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重庆万州区2011届高三第一次诊断性监测——数学(理)


重庆市万州区 2011 届高三第一次诊断性监测

数 学 试 题(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。全卷共三个大题,21 个小题, 满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在机读卡和答题卷上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.第 II 卷各题一定要做在答题卷相应题号的限定区域内。 4.所有题目必须在机读卡或答题卷上作答,在试题卷上答题无效。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 Pn ( k ) = C n P (1 ? P )
k k n?k

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的。 1.命题 " 存在x ∈ R, x 2 ? 2 x + 1 < 0" 的否定是 A.存在 x ∈ R, x ? 2 x + 1 ≥ 0
2


2



B.存在 x ∈ R, x ? 2 x + 1 > 0 D.任意 x ∈ R, x 2 ? 2 x + 1 < 0 ( )

C.任意 x ∈ R, x 2 ? 2 x + 1 ≥ 0

2.已知 {an } 为等差数列, a1 + a3 + a5 = 105, a2 + a4 + a6 = 99, 则a20 等于 A.-1
2

B.1
?1

C.3

D.7 ( )

3.若 f ( x) = log 3 x ? 1, ( x < 0), 则f

(1) 的值为
1

A. ±3 B.3 C.-2 D.-3 4.从 10 名大学生中选 3 个人担任 2010 年广州亚运会火炬手,则甲、乙至少有 1 人入选, 而丙没有入选的不同洗初学者的种数为 ( ) A.85 B.56 C.49 D.28 5. y = sin + 3 cos x 经过 a 平移后的图象的解析式为 y = 2sin( x ?

π

6

) + 2, 那么向量 a =
( )

A. ( ?

π
2

, 2)

B. ( ?

π
2

, ?2)

C. (

π
2

, ?2)

D. (

π
2

, 2)

6.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB//平面 MNP 的图形序号是 ( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

7.a、b、c 分别是 ?ABC 内角 ∠A, ∠B, ∠C 的对边,若 ?ABC 的周长为 4( 2 + 1) ,且

sin B + sin C = 2 sin A, 则边长 a 的值为
A. 2 8.若 (1 ? 3 x ) A.-2
2011

( C.4 D. 2 2 (



B.2

= a0 + a1 x + ? a2011 ( x ∈ R ), 则
B.-1

a2011 a1 a2 + 2 + ? 2011 的值为 3 3 3
D.2



C.0

1 2 9.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则方程 x + ax ? b = 0 在区间[-1,1]上有且仅有 2
一个解的概率为 ( )

1 A. 8

1 B. 4

3 C. 4

7 D. 8

10.过圆 C : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 1 的圆心,作直线分别交 x,y 正半轴于点 A、B, ?ABC 被 圆分成 I、 III、 四个部分 II、 IV (如图) 若这四部分图形面积满足① S I + S IV = S II + S III , ,

2

② S I + S II + S III = S IV , 则分别满足①、②的直线 AB 各有 A.1 条;2 条 B.1 条;无数条; C.2 条;2 条 D.3 条;1 条





第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)把答案填在答题卡的相应位置上。 11.若向量 a, b 的夹角为 12.若函数 f ( x ) = x +
2

π

1 f (?x ? 1) + f (1) , 则 lim = ?x →∞ x 2?x

3

,| a |=| b |= 1, 则a (a ? b) =

。 。

13.已知方程 x 2 + y 2 ? 2mx ? 2my ? 2 = 0 表示的曲线恒过第三象限的一个定点 A,若点 A 又在直线 l : mx + ny + 1 = 0 上,则当正数 m,n 的乘积取得最大值时直线 l 的方程是 。 14.已知 a, b, c ∈ R, 且a + b + c = 2, a 2 + 2b 2 + 3c 2 = 4, 则实数 a 的取值范围是 。

15.如图,F 为圆锥曲线(只画出一部分)的焦点, l 是它相应的准线,AB 是经过 F 的弦, 分别过 A、F、B 作 l 的垂线,垂足分别为 D、H、G,设圆锥曲线的离心率为 e,给出如 下命题: ①若圆锥曲线为抛物线,则以焦点弦 AB 为径所作的圆与准线 l 相切; ②若圆锥曲线为椭圆,则以焦点弦 AB 为直径所作的圆与准线 l 相离; ③若圆锥曲线为双曲线,则以焦点弦 AB 为直径所作的圆与准线 l 相交; ④直角梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 同时经过 FH 的中点; ⑤|AF|,e|FH|,|BF|的倒数成等差数列。 其中真命题的有 。(要求找出所有真命题并把其序号填在横线上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)把解答题答在答题卡限定的区域内,解答应写出 文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x ) = 2 cos ( x +
2

π

6

) ? cos 2 x.
3

(1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期。 (2) A, C 为 ?ABC 的三个内角, cos B = 求 B, 若 的值。

1 C 1 , f ( ) = ? , 且 C 为钝角, sin A 求 3 2 4

17.(本题满分 13 分) 甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次,击中目 标得 2 分,未击中目标得 0 分,若甲、乙两名同学射击的命是率分别为 和p ,且甲、 乙两人各射击一次所得分数之和的概率为 (1)求 p 的值; (2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 ξ , 求ξ 的分布列和数学期望。

3 5

9 , 假设甲、乙两人射击互不影响。 20

18.(本题满分 13 分) 已 知 二 次 函 数 f ( x) = ax 2 + bx + c( a, b, c ∈ R, 且a ≠ 0) , 当 x ∈ [ ?3,1] 时 , 有

f ( x) ≤ 0 ;当 x ∈ (?∞, ?3) ∪ (1, +∞) 时,有 ( x) > 0, 且f (2) = 5.
(1)求 f ( x) 的解析式;
4

(2)当 x ∈ [1,3] 时,函数 f ( x ) 的图像始终在函数 g ( x ) = mx ? 7 的图像上方,求实数 m 的取值范围。

19.(本题满分 12 分) 已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M : ( x ? 2) 2 + y 2 = 64 相切。 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l : y = kx + m(其中k , m ∈ Z ) 与(1)中所求轨迹交不同两点 B、D,与双曲

线

x2 y 2 ? = 1 交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l ,使得向量 DF + BE = 0 , 4 12

若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由。

20.(本题满分 12 分) 已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) =

a ln x ? 1, g ( x) = (ln x ? 1)e x + x (e 为自然对数的底数) x

(1)求函数 f ( x ) 在区间 ( 0, e] 上的最小值; (2)是否存在实数 x0 ∈ ( 0, e] ,使曲线 y = g ( x ) 在点 x = x0 处的切线与 y 轴垂直?若存 在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由。
5

21.(本题满分 12 分) 且对任意的 n ∈ N , 都有an > 0, S n = 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,
* 3 3 a13 + a2 + ? + an .

(1)求 a1 , a2 的值,并求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)证明: (a2 n +1 ) ≥ ( a2 n ) + ( a2 n ?1 ) .
n n n

6

7

8

9

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