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指数函数的知识点讲解及其练习题实战


指数函数
知识要点:
1.根式的两条基本性质 n (1)性质 1:( a)n=a (n>1,n∈N*,当 n 为奇数时,a∈R; 当 n 为偶数时,a≥0). n n 当 n 为奇数时, a表示 a 的 n 次方根,由 n 次方根的定义,得( a)n=a; n 当 n 为偶数时, a表示正数 a 的正的 n 次方根或 0 的 n 次方根,由 n 次方根的定义,得 n ( a)n=a. n 若 a<0,n 为偶数,则 a没有意义.如( -2)2≠-2. ?a,n为奇数 n (2)性质 2: an=? (n>1,n∈N*). |a|,n为偶数 ? n 当 n 为奇数时,∵an=an, ∴a 是 an 的 n 次方根,即 a= an; ?a,a≥0, n 当 n 为偶数时,(|a|)n=an≥0, ∴|a|是 an 的 n 次方根,即|a|= an=? ?-a,a<0. 2.整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数 r,s,均有 (1)aras=ar+s (a>0,r,s∈R)(指数相加律); (2)(ar)s=ars (a>0,r,s∈R) (指数相乘律); (3)(ab)r=arbr (a>0,b>0,r∈R)(指数分配律) 要注意上述运算性质中,底数大于 0 的要求。 3.分数指数幂
n m * (1) 我们规定正数的分数指数幂的意义为: a ? a (a ? 0, m, n ? N ) m ? 1 a n ? m (a ? 0, m, n ? N * ) an (2) 正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即: m n

(3) 0 的正分数指数幂为 例题 1 求值:
2

0

。0 的负分数指数幂没有意义.



27 3 =

② 16 3 =

?

4

③ ( )?3 =

3 5

④ (

25 ? 3 ) = 49

2

练习 1 用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) :
b2 ? b =

; b3 ?5 b3 =

; 3 b4 b =

;

1 (2n?1 )2 ? ( )2 n?1 2 2. 计算: 的结果 n ?2 48

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

心在哪里,新的希望就在哪里。

习题练习: 1、下列运算结果中,正确的是( A. a 2 ? a 3 ? a 6
3


3 2

B. ? a 2

?

? ? ?? a ?
3

C.

?

a ?1 ? 1

?

0

D. ? a 2

?

?

3

? ?a 6

2 4 2、化简 ?3 ?? 5? ? 的结果为( ? ? ? ?

) C. ? 5 D.-5 ) D.
x x ?1

A.5

B. 5

4、 x ? 1? 2b , y ? 1 ? 2 ?b ,那么 y 等于( A.
x ?1 x ?1
1

B.

x ?1 x
?2

C.
3

x ?1 x ?1

? ? 1? 5、计算: 0.027 3 ? ? ? ? ? 7?

? 2564 ? 3?1 ?


?

2 ? 1 =___________________。

?

0

6、 2 ? ?2 k ?1? ? 2 ? ?2 k ?1? ? 2 ?2 k ? ( A. 2 ?2 k B. 2 ? ?2 k ?1?

C. ? 2 ? ?2 k ?1?
1 1

D. 2

7、已知 x ? y ? 12, xy ? 9 ,且 x ? y ,求

x2 ? y2 x ?y
1 2 1 2

的值是_________________。

8、 a ? 2, b ? 3 9, c ? 6 51 ,试比较 a, b, c 的大小。

9、 ?? 2?

?

1 2 ?2

?

等于(

) B. ? 2 )
4

A. 2

C.

2 2

D. ?

2 2

10、下列各式中成立的是(

?n? A. ? ? ? n 7 m 7 ?m?

7

1

B. 12 ?? 3? ? 3 ? 3

C. 4 x 3 ? y 3 ? ?x ? y ? 4
3

D.

3

9 ?3 3

11、当 2 ? x 有意义时,化简 x 2 ? 4x ? 4 ? x 2 ? 6x ? 9 的结果为( A. 2 x ? 5 B. ? 2 x ? 1
1 1



C. ?1 ) C. ? 5

D. 5 ? 2 x

? 1 12、已知 a ? ? 3 。则 a 2 ? a 2 等于( a

A.2

B. 5

D. ? 5

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2

心在哪里,新的希望就在哪里。

13、化简 A. ? ? x

? x3 的结果是( x
B. x

) C. ? x D. ? x

14、化简 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 =______________________。 15、计算下列各式:
? 3? ? 1? (1) ? 2 ? ? 2 ?2 ? ? 2 ? ? 4? ? 4?
0 ? 1 2

? ?0.01?

0.5

? 8 ?6 ? (2) ? a 5 b 5 ? ? ? ? ?

?

1 2

? 5 a 4 ? 5 b 3 ?a ? 0, b ? 0 ?

