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示范教案(3.2.2 直线的两点式方程)


3.2.2 直线的两点式方程 整体设计 教学分析 本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率 k 不存在或斜率 k=0 时对两点式的讨论及 变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点),则可用两点 式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的 坐标,因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、 周长等问题时,经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通 过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式. 三维目标 1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程, 并能运用这两种形式求出直线的 方程.培养学生数形结合的数学思想,为今后的学习打下良好的基础. 2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形 成严谨的科学态度和求简的数学精神. 重点难点 教学重点:直线方程两点式和截距式. 教学难点:关于两点式的推导以及斜率 k 不存在或斜率 k=0 时对两点式方程的讨论及变形. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.上节课我们学习了直线方程的点斜式, 请问点斜式方程是什么?点斜式方程是怎样推 导的?利用点斜式解答如下问题: (1)已知直线 l 经过两点 P1(1,2),P2(3,5),求直线 l 的方程. (2)已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),求通过这两点的直线方程. 思路 2.要学生求直线的方程,题目如下: ① A(8,-1),B(-2,4); ② A(6,-4),B(-1,2); ③ 1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2). A(x (分别找 3 个同学说上述题的求解过程和答案,并着重要求说求 k 及求解过程) 这个答案对我们有何启示?求解过程可不可以简化?我们可不可以把这种直线方程取一个 什么名字呢? 推进新课 新知探究 提出问题 ① 已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),求通过这两点的直线方程. ② 若点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有 x1=x2 或 y1=y2,此时这两点的直线方程是什么? ③ 两点式公式运用时应注意什么? ④ 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B(0,b),其中 a≠0,b≠0,求直线 l 的方 程. ⑤ a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离? ⑥ 截距式不能表示平面坐标系下哪些直线? 活动:① 教师引导学生:根据已有的知识,要求直线方程,应知道什么条件?能不能把问题 转化为已经解决的问题呢?在此基础上,学生根据已知两点的坐标,先判断是否存在斜率,

然后求出直线的斜率,从而可求出直线方程.师生共同归纳: 已知直线上两个不同点,求直线的方程步骤: a.利用直线的斜率公式求出斜率 k; b.利用点斜式写出直线的方程. ∵ 1≠x2,k= x

y 2 ? y1 , x2 ? x1 y 2 ? y1 (x-x1). x2 ? x1

∴ 直线的方程为 y-y1=

∴ 的方程为 y-y1= l

y 2 ? y1 (x-x1).① x2 ? x1 y ? y1 x ? x1 .② ? y 2 ? y1 x2 ? x1

当 y1≠y2 时,方程① 可以写成

由于② 这个方程是由直线上两点确定的,因此叫做直线方程的两点式. 注意:② 式是由① 式导出的,它们表示的直线范围不同.① 式中只需 x1≠x2,它不能表示倾斜 角为 90° 的直线的方程;② 式中 x1≠x2 且 y1≠y2,它不能表示倾斜角为 0° 90° 或 的直线的方程, 但 ②式 相 对 于 ①式 更 对 称 、 形 式 更 美 观 、 更 整 齐 , 便 于 记 忆 . 如 果 把 两 点 式 变 成 (y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ② 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师 引导学生通过画图、观察和分析,发现当 x1=x2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为 x=x1; 当 y1=y2 时,直线与 y 轴垂直,直线方程为 y=y1. ③ 引导学生注意分式的分母需满足的条件. ④ 使学生学会用两点式求直线方程; 理解截距式源于两点式, 是两点式的特殊情形.教师引导 学生分析题目中所给的条件有什么特点?可以用多少方法来求直线 l 的方程?哪种方法更为 简捷?然后求出直线方程. 因为直线 l 经过(a,0)和(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得 就是

y?0 x?a ? .① b?0 0?a

x y ? =1.② a b

注意:② 这个方程形式对称、美观,其中 a 是直线与 x 轴交点的横坐标,称 a 为直线在 x 轴上 的截距,简称横截距;b 是直线与 y 轴交点的纵坐标,称 b 为直线在 y 轴上的截距,简称纵 截距. 因为方程② 是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的,所以方程② 式叫做直线方程的截距式. ⑤ 注意到截距的定义,易知 a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴 x 轴交点的横坐标,与 y 轴交点的纵坐标,而不是距离. ⑥ 考虑到分母的原因, 截距式不能表示平面坐标系下在 x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线的方 程,即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. 讨论结果:① x1≠x2 且 y1≠y2,则直线 l 方程为 若

y ? y1 x ? x1 . ? y 2 ? y1 x2 ? x1

② x1=x2 时,直线与 x 轴垂直,直线方程为 x=x1;当 y1=y2 时,直线与 y 轴垂直,直线方 当

程为 y=y1. ③ 倾斜角是 0° 90° 或 的直线不能用两点式公式表示(因为 x1≠x2,y1≠y2). ④ ?

x a

y =1. b

⑤ a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴 x 轴交点的横坐标,与 y 轴交点的纵坐标,而不是距 离. ⑥ 截距式不能表示平面坐标系下在 x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线的方程, 即过原点或与坐 标轴平行的直线不能用截距式. 应用示例 思路 1 例 1 求出下列直线的截距式方程: (1)横截距是 3,纵截距是 5; (2)横截距是 10,纵截距是-7; (3)横截距是-4,纵截距是-8. 答案: (1)5x+3y-15=0; (2)7x-10y-70=0; (3)3x+4y+12=0. 变式训练 已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=3,BC=4,直角顶点 C 在原点,直角边 AC 在 x 轴负方 向上,BC 在 y 轴正方向上,求斜边 AB 所在的直线方程. 答案:4x-3y+12=0. 例 2 如图 1,已知三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角形三边所 在直线的方程.

