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数列 等差数列与等比数列 01


走近高考 — 高三数学总复习
一.知识要点
01.数列的通项公式

013

数列 1 等差数列与等比数列 1

数列的通项公式:数列中的通项 ( 即第 n 项 ) 关于项数 n 的函数表达式
02.数列 { a n } 的前 n 项和 S n = a 1 + a 2 + a 3 + ··· + a n ( n∈N * ) 03.等差数列与等比数列的通项公式、求和公式及其特性

( 1 ) 等差数列的通项公式,求和公式及公式特性: ① 等差数列的通项公式:a n = a 1 + ( n - 1 )d ( n∈N * ),a n = a m + ( n - m )d ( m,n∈N * ) ★ d=
an ? am ( m ≠ n,m,n∈N * ) n?m

★ a n = an + b ( n∈N * )
? ?

d ② 等差数列的求和公式:S n = ★ S n = an 2 + bn ( n∈N * )
? d 2 ?

a+b=a1

n (a 1 + a n ) n (n ? 1) ( n∈N * ),S n = na 1 + d ( n∈N * ) 2 2

★ S n = an 2 + bn + c ( n∈N * ) 当 c = 0 时,数列 { a n } 是等差数列 当 c ≠ 0 时,数列 { a n } 从第 2 项起是等差数列

a+b=a1

( 2 ) 等比数列的通项公式,求和公式及公式特性: ① 等比数列的通项公式:a n = a 1 · q n - 1 ( n∈N * ),a n = a m · q n - m ( m,n∈N * ) ② 等比数列的求和公式: 若公比 q = 1,则 S n = na 1 若公比 q ≠ 1,S n =
a 1 (1 ? q n ) a ?a q ( n∈N * ),S n = 1 n ( n∈N * ) 1? q 1? q

★ S n = A( 1 - t n ) ( n∈N * )
? a1 1? q ?

★ S n = A · B n + C ( n∈N * )
? ?

q

At ≠ 0,t ≠ 1

q

A + C = 0,ABC ≠ 0,B ≠ 1

☆ 隐含条件:① a n ≠ 0 ( n∈N * ),q ≠ 0;② 若各项和存在,则 q∈( - 1,0 ) ∪ ( 0,1 )
04.已知 S n,求 a n 的基本方法:a n =

S1 Sn-Sn-1

n=1 n ≥ 2,n∈N *

★ a n 是否为分段函数形式的基本判断方法
05.数列 { a n } 的递推公式

06.证明数列 { a n } 是等差数列、等比数列的基本方法

( 1 ) 证明数列 { a n } 是等差数列的基本方法 ① 第一步,求首项 ( 若仅仅是证明,这一步可省略 ) 第二步,通过推理得:对一切 n∈N *,a n + 1 - a n = 常数 第三步,下结论 ★ 常数的含义:与 n 无关 ② 通过推理得:对一切 n∈N *,a n,a n + 1,a n + 2 成等差数列 即对一切 n∈N *,恒有 2a n + 1 = a n + a n + 2 ★ a,b,c 成等差数列
?

( 2 ) 证明数列 { a n } 是等比数列的基本方法 ① 第一步,求首项,并证明其不等于 0 ( 这一步不可省略 ) 第二步,通过推理得:对一切 n∈N *, 第三步,下结论 ② 通过推理得:对一切 n∈N *,a n,a n + 1,a n + 2 成等比数列 即对一切 n∈N *,恒有 a 2 1 = a n · a n + 2 ≠ 0 n+ ★ a,b,c 成等比数列
07.等差中项与等比中项 a n +1 = 非零常数 an

?

