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【2014红桥一模】天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试 数学(理)答案

高三数学(理)答案(2014、04) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 B 8 C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. x 1 ? x ? 3 ? ? 10.4 11.-192 12. 3 2 13. 2 3 3 14.13 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)因为 sinC=2sinA ? a sin A 1 ? ? ………………………………………2 c sin C 2 ? AB ? 2 BC ? 2 5 ………………………………….4 (Ⅱ) cos A ? b2 ? c2 ? a2 2 5 = ……………………………7 5 2bc 5 5 ……8 ? sin A ? 1 ? cos2 A ? 所以 sin 2 A ? 2 sin A cos A ? sin ? 2 A ? 4 5 cos 2A ? 2c o 2 s A ?1 ? 3 5 …10 ? ? ?? 2 ? ? …………13 ? = sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4? 4 4 10 16. (本小题满分 13 分) 设“A 级第一次考试合格”为事件 A1 ,“A 级补考合格”为事件 A2;“B 级第一次考试合 格”为事件 B1 ,“B 级补考合格”为事件 B2 . (Ⅰ)不需要补考就获得合格证书的事件为 A1· B1,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 答:该考生不需要补考就获得合格证书的概率为 1 ………………………4 3 (Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得 2 1 1 1 1 1 4 P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ? B1 ) ? ? ? ? ? ? ? . ….6 3 2 3 3 3 9 9 P(? ? 3) ? P( A1 ? B1 ?B 2 ) ? P( A1 ? B1 ? B2 ) ? P( A1 ? A2 ? B2 ) ………….8 P(? ? 4) ? P( A1 ? A2 ? B1 ?B 2 ) ? P( A1 ? A2 ? B1 ? B2 ) 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 .10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ………………… ? 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 8 答:该考生参加考试次数的期望为 ….13 3 ? 17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO , 由侧面 SBC ⊥底面 ABCD , 得 SO ⊥平面 ABCD ………..2 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO ………3 又 ∠ABC ? 45 , △AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥OB ……………4 ? 如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz . A( 2, 0, 0) , B(0,2, 0) , C (0, ? 2, 0) , S (0, 0, 1) , D( 2 ,?2 2 ,0) ………6 ??? ??? ? SA ? ( 2, 0, ? 1) , CB ? (0, 2 2, 0) , SA ? CB ? 0 ,所以 SA ⊥ BC …………8 (Ⅱ)设 n ? ( x, y, z ) 为平面 SAB 的法向量 ? ?n ? AB ? 0 ? 则 ?n ? AS ? 0 ? 得 ? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?? 2 x ? z ? 0 所以 ? ?x ? y ?z ? 2x 令 x=1 n ? (1,1, 2 ) ……………………………………………10 cos ? n, SD ? ? n ? SD n SD ? 22 11 ………………………………12 SD 与平面 SAB 所成的角与 SD 与 n 所成的角互余. 所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角正弦值为 18. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? 2 22 ……………………………13 11 ……………………………2 f '( x) ? 2 x ? b 2x2 ? 2x ? b ? x ?1 x ?1 ……………………………………………4 令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ? 2 1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ? 1 1 1 1 g ( x)min ? g (? ) ? ? ? b .当 b ? 时, g ( x)min ? ? ? b ? 0 , 2 2 2 2 g ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立.? f ' ( x) ? 0, 1 时,函数 f ( x) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增……………………………6 2 1 (II)分以下几种情形讨论: (1)由(I)知当 b ? 时函数 f ( x) 无极值点. 2 即当 b ? 1 2( x ? ) 2 1 2 ,? x ? ? ?1, ? 1 ? 时, f ' ( x) ? 0, (2)当 b ? 时, f '( x) ? ? ? 2? 2 x ?1 ? 1 ? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? b ? 时,函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上无