的离心率 e ? 过中心 O 作 45 m 3
直线与椭圆交于 A,B 两点, O 为原点,若 ? ABF2 的面积是 20,求: (1) m 的值(2)直线 AB 的方程

16

5.已知圆 B : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 及点 A(1, 0) , M 为 圆 B 上任一点,线段 AM 的垂直平分线与线段 BM 的交点为 P ,设点 P 的轨迹为曲线 C 。 (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)过点 (?2, 4) 且倾斜角为
y
6

3? 的直线 4

4

与曲线 C 交于 E , F 两点, O 为坐标原点, 求 ?OEF 的面积; (3)过点 (1, ?1) 的直线 l 与曲线 C 交于
5

2

P

M

?1 B

o
2

1
A
5

x

R, S 两点,且线段 RS 被点 (1, ?1) 平分, 求直线 l 的方程。

4

x2 y2 ? 1 (a ? 1) 相交于 A , B 两点,且 l 过椭圆 C 的 6.设直线 l : y ? x ? b 与椭圆 C: 2 ? 2 a a ?1
右焦点,若以 AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点,求该椭圆 C 的方程。

17

x2 y 2 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? 7.已知椭圆 2 ? ,右准线方程 a b 2
为x ? 2. (I)求椭圆的标准方程;

(II) 过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M 、N 两点, 且 F2 M ? F2 N ?

????? ???? ?

2 26 , 求直线 l 的方程。 3

x2 y 2 F F C : ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相 别为椭圆 1 2 8.设 , 分 a 2 b2
交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.
?

???? ?

???? ?

18

9.设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点, a 2 b2
o

直线 l 的倾斜角为 60 , AF ? 2 FB . (I) (II) 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

??? ?

??? ?

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

10.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ?

1 . 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积 相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

19

11.已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 a b 2

为 4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0). (i)若|AB |=

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5

(ii)若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 .求 y0 的值. (0,y0)

12.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,-3) , (0,3) ,椭圆的短轴长为 8; (2)两个焦点的坐标分别为(- 5 ,0) , ( 5 ,0) ,并且椭圆经过点 (2 2, )

2 3

(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P 1 ( 6,1)、P 2 (- 3,- 2)

20

13.椭圆

x2 y 2 5 ? ? 1(0 ? m ? 45) 的焦点分别是 F1 和 F2 ,已知椭圆的离心率 e ? 过中心 O 45 m 3

作直线与椭圆交于 A,B 两点, O 为原点,若 ?ABF2 的面积是 20,求: (1) m 的值(2)直线 AB 的方程

14.设 F 1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相 a 2 b2
?

交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

???? ?

???? ?

21

15.设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求∣ PF1 ∣?∣ PF2 ∣的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为 坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

16.已知椭圆

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? ,右准线方程 2 a b 2

为x ? 2。 (I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M 、N 两点,且 F2 M ? F2 N ?

????? ???? ?

2 26 ,求直线 l 的方程。 3

22

1.2.3 椭圆综合练习
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.离心率为

2 ,长轴长为 6 的椭圆的标准方程是( ) 3 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ? 1或 ? ?1 (A) (B) 9 5 9 5 5 9 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1或 ? ?1 (C) (D) 36 20 36 20 20 36


2.动点 P 到两个定点 F 1 (- 4,0). F2 (4,0)的距离之和为 8,则 P 点的轨迹为( A.椭圆 B.线段 F1F2
2

C.直线 F1F2

D.不能确定

3.已知椭圆的标准方程 x ? A. (? 10,0)

y2 ? 1,则椭圆的焦点坐标为( ) 10 B. (0, ? 10) C. (0, ?3) D. (?3,0)


x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3, 4.已知椭圆 则 P 到另一焦点的距离是 ( 5 9 A. 2 5 ? 3 B.2 C.3 D.6
5.如果

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围为( ) a2 a ? 2 A. (?2, ??) B. ? ?2, ?1? ? ? 2, ??? C. (??, ?1) ? (2, ??) D.任意实数 R
) A.方程 x ? xy ? y ? 0 的曲线关于 X 轴对称
2 2

6.关于曲线的对称性的论述正确的是( B.方程 x3 ? y 3 ? 0 的曲线关于 Y 轴对称

C.方程 x ? xy ? y ? 10 的曲线关于原点对称
2 2

D.方程 x ? y ? 8 的曲线关于原点对称
3 3

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1(a>b>0,k>0 且 k≠1)与方程 2 ? 2 ? 1(a>b>0)表示的椭圆( ). 7.方程 ka 2 kb 2 a b
A.有相同的离心率;B.有共同的焦点;C.有等长的短轴.长轴; D.有相同的顶点. 8.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 , 过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的直线与 2 a b 2
23

??? ? ??? ? C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (
(A)1 (B) 2

) (D)2 )

(C) 3

9 .若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(

1 2 C. 5 D. 5 2 2 x y ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 10.若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 3 ??? ? ??? ? ) OP ? FP 的最大值为(

4 A. 5

3 B. 5

A.2 11.椭圆

B.3

C.6

D.8

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A .在椭圆上存在点 P a 2 b2
)

满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( ( A) (0,

1 2 ] (B) (0, ] 2 2

(C)[ 2 ? 1 ,1) (D)[

1 ,1) 2
)

12.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是( A.[ 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 ] 13 B.[ 1 ? 2 ,3] C.[-1, 1 ? 2 2 ] D.[ 1 ? 2 2 ,3] 二、填空题: (本大题共 4 小题,共 16 分.)