图1 活动:根据 A、B、C 三点坐标的特征,求 AB 所在的直线的方程应选用两点式;求 BC 所在 的直线的方程应选用斜截式;求 AC 所在的直线的方程应选用截距式. 解:AB 所在直线的方程,由两点式,得

y?0 x ? (?5) ? ,即 3x+8y+15=0. ? 3 ? 0 3 ? (?5)
5 x+2,即 5x+3y-6=0. 3 x y ? =1,即 2x-5y+10=0. AC 所在直线的方程,由截距式,得 ?5 2
BC 所在直线的方程,由斜截式,得 y=变式训练 如图 2,已知正方形的边长是 4,它的中心在原点,对角线在坐标轴上,求正方形各边及 对称轴所在直线的方程.

图2 活动:由于正方形的顶点在坐标轴上,所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方 形的对称轴 PQ,MN,x 轴,y 轴则不能用截距式,其中 PQ,MN 应选用斜截式;x 轴,y 轴的方程可以直接写出. 解:因为|AB|=4,所以|OA|=|OB|=

4 2

? 2 2.

因此 A、B、C、D 的坐标分别为(2 2 ,0)、(0,2 2 )、(-2 2 ,0)、(0,-2 2 ). 所以 AB 所在直线的方程是

x 2 2

?

y 2 2

=1,即 x+y-2 2 =0.

BC 所在直线的方程是

x ?2 2
x ?2 2

?

y 2 2
7

=1,即 x-y+2 2 =0.

CD 所在直线的方程是

?

?2 2

=1,即 x+y+2 2 =0.

DA 所在直线的方程是

x 2 2

?

7 ?2 2

=1,即 x-y-2 2 =0.

对称轴方程分别为 x± y=0,x=0,y=0. 思路 2 例 1 已知△ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点. (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长;(3)求 AB 边的高所在直线方程.

y ?5 x ?1 ? ,即 6x-y+11=0. ?1? 5 ? 2 ?1 ?2?4 ?1? 3 (2)设 M 的坐标为(x0,y0) ,则由中点坐标公式,得 x0= =1,y0= =1, 2 2
解: (1)由两点式写方程,得
2 2 故 M(1,1),AM= (1 ? 1) ? (1 ? 5) =2 5 .

(3)因为直线 AB 的斜率为 kAB= 则有 k× AB=k× k (-6)=-1,∴ k=

5 ?1 =-6,设 AB 边上的高所在直线的斜率为 k, ?3? 2

1 . 6 1 (x-4),即 x-6y+14=0. 6

所以 AB 边高所在直线方程为 y-3=

变式训练 求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形, 并且两截距之差为 3 的直线的方程. 解:设直线方程为

x y 1 ? =1,则由题意知,有 ab=3,∴ ab=4. 2 a b

解得 a=4,b=1 或 a=1,b=4. 则直线方程是

x y x y ? =1 或 ? =1,即 x+4y-4=0 或 4x+y-4=0. 4 1 1 4

例 2 经过点 A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直 线的方程. 解:当截距为 0 时,设 y=kx,又过点 A(1,2),则得 k=2,即 y=2x. 当截距不为 0 时,设

x y x y ? =1 或 ? =1,过点 A(1,2), a ?a a a

则得 a=3,或 a=-1,即 x+y-3=0 或 x-y+1=0. 这样的直线有 3 条:2x-y=0,x+y-3=0 或 x-y+1=0. 变式训练 过点 A(-5,-4)作一直线 l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5. 答案:2x-5y-10=0,8x-5y+20=0. 知能训练 课本本节练习 1、2、3. 拓展提升 问题:把函数 y=f(x)在 x=a 及 x=b 之间的一段图象近似地看作直线,设 a≤c≤b,证明 f(c)的 近似值是 f(a)+

c?a [f(b)-f(a)]. b?a

证明:∵ A、B、C 三点共线,∴ AC=kAB, k

f (c) ? f (c) f (b) ? f (a) ? . c?a b?a c?a c?a ∴ f(c)-f(a)= [f(b)-f(a)],即 f(c)=f(a)+ [f(b)-f(a)]. b?a b?a c?a ∴ f(c)的近似值是 f(a)+ [f(b)-f(a)]. b?a
即 课堂小结 通过本节学习,要求大家:掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程,并能运用 这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想,为今后的学习打下良好的基础.了解 直线方程截距式的形式特点及适用范围, 树立辩证统一的观点, 形成严谨的科学态度和求简 的数学精神. 作业 课本习题 3.2 A 组 9、10. 设计感想 计算机技术的发展日新月异, 将计算机引进课堂是大势所趋, 有条件的学校或教师可以 引进或自己制作多媒体课件来辅助教学,以提高教学效果,激发学生兴趣,达到事半功倍的 效果.介绍如下:在直角坐标系中,给出两个已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),但 A 点 B 点的坐 标受变量控制,即是可变的,坐标系中显示 A、B 两点决定的直线,且显示相对应的两点式 表示的直线方程,当 A、B 两点不断任意变化时,直线和直线方程也随之不断变化(通过动 感引发学生的兴趣),并伴随悦耳的音乐声,只有当 x1=x2 或 y1=y2 时,直线依然存在,而直

线方程显示“不存在”(并不断闪烁),伴以悦耳的提示音,且变幻的画面,需用鼠标点击才能继 续运转.对于两点式的其他变式也可以同样如法炮制.通过这些形象、生动的画面和声音能极 大引发学生学习的兴趣,达到意想不到的效果.


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