若 a,b,c 成等差数列,则称 b 是 a,c 的等差中项 ★ x,y 的等差中项是 若 a,b,c 成等比数列,则称 b 是 a,c 的等比中项 ★ x,y 的等比中项是
08.等差数列与等比数列的等距性

设 m,n,p,q∈N *,且 m + n = p + q 若数列 { a n } 是等差数列,则 a m + a n = a p + a q 若数列 { a n } 是等比数列,则 a m · a n = a p · a q ★ 特别注意:在运用等比数列的等距性时,注意隐含条件: 等比数列的的奇数项同号,偶数项同号

09.数列的单调性

若对一切 n∈N *,都有 a n + 1 > a n,则数列 { a n } 单调递增 若对一切 n∈N *,都有 a n + 1 < a n,则数列 { a n } 单调递减 ★ 设数列 { a n } 是等差数列 则数列 { a n } 单调递增 ? ★ 设数列 { a n } 是等比数列 则使数列 { a n } 单调递增的条件可以是 使数列 { a n } 单调递减的条件可以是
10.数列的周期性

,数列 { a n } 单调递减 ?

若对一切 n∈N *,存在 t∈N *,是 a n + t = a n 恒成立,则数列 { a n } 是周期数列,它的一个周 期为 t
11.等差数列与等比数列之间的类比性

( 1 ) 基本类比思想
等差数列 等比数列 加 乘 减 除 乘 乘方 除 开方

( 2 ) 通项公式之间的类比 ( 3 ) 等距性之间的类比 二.配套例题讲解
01.已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 = 7,公差 d = 4

则数列 { a n } 的通项公式是
02.已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 = 7,公差 d = - 3

,前 n 项和 S n =

则数列 { a n } 的通项公式是
03.等差数列 { a n } 中,a 3 = 11,公差 d = 5

,前 n 项和 S n =

则数列 { a n } 的通项公式是
04.等差数列 { a n } 中,a 3 = 11,a 7 = - 1

,前 n 项和 S n =

则数列 { a n } 的通项公式是
2

,前 n 项和 S n =

05.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = n + 2n,则其通项公式是 06.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = - 3n + 2n,则其通项公式是
2

07.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = - 3n + 2n + 1,则其通项公式是 08.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = - 3n + 2n,求其通项公式
2

2

09.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = - 3n + 2n + 1,求其通项公式

2

10.已知等比数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2 n + t

则实数 t =

,数列 { a n } 的通项公式是

11.已知等比数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2 · 3 n + 1 + t

则实数 t =

,数列 { a n } 的通项公式是

12.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 3 n + 1 - 3,则其通项公式是 13.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 3 n + 1 + 3,则其通项公式是 14.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 3 n + 1 - 3,求其通项公式

15.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 3 n + 1 + 3,求其通项公式

16.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2 × 3 n - 3n + 2n - 2,求其通项公式

2

17.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2 × 3 n - 3n + 2n + 1,求其通项公式

2

18.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 lg ( S n + 1 ) = n ( n∈N * ),则数列 { a n } 的通项公式是

19.已知 a 1 + 2a 2 + 3a 3 + ··· + na n = n( n + 1 )( n + 2 ) ( n∈N * ),求数列 { a n } 的通项公式及其前 n 项

和 Sn

20.已知 a 1 a 2 a 3 ··· a n = n ( n∈N * ),求数列 { a n } 的通项公式

2

21.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 log 1 S n = n +
2

1 ( n∈N * ),则数列 { a n } 是 [ 2

]

( A ) 公比为 2 的等比数列 ( C ) 公比为
1 的等比数列 2

( B ) 公差为 2 的等差数列 ( D ) 既不是等差数列,也不是等比数列
n ?1 ( n∈N * ),则 a 2008 = n+2

22.已知数列 { a n } 的通项公式是 a n =

23.等差数列 { a n } 中,a 1 = 2008,d = - 3,则数列 { a n } 的递推公式是 24.已知数列 { a n } 的通项公式为 a n =

n2 ( n∈N * ),则 0.98 n +3
2

( 填“是”或填“不

是”) 数列 { a n } 中的项 如果你认为 0.98 是数列 { a n } 中的项,则 0.98 是数列 { a n } 中的第 如果你认为 0.98 不是数列 { a n } 中的项,则 0.98 与数列 { a n } 中的第
2

