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【人教A版】高中数学同步辅导与检测:选修2-1 第一章1.4-1.4.2存在量词

第一章 1.4

常用逻辑用语

全称量词与存在量词 1.4.1 1.4.2
A级

全称量词 存在量词
基础巩固

一、选择题 1.下列命题中,不是全称命题的是( A.任何一个实数乘以 0 都等于 0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析:D 选项是特称命题. 答案:D 2.下列命题中特称命题的个数是( (1)至少有一个偶数是质数. (2)?x0∈R,log2x0>0. (3)有的实数大于零. A.0 B.1 C.2 D.3 ) )

解析:(1)中含有存在量词“至少”,所以是特称命题. (2)中含有存在量词符号“?” ,所以是特称命题. (3)中含有存在量词“有的”,所以是特称命题. 答案:D

3.下列命题不是“?x0∈R,x20>3”的表述方法的是( A.有一个 x0∈R,使 x20>3 B.对有些 x0∈R,使 x20>3 C.任选一个 x0∈R,使 x20>3 D.至少有一个 x0∈R,使 x20>3

)

解析:选项 C 中“任选一个”是全称量词,没有“?”的含义. 答案:C 4.下列特称命题中,假命题是( A.?x0∈R,x20-2x0-3=0 B.至少有一个 x0∈Z,x0 能被 2 和 3 整除 C.存在两个相交平面垂直于同一直线 D.?x0∈{x|x 是无理数},x20 是有理数 解析: 垂直于同一直线的两个平面是平行的, 所以找不到两个相 交平面垂直于同一直线. 答案:C 5.若存在 x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a<1 C.-1<a<1 答案:A 二、填空题 6.若命题 p:“?x∈[0,1],a≥ex”为真命题,则 a 的取值范 围是________. 解析:因为函数 y=ex 在[0,1]上为增函数, 所以 1≤y≤e, 若 p 为真,则 a≥(ex)max=e. B.a≤1 D.-1<a≤1 )

答案:[e,+∞) 7.给出四个命题:①末位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的 菱形是正方形;③存在实数 x,x>0;④对于任意实数 x,2x+1 是 奇数.其中特称命题为________(填序号). 答案:②③ 8.若?x∈R,f(x)=(a2-1)x 是单调减函数,则 a 的取值范围是 ________. 解析:依题意有:
2 ? ?a<-1或a>1, ?a -1>0, ? ? 0<a -1<1? 2 ?? ? ?a -1<1, ? ? ?- 2<a< 2, 2

- 2<a<-1 或 1<a< 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2) 三、解答题 9.首先判断下列命题是全称命题还是特称命题,然后写出命题 的否定,并判断其真假. (1)有些素数是奇数; (2)所有的矩形都是平行四边形; (3)不论 m 取何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根; (4)?x0∈R,x20+2x0+5>0. 解:(1)是特称命题,其否定为:所有的素数都不是奇数,假命 题. (2)是全称命题,其否定为:存在一个矩形,不是平行四边形, 假命题. (3)是全称命题,其否定为:存在实数 m,使得 x2+2x-m=0 没有实数根, 因为 Δ=4+4m<0,即当 m<-1 时,一元二次方程没有实根,

所以其否定是真命题. (4)是特称命题,其否定为:?x∈R,x2+2x+5≤0,因为 x2+ 2x+5=(x+1)2+4≥4,所以命题的否定是假命题. 10.关于 x 的函数 y=x2-(a+1)x+2a 对于任意 a∈[-1,1]的 值都有 y>0,求实数 x 的取值范围. 解:设 f(a)=x2-(a+1)x+2a,则有 f(a)=(2-x)a+x2-x,a∈ [-1,1],因为 a∈[-1,1]时,y=f(a)>0 恒成立,则 (1)当 x=2 时,f(a)=2>0 显然成立;
? ?f(-1)>0, (2)当 x≠2 时, 由 f(a)>0 在 a∈[-1, 1]上恒成立, 得? ?f(1)>0, ? ?x2-2>0, ? 即? 解得 x> 2或 x<- 2. ? ?x2-2x+2>0,

综上可得:x> 2或 x<- 2. B级 能力提升

1.四个命题:①?x∈R,x2-3x+2>0 恒成立;②?x∈Q,x2 =2;③?x∈R,x2+1=0;④?x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命 题的个数为( A.0 个 C.2 个 答案:A 2.若命题“?x∈R,使得 x2+(1-a)x+1<0”是真命题,则实 数 a 的取值范围为______________. 解析:由题意可知,Δ=(1-a)2-4>0, 解得 a<-1 或 a>3. 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 3.若?x∈R,函数 f(x)=mx2+x-m-a 的图象和 x 轴恒有公 ) B.1 个 D.3 个

共点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 m=0 时,f(x)=x-a 与 x 轴恒相交, 所以 a∈R. (2)当 m≠0 时,二次函数 f(x)=mx2+x-m-a 的图象和 x 轴恒 有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0 恒成立,即 4m2+4am +1≥0 恒成立. 又 4m2+4am+1≥0 是一个关于 m 的二次不等式,恒成立的充 要条件是Δ=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1. 综上所述,当 m=0 时,a∈R; 当 m≠0,a∈[-1,1].


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