若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是

14 为 15

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2 的连线的夹角为直角,则 Rt△PF1F2 的面积 49 24
.

已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , 且

B F ? 2 F D ,则 C 的离心率为
16 已知椭圆 c:

.

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P( x0 , y0 ) 满 足 0 ? 0 ? y0 ?1 , 则 2 2
___。

| PF1 |+ PF2 |的取值范围为____

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(12 分)已知点 M 在椭圆
'

x2 y 2 ? ? 1 上,M P' 垂直于椭圆焦点所在的直线,垂直为 P' , 25 9

并且 M 为线段 P P 的中点,求 P 点的轨迹方程

24

18.(12 分)椭圆

x2 y 2 5 ? ? 1(0 ? m ? 45) 的焦点分别是 F1 和 F2 , 已知椭圆的离心率 e ? 过中 45 m 3

心 O 作直线与椭圆交于 A,B 两点, O 为原点,若 ? ABF2 的面积是 20, 求: (1) m 的值(2)直线 AB 的方程

19(12 分)设 F 1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与 a 2 b2
?

椭圆 C 相交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

???? ?

???? ?

25

1.3

双曲线

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF 1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF 1 |? 2a ( 2a ?| F 1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程
y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
2 2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
P y F2 B2 O B1 F1 x

P 图 形 F1 A1

y x O A2 F2





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

离心率 渐近线 通 径

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

(3)双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线, 可令其右边的 1 为 0, 即得 x ? y ? 0 , 因式分解得到 x ? y ? 0 。 2 2 2 2

a

b

a

b

a

b

②与双曲线

2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; 2 a b a b

26

(4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2
2 2 (4)常用结论: (1)双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双曲 a2 b2

线的同一支于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的直线 a2 b2

交双曲线于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 一、选择题:

| PQ |?

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( ) 4 9 2 4 3 9 (A) y ? ? x (B) y ? ? x (C) y ? ? x (D) y ? ? x 3 9 2 4 2 2 2. 双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ( ) 1 1 A. ? B. ?4 C. 4 D. 4 4 2 2 x y 3.双曲线 2 ? 2 ? 1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( b a 3 A.2 B. 3 C. 2 D. 2
1.双曲线 4.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0) , (4,0) ,则双曲线方程为( (A)





x y2 ? ?1 6 10 1 5.已知双曲线 9 y 2 ? m2 x2 ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 , 5 则 m?( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 ???? ? ????? y 2 ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x 6.已知双曲线 x ? 2 4 5 2 3 轴的距离为( ) A. B. C. D. 3 3 3 3 x2 y 2 7.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1 , F2 ,若 P 为其上的一点,且 a b ) A. (1,3) B. (1,3] | PF1 |? 2 | PF2 | ,则双曲线离心率的取值范围为( C. (3, ??) D. [3, ??) x y x y ? ? 1 (B) ? ?1 4 12 12 4
(C)

2

2

2

2

x y ? ?1 10 6

2

2

2

(C)

8.如图, F1 和 F2 分别是双曲线 以 O F1

x2 r 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心, a2 b2
27

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且△ F2 AB 是等边三角形, 则双曲线的离心率为 ( (A) 3 (B) 5 (C)



5 2

( D) 1 ? 3

二、填空题:

x2 y2 ? ? 1的离心率是 3 。则 n = n 12 ? n 10.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ,则双曲线
9. 已知双曲线 的标准方程是____________________. 11.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为F1、F2,点 P 在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点 P 9 16
___________
王新敞
奎屯 新疆

到x轴的距离为 12.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两 a 2 b2

点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_____ ___.

1.4 抛物线
(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0 焦点在 y 轴上, 开口向上 焦点在 y 轴上, 开口向下

焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方 程
y 2 ? 2 px

焦点在 x 轴上, 开口向左
y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

l
图 形 O

y P x F

P F

y

l
x P

y F O x

l
P

O

y O F

x

l
顶 点 对称轴 焦 点
p F ( ,0 ) 2

O(0,0)

x轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

y轴
p F (0,? ) 2

离心率

e ?1
28

准 通

线 径

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

2p
| PF |?| x 0 | ? p 2
| PF |?| y 0 | ? p 2

焦半径 焦点弦 焦准距 一、选择题:

p

1.抛物线 y 2 ? 8x 的准线方程是( ) (A) x ? ?2 (B) x ? ?4 (C) y ? ?2
2

(D) y ? ?4 )

2.抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A.

17 16
2

B.

15 16
C. 2

C.

7 8

D.0 )

3.在抛物线 y ? 2px 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为( A.

1 2

B. 1

D. 4

4.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( ) (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0 5.设坐标原点为 O,抛物线 y 2 ? 2 x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA ? OB ? ( (A) )

3 4

(B)-

3 4

(C)3

(D)-3

6.已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离 之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ) A. (

1 1 ,-1) B. ( ,1) 4 4

C. (1,2)

D. (1,-2)

7.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相 交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( ) (A)4 (B)3 3 (C) 4 3 (D)8 8.已知两点 M(-2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 | MN | ? | MP | ?MN ? NP =0, 则动点 P(x,y)的轨迹方程为( ) ( A) y 2 ? 8 x 二.填空题: 9.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛 物线的方程是 . (B) y 2 ? ?8x (C) y 2 ? 4 x (D) y 2 ? ?4 x

???? ?

????

???? ? ??? ?

29

10.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则实数 a ?



11.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交抛物线于 A 、 B 两点,则以 F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 12.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 两点,则
2 2 y1 的最小值是 ? y2

30


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