2.1 指数函数及其性质
1.y=ax (a>0,a≠1)的图象 0<a<1 图象 性 质 定义域 值域 过定点 各区间取值 a>1

(-∞,+∞) (0,+∞) a>0 且 a≠1,无论 a 取何值恒过点(0,1) 当 x>0 时,0<y<1 当 x>0 时,y>1 当 x<0 时,y>1 当 x<0 时,0<y<1 单调性 定义域上单调递减 定义域上单调递增 2.利用指数函数的单调性可以比较幂的大小和指数值的大小 (1)比较同底数幂大小的方法:选定指数函数——比较指数大小——用指数函数单调性作出结论. (2)比较异底数幂的大小一般采用“化成同底数幂”或采用“中间量法”,或采用“作商法”. 例题 1 判断下列函数是否是指数函数

?1? y?? ? x x x ? 3? ; (1) y ? 0.2 ; (2) y ? ?? 2? ; (3) y ? e ; (4)

x

如图是指数函数①y=a^x, ②y=b^x, ③y=c^x, ④y=d^x 的图象, a, c, 与 1 的大小关系为( 则 b, d A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 练 2.比较下列各题中两个值的大小:

)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

心在哪里,新的希望就在哪里。

(1) 1.7

2.5

,1.7 3 ;

(2) 0.8

?0.1

,0.8?0.2 ;

(3) 1.7 ,0.9 . .

0.3

3.1

注:在利用指数函数的性质比较大小时,要注意以下几点: (1)同底数幂比较大小,可直接根据指数函数的单调性比较; (2)同指数幂比较大小,可利用作商和指数函数的性质判定商大于 1 还是小于 1,从而得出结论; (3)既不同底也不同指数幂比较大小,可找中间媒介(通常是 1 或 0),或用作差法,作商法来比较大小. 例 3.求下列函数的定义域与值域:

( 1 )=3 y

1 2? x

( 2 )= 2 x?2 ? 1 y

( 3 )= 3 ? 3x?1 y

2.比较大小:

(1) 2 、 3 2 、5 4 、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6
? 4 5 1 3 ?2 ( ) 2



?1? ? ? 3.求函数 y= ? 3 ?

x 2 ?3 x ? 2

的单调区间.

家庭作业:
1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? 1 ? 2 32 ? ?1 ? 2 16 ? ?1 ? 2 8 ? ?1 ? 2 4 ? ?1 ? 2 2 ? ? ?? ? ,结果是( ?? ?? ?? 1、化简 ?


1 ? ? 1? 1 ? 2 32 ? ? 2? ?

A、

1 ? ? 1? 1 ? 2 32 ? ? 2? ?

?1

1 ? ? ? 1 ? 2 32 ? ? ? B、 ?

?1

C、 1 ? 2

1 ? 32

D、

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? ? ? ? ? ? ? ? 等于( 2、 ? ) 8 4 2 16 A、 a B、 a C、 a D、 a b ?b b ?b 3、若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a ? 2 2 ,则 a ? a 的值等于( ) A、 6 B、 ?2 C、 ?2 D、2
4、函数 A、

4

4

f ( x) ? ? a 2 ? 1?

x

在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(



a ?1

B、

a ?2
f ( x ? 1) ?

C、 a ?

2
)

D、

1? a ? 2

5、下列函数式中,满足

1 f ( x) 2 的是(

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4

心在哪里,新的希望就在哪里。

1 1 ( x ? 1) x? 4 A、 2 B、 x 2 ?x a 6、下列 f ( x) ? (1 ? a ) ? 是(
A、奇函数 B、偶函数

C、 2 )

x

D、 2

?x

C、非奇非偶函数 )

D、既奇且偶函数

y?
7、函数 A、

? ??,1?

1 2 ? 1 的值域是(
x

B、

? ??,0? ? ?0, ???
x

C、

? ?1, ???

D、

(??, ?1) ? ? 0, ???

8、已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2 ? ? F ( x) ? ?1 ? x ? ? f ( x)( x ? 0) ? 2 ?1 ? 9、 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) (
A、是奇函数 C、是偶函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数

)

10、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批设备的价值为 ( ) A、 na(1 ? b%)
x y

B、 a(1 ? nb%)
?2 x 2 ?8 x ?1

C、 a[1 ? (b%) ]
n

D、 a(1 ? b%)

n

x? y ? _____________。 11、若 10 ? 3,10 ? 4 ,则 10

?1? y?? ? ?3? 12、函数
13、若 f (5
2 x ?1

(?3 ≤ x ≤ 1)
的值域是_____________。

) ? x ? 2 ,则 f (125) ? _____________。
2 x2 ?3 x ? 2

17、设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a

? a2 x

2

? 2 x ?3



?1? y ?? ? ? 3? 18、已知函数

x 2 ? 2 x ?5

,求其单调区间及值域。

a x ?1 f ( x) ? x (a ? 1) a ?1 19、已知函数 ,
(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x) 是 R 上的增函数。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5

心在哪里,新的希望就在哪里。


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