项 项最接近

25.已知数列 { a n } 中,a 1 = 1,a n + 1 = n + n + 1 ( n∈N * ),则数列 { a n } 的通项公式是:

26.已知数列 { a n } 中,a 1 = 2,a n + 1 = n + n + 1 ( n∈N * ),则数列 { a n } 的通项公式是:

2

27.已知集合 A = { 1,2,3 },若数列 a 1,a 2,a 3 的各项均为集合 A 中的元素,则这样的数

列有



28.已知数列 { a n } 的前 3 项依次是 - 1,1,- 1,请写出数列 { a n } 的一个通项公式

29.已知数列 { a n } 的前 3 项依次是 1,8,27,请写出数列 { a n } 的一个通项公式

30.请写出数列 a,b,a,b,a,b,··· 的一个通项公式: 31.请写出数列 1,1,2,2,3,3,··· 的一个通项公式: 32.已知数列 { a n } 中,a 1 = 2,且对一切 m,n∈N *,恒有 a n + m = a m + a n ,

( 1 ) 求证:数列 { a n } 是等差数列

( 2 ) 求数列 { a n } 的通项公式

33.对 32 题进行类比,请写出类似的一个真命题,并证明之

34.已知数列 { a n } 的通项公式为 a n = 3n + log 2 n ( n∈N * ),从数列 { a n } 中依次抽取第 2 项,

第 4 项,第 8 项,··· ,第 2 n 项,··· ,按原来的顺序组成一个新的数列 { b n },求数 列 { b n } 的通项公式及其前 n 项的和 S n

三.配套训练试题
01.下列命题中,不正确的是 [

]

( A ) 若对一切 n∈N *,点 ( n,a n ) 都在直线 y = kx + b 上,则数列 { a n } 是等差数列 ( B ) 若对一切 n∈N *,点 ( n,a n ) 都在曲线 y = a x ( a > 0 ) 上,则数列 { a n } 是等比数列 ( C ) 若对一切 n∈N *,点 ( n,S n ) 都在直线 y = kx 上,且 S n 是数列 { a n } 的前 n 项的和, 则数列 { a n } 是等差数列 ( D ) 若对一切 n∈N *,点 ( n,S n ) 在曲线 y = a x ( a > 0 ) 上,且 S n 是数列 { a n } 的前 n 项的 和,则数列 { a n } 是等比数列
02.已知 a,b,c 成等比数列,且 1 < a < b < c,若 x > 1,则 [

]

( A ) log 1 x,log 1 x,log 1 x 是等差数列
a b c

( B ) log 1 x,log 1 x,log 1 x 是等比数列
a b c

(C)

1 1 1 , , 是等差数列 log 1 x log 1 x log 1 x
a b c

(D)

1 1 1 , , 是等比数列 log 1 x log 1 x log 1 x
a b c

03.已知数列 { a n } 是公差为 0 的等差数列,数列 { b n } 是公比为 1 的等比数列,则下列判断

中,正确的序号是 ① 对一切 n∈N *,a n = b n ③ 数列 { b n } 是等差数列 ② 数列 { a n } 是等比数列 ④ 数列 { a n + b n } 是公差为 0 等差数列 ]
2010 0 2008 2009 1 4 5 8 9 2 3 6 7 10

04.观察右图中规律,下列各图中,正确的是 [
2008 2010 2008 2009 2009 2010

2009

2010

2008

(A)

(B)

(C)

(D)
3 ( n∈N * ),则其前 n 项和 S n = 2

05.已知数列 { a n } 的通项公式是 a n = 2n +
06.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2n +
2

3 n ( n∈N * ),则其通项公式是 2

07.数列 { a n } 中,a n + 1 = a n + 3 ( n∈N * ),则 a 2 - a 4 + a 6 - a 8 + a 10 - a 12 + ··· + a 2006 - a 2008 = 08.设数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2n + 3n ( n∈N * ),则数列 { a 2n } 的前 2n 项和 T n = 09.已知数列 { a n } 中,a 1 = 2,3a n + 1 - a n = 0 ( n∈N * ),又 b n 是 a n 与 a n + 1 的等差中项 ( n∈N * ),
2

