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一元三次方程求根公式完整推导过程


一元三次方程 ax3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0 ) 的解法
先把方程 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 化为 x 3 + px + q = 0 的形式: 令x = y?
b ,则原式变成 3a b 3 b b ) + b( y ? ) 2 + c ( y ? ) + d = 0 3a 3a 3a by 2 b 2 y b3 2by b 2 b 2 + 2 ? ) + b ( y ? + 2 ) + c( y ? ) + d = 0 3 a 3a 9a 3a 3a 27a b2 b3 2b 2 b3 bc 2 y? by y + ? + + cy ? +d =0 2 2 3a 3a 3a 27a 9a

原式 ? a( y ?

? a( y 3 ?

? ay 3 ? by 2 +

? ay 3 + (c ?

b2 2b 3 bc ) y + (d + ? )=0 2 3a 3a 27a

c b2 d 2b 3 bc ? 2)=0 ? y + ( ? 2 )y + ( + 3 a 3a a 27a 3a
3

如此一来二次项就不見了,化成 y 3 + py + q = 0 ,其中 p = ? 对方程 y 3 + py + q = 0 直接利用卡尔丹诺公式:
q q ?q? ? p? ?q? ? p? y1 = ? + ? ? + ? ? + 3 ? ? ? ? + ? ? 2 2 ?2? ? 3? ?2? ? 3 ?
3 2 3 2 3 2 3

c a

b2 d 2b 3 bc , q = + ? 2。 2 3 a 27 a 3a 3a

q q ?q? ? p? ?q? ? p? y2 = ω ? ? + ? ? + ? ? + ω 2 ? 3 ? ? ? ? + ? ? 2 2 ?2? ? 3 ? ?2? ? 3 ?
3

2

3

q q ?q? ? p? ?q? ? p? y3 = ω 2 ? 3 ? + ? ? + ? ? + ω ? 3 ? ? ? ? + ? ? 2 2 ?2? ? 3 ? ?2? ? 3?
2 3

2

3

2

3

其中 ω =

?1 + 3i 。 2

?q? ? p? ? = ? ? + ? ? 是根的判别式:Δ>0 时、有一个实根两个共轭虚根; ?2? ? 3 ?

Δ=0 时、有三个实根,且其中至少有两个根相等; Δ<0 时、有三不等实根。
1

三次方程求根公式的推导过程
不妨设 p、q 均不为零,令 y = u + v
3 3 代入(1)得, u + v + (u + v)(3uv + p) + q = 0

y 3 + py + q = 0
(2) (3)
3

(1)

p ? uv = ? ? 选择 u、v ,使得 ? 3 ?u 3 + v3 = ? q ?

? 3 3 p ?u v = ? 即 ? 27 ?u 3 + v3 = ? q ?

(4)

故 u 3 、 v 3 关于 t 的一元二次方程 t 2 + qt ?
q q? ? p? 设, ? = D = ? ? ? + ? ? ,T = ? , 2 ?2? ? 3?
2 3

p3 = 0 的两个根。 27

又记 u 3 的一个立方根为 u1 ,则另两个立方根为 u 2 = ω1u1 , u 3 = ω 2 u1 ,其中 ω1 、 ω 2 为
ω1 = ?1 + 3i ?1 ? 3i ; ω2 = ; 2 2
3

以下分三种情形讨论: 1)若 ? > 0 ,即 D > 0 时,则 u 3 、 v 3 均为实数,可求得 u
3 取 u1 = 3 T + D , v1 = T ? D ,

= T + D , u3 = T ? D 。
p , 3

在 y = u i + v j , (i, j = 1,2,3) 组成的九个数中,有且只有下面三组满足 uv = ?
3 2 即 u1 、 v1 ; u 2 、 v2 ; u3 、 v3 ,也就是满足 u1v1 = u2 v2 = u3v3 = T ? D = ?

p , 3

于是方程(1)的三个根为 y1 = u1 + v1 , y2 = w1u1 + w2 v1 , y2 = w2u1 + w1v1 , 这时方程(1)有一个实根 y 1 ,两个共轭虚根 y 2 , y 3 ,其表达式就是前面给出的“卡 丹公式”的形式,这里的根式 D 及 3 T ± D 都是在实数意义下的。
3 3 3 2)若 ? = 0 ,即 D = 0 时,可求得 u = v = T 。取 u1 = v1 = T , 3 故可求得 y1 = u1 + v1 = 2 T = ? 3 4q ;

? 3 4q 2 方程(1)有三个实根,其中至少有两个相等的实根。 y2 = y3 = w1u1 + w2 v1 = 3 T ( w1 + w2 ) =
2 3

q? ? p? 3)若 ? < 0 ,即 D<0 时,因为 ? ? ? + ? ? < 0 ,故 ?2? ? 3 ?

p < 0,

则 u 3 、 v 3 均为虚数,求出 u 3 、 v 3 ,并用三角式表示,就有 u 3 = T + i ? D , v3 = T ? i ? D , 其中 T, ? D 都是实数,
2

故虚数 u 、 v 模均为 u = v = T + ( ? D )
3 3 3 3 2

2

?q? ? p? = ? ? ? D = ?? ? ?2? ?3?

2

3

? 3 所以 u = ? ? ?

? ? ?q 3 p? ? 2 + ? ? 3 3? ? p? ? ? ? ?? ?3? ?

? ? p ?3 p ?D ? i? = ? ( cos α + i sin α ) 3 9 ? p? ? ?? ? ? ?3? ?
? ?3q ?3 p ? 且0 <α < π ? 2 ? p 2 ? ?

3 同理 v = ?

p ?3 p ( cos α ? i sin α ) , 9

其中 α = arccos ? ?

取 u1 = ?

?3 p 3

α α? ? ?3 p ? α α? cos ? i sin ? ? cos + i sin ? ; v1 = ? ? 3 3? 3 ? 3 3? ?

则 u2 = w1u1 =

?3 p ? ?3 p ? α α? 2π 2π ?? 2π + α 2π + α ? + i sin + i sin ? cos ?? cos + i sin ? = ? cos ? 3 ? 3 3 ?? 3 3? 3 ? 3 3 ? ?3 p ? 4π + α 4π + α ? ? i sin v2 = w2 v1 = ? cos ? 3 ? 3 3 ? ?3 p ? 4π + α 4π + α ? + i sin ? cos ? 3 ? 3 3 ? ?3 p ? 2π + α 2π + α ? ? i sin ? cos ? 3 ? 3 3 ?

u3 = w2u1 = v3 = w1v1 =

于是方程(1)得三个实根为 y1 = u1 + v1 , y2 = u2 + v2 , y3 = u3 + v3 ,故有 具体表示出来就为:
2 ?3 p α cos ; 3 3 ?3 p ? α α? y2 = ? ? cos + 3 sin ? ; 3 ? 3 3? y1 = ? y3 = ? ?3 p ? α α? ? cos ? 3 sin ? ; 3 ? 3 3? ? ?3q ?3 p ? α = arccos ? ? ? 2 p2 ? ? ?

且0 <α < π

3


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