kl800.com省心范文网

一元三次方程求根公式完整推导过程

一元三次方程 ax3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0 ) 的解法
先把方程 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 化为 x 3 + px + q = 0 的形式: 令x = y?
b ,则原式变成 3a b 3 b b ) + b( y ? ) 2 + c ( y ? ) + d = 0 3a 3a 3a by 2 b 2 y b3 2by b 2 b 2 + 2 ? ) + b ( y ? + 2 ) + c( y ? ) + d = 0 3 a 3a 9a 3a 3a 27a b2 b3 2b 2 b3 bc 2 y? by y + ? + + cy ? +d =0 2 2 3a 3a 3a 27a 9a

原式 ? a( y ?

? a( y 3 ?

? ay 3 ? by 2 +

? ay 3 + (c ?

b2 2b 3 bc ) y + (d + ? )=0 2 3a 3a 27a

c b2 d 2b 3 bc ? 2)=0 ? y + ( ? 2 )y + ( + 3 a 3a a 27a 3a
3

如此一来二次项就不見了,化成 y 3 + py + q = 0 ,其中 p = ? 对方程 y 3 + py + q = 0 直接利用卡尔丹诺公式:
q q ?q? ? p? ?q? ? p? y1 = ? + ? ? + ? ? + 3 ? ? ? ? + ? ? 2 2 ?2? ? 3? ?2? ? 3 ?
3 2 3 2 3 2 3

c a

b2 d 2b 3 bc , q = + ? 2。 2 3 a 27 a 3a 3a

q q ?q? ? p? ?q? ? p? y2 = ω ? ? + ? ? + ? ? + ω 2 ? 3 ? ? ? ? + ? ? 2 2 ?2? ? 3 ? ?2? ? 3 ?
3

2

3

q q ?q? ? p? ?q? ? p? y3 = ω 2 ? 3 ? + ? ? + ? ? + ω ? 3 ? ? ? ? + ? ? 2 2 ?2? ? 3 ? ?2? ? 3?
2 3

2

3

2

3

其中 ω =

?1 + 3i 。 2

?q? ? p? ? = ? ? + ? ? 是根的判别式:Δ>0 时、有一个实根两个共轭虚根; ?2? ? 3 ?

Δ=0 时、有三个实根,且其中至少有两个根相等; Δ<0 时、有三不等实根。
1

三次方程求根公式的推导过程
不妨设 p、q 均不为零,令 y = u + v
3 3 代入(1)得, u + v + (u + v)(3uv + p) + q = 0

y 3 + py + q = 0
(2) (3)
3

(1)

p ? uv = ? ? 选择 u、v ,使得 ? 3 ?u 3 + v3 = ? q ?

? 3 3 p ?u v = ? 即 ? 27 ?u 3 + v3 = ? q ?

(4)

故 u 3 、 v 3 关于 t 的一元二次方程 t 2 + qt ?
q q? ? p? 设, ? = D = ? ? ? + ? ? ,T = ? , 2 ?2? ? 3?
2 3

p3 = 0 的两个根。 27

又记 u 3 的一个立方根为 u1 ,则另两个立方根为 u 2 = ω1u1 , u 3 = ω 2 u1 ,其中 ω1 、 ω 2 为
ω1 = ?1 + 3i ?1 ? 3i ; ω2 = ; 2 2
3

以下分三种情形讨论: 1)若 ? > 0 ,即 D > 0 时,则 u 3 、 v 3 均为实数,可求得 u
3 取 u1 = 3 T + D , v1 = T ? D ,

= T + D , u3 = T ? D 。
p , 3

在 y = u i + v j , (i, j = 1,2,3) 组成的九个数中,有且只有下面三组满足 uv = ?
3 2 即 u1 、 v1 ; u 2 、 v2 ; u3 、 v3 ,也就是满足 u1v1 = u2 v2 = u3v3 = T ? D = ?

p , 3

于是方程(1)的三个根为 y1 = u1 + v1 , y2 = w1u1 + w2 v1 , y2 = w2u1 + w1v1 , 这时方程(1)有一个实根 y 1 ,两个共轭虚根 y 2 , y 3 ,其表达式就是前面给出的“卡 丹公式”的形式,这里的根式 D 及 3 T ± D 都是在实数意义下的。
3 3 3 2)若 ? = 0 ,即 D = 0 时,可求得 u = v = T 。取 u1 = v1 = T , 3 故可求得 y1 = u1 + v1 = 2 T = ? 3 4q ;

? 3 4q 2 方程(1)有三个实根,其中至少有两个相等的实根。 y2 = y3 = w1u1 + w2 v1 = 3 T ( w1 + w2 ) =
2 3

q? ? p? 3)若 ? < 0 ,即 D<0 时,因为 ? ? ? + ? ? < 0 ,故 ?2? ? 3 ?

p < 0,

则 u 3 、 v 3 均为虚数,求出 u 3 、 v 3 ,并用三角式表示,就有 u 3 = T + i ? D , v3 = T ? i ? D , 其中 T, ? D 都是实数,
2

故虚数 u 、 v 模均为 u = v = T + ( ? D )
3 3 3 3 2

2

?q? ? p? = ? ? ? D = ?? ? ?2? ?3?

2

3

? 3 所以 u = ? ? ?

? ? ?q 3 p? ? 2 + ? ? 3 3? ? p? ? ? ? ?? ?3? ?

? ? p ?3 p ?D ? i? = ? ( cos α + i sin α ) 3 9 ? p? ? ?? ? ? ?3? ?
? ?3q ?3 p ? 且0 <α < π ? 2 ? p 2 ? ?

3 同理 v = ?

p ?3 p ( cos α ? i sin α ) , 9

其中 α = arccos ? ?