则数列 { b n } 的前 n 项和 S n =
10.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 5 n ( 3 - 1 ) ( n∈N * ),则通项公式 a n = 2

11.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2 - 1

n

( 1 ) a 1 + a 3 + a 5 + ··· + a 2n - 1 = ( 2 ) a 1 + a 2 + a 3 + ··· + a n =
12.一个凸 n 边形的各内角的度数成等差数列,公差为 10 ?,最小内角为 100 ?,则这个凸 n
2 2 2 2

边形的边数 n =
13.数列 1,
2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , ,··· 中,第 n 项的 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

值为 2008,则正整数 n 的最小值为
14.如图,在表格的每一个空格内填写一个正数,使每一行成等
0.5 1.5 2 3 a b c

比数列,每一列成等差数列,则 a + b + c =

15.设数列 { a n } 的前 n 项的和为 S n,称

S1 + S 2 + S 3 + L + S n 为数列 a 1,a 2,a 3,··· ,a n 的 n

凯森和.若数列 b 1,b 2,b 3,··· ,b 99 的凯森和为 1000,则数列 1,b 1,b 2,b 3,··· ,b 99 的凯森和为 [ ( A ) 1001 ] ( B ) 991 ( C ) 999 ( D ) 990

16.我们把使 a 1 · a 2 · a 3 · ··· · a n∈Z 的正整数 n 叫做劣数.

设 a n = log n + 1 ( n + 2 ) ( n∈N * ),则在区间 [ 1,2008 ] 内,所有劣数之和为
17.在等差数列 { a n } 中,若 a 12 = 0,则 a 1 + a 2 + ··· + a n = a 1 + a 2 + ··· + a 23 - n ( n < 23,n∈N * ).类似

的,在等比数列 { b n } 中,若 b 9 = 1,则
18.已知等比数列 { a n } 的前 n 项的和为 S n = 3 × 5 + p
n

( 1 ) 求 p 的值

( 2 ) 求数列 { a n } 的通项公式

19.已知数列 { a n } 满足 a 1 + 2a 2 + 4a 3 + ··· + 2

n-1

· a n = 4 - 1 ( n∈N * )

n

( 1 ) 求数列 { a n } 的通项公式

( 2 ) 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n

20.等差数列 { a n } 中,a 1 = 2,公差不为零,且 a 1,a 3,a 11 恰好是一等比数列的前三项,

则此等比数列的公比 q 的值是
21.已知数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列,数列 { a b n } 是等比数列,b 1 = 1,b 2 = 5,b 3 = 17

( 1 ) 求等比数列 { a b n } 的公比 q ( 2 ) 求数列 { b n } 的通项公式 ( 3 ) 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n

走近高考 — 高三数学专题复习
01.D
07. 3012 11.( 1 )

数列
2

1

等差数列与等比数列 1 解答
06.S n = 4n 1 ( n∈N * ) 2
n-1

02.C

03.③ ④
2

04.B

05.S n = n +
09. n = 2 1 S

5 n ( n∈N * ) 2
n

08. n = 16n + 10n ( n∈N * ) T

[ ( 1 ) ] ( n∈N * ) 3
14.38 15.B

10. n = 5 × 3 a

( n∈N * )

4n ? 1 4n ? 1 ;( 2 ) 3 3

12.8

13.2015029

16.2026
n-1

17.b 1 b 2 ··· b n = b 1 b 2 ··· a 17 - n ( n < 17,n∈N * ) 19.( 1 ) a n = 3 × 2
n-1

18.( 1 ) p = - 3;( 2 ) a n = 12 × 5 20.4

( n∈N * )

( n∈N * );( 2 ) a n = 3( 2 n - 1 ) ( n∈N * )
n-1

21.( 1 ) q = 3;( 2 ) b n = 2 × 3

- 1 ( n∈N * );( 3 ) S n = 3 n - 1 - n - 1 ( n∈N * )


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