取 u1 = ?

?3 p 3

α α? ? ?3 p ? α α? cos ? i sin ? ? cos + i sin ? ; v1 = ? ? 3 3? 3 ? 3 3? ?

则 u2 = w1u1 =

?3 p ? ?3 p ? α α? 2π 2π ?? 2π + α 2π + α ? + i sin + i sin ? cos ?? cos + i sin ? = ? cos ? 3 ? 3 3 ?? 3 3? 3 ? 3 3 ? ?3 p ? 4π + α 4π + α ? ? i sin v2 = w2 v1 = ? cos ? 3 ? 3 3 ? ?3 p ? 4π + α 4π + α ? + i sin ? cos ? 3 ? 3 3 ? ?3 p ? 2π + α 2π + α ? ? i sin ? cos ? 3 ? 3 3 ?

u3 = w2u1 = v3 = w1v1 =

于是方程(1)得三个实根为 y1 = u1 + v1 , y2 = u2 + v2 , y3 = u3 + v3 ,故有 具体表示出来就为:
2 ?3 p α cos ; 3 3 ?3 p ? α α? y2 = ? ? cos + 3 sin ? ; 3 ? 3 3? y1 = ? y3 = ? ?3 p ? α α? ? cos ? 3 sin ? ; 3 ? 3 3? ? ?3q ?3 p ? α = arccos ? ? ? 2 p2 ? ? ?

且0 <α < π

3


一元三次方程求根公式完整推导过程.pdf

一元三次方程求根公式完整推导过程 - 一元三次方程 ax3 + bx 2 + c

一元三次方程的求根公式及其推导.doc

一元三次方程求根公式及其推导 - 一元三次方程求根公式及其推导 由于任一个一般的一元 三次方程Ax3 ? Bx 2 ? Cx ? D ? 0均可经过移轴 B 3 B2 B...

一元三次方程的求解公式及其推导 阿迪力.doc

一元三次方程求解公式及其推导 阿迪力 - 新疆大学毕业论文(设计) 题 目: 一元三次方程求根公式及其推导 指导老师: 木依丁.海力力 学生姓名:阿迪力艾肯 ...

一元三次方程求根问题.doc

目前, 我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程,下面,我就尝试将 这个问题解

一元三次方程求根公式.doc

一元三次方程求根公式 - 一元三次方程求根公式 目录 盛金公式 盛金判别法 盛金定理 传统解法 方程公式历史 一元三次方程求根公式 1. 卡尔丹公式推导 2. ...

一元三次方程有求根公式吗?_图文.pdf

一元三次方程求根公式吗? - 一元三次方程求根公式吗? 这是初等数学的 “最后问题” 。 三次四次方程求解是初等数学研究的最后的, 最具技巧性的问题,再...

求实系数一元三次方程根的实用公式.doc

求实系数一元三次方程根的实用公式 - 求实系数一元三次方程根的实用公式 在数学书籍或数学手册中, 对一元三次方程求根公式的叙述都是沿 用“卡丹公式”,即:...

一元三次方程的解法.doc

一元三次方程 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 的解法先把方程 ax 3 + ...有三个实根,且 附:方程 y 3 + py + q = 0 (2)求根公式推导过程: ...

一元三次方程求根公式及其Fortran代码.pdf

一元三次方程求根公式及其Fortran代码一元三次方程的求解比一元二次方程困难,求根公式看起来也很复杂,中文维基百科上原先 的三角函数解公式有误,我已经修改过了。...

中学代数研究---一元三次方程通解求法.doc

的一元二次方程,我们可以用 多种解法来求得其解,比如,我们可以用求根公式法...d) 事实上,以上过程证明了对于任意一个一元三次方程,我们都可以将它 3 化...

一元三次方程的求根公式及其推导.doc

一元三次方程求根公式及其推导 - 一元三次方程求根公式及其推导 由于任一个一般的一元 三次方程Ax3 ? Bx 2 ? Cx ? D ? 0均可经过移轴 B 3 B2 B...

一元三次方程的求根公式及其推导.doc

一元三次方程求根公式及其推导_理学_高等教育_教育专区。数学论文 一元三次方程求根公式及其推导三次方程 Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0均可经过移轴 ...

一元三次方程.doc

一元三次方程 - 一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程 一元三次方程求根公式: 以下是传统解法 一元二次 ax^2 +bx+c=0 可用求根公式 x= 求解...

一元三次方程新型解法.txt

一元三次方程新型解法 - 三次方程新解法盛金公式解题法 盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,...

一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式(精华版).doc

在很多数 学文献上,把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”,这显然是为了纪念世界上第一位 发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。那么,一元三次...

数学的魅力_8. 一元n次方程求根公式_图文.pdf

628年: 印度数学家Brahmagupta给 出求根公式 一元三次方程求根 中国唐朝数学家...Degen认为问题求解不会如此简单, 建议Abel再仔细检验证明的推导过程. Degen觉得...

一元四次方程求根公式.doc

一元次方程求根公式 - 一元四次方程的求根公式-完整 (2012-01-12

三次方程的解法.doc

三次方程的解法 - 一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的, 用类似解一元二次方程的求根公 式的配方法只能将型如 ...

一般三次方程谢国芳求根公式的推导方法1(利用复三角函....doc

一般三次方程谢国芳求根公式推导方法1(利用复三角函数的方法)_数学_自然科学_专业资料。本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解一般三次...

一元三次方程的解法.doc

但保留了证明.我在获得帮助的情况下找 出了它各种形式的证明. 这是很难做到...(7)这样其实就将一元三次方程求根公式化为了一元二次方程的求根公 式问题,...