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2017年高考新课标Ⅱ文科数学试题及答案(精校版,解析版,word版)


2017 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

文 科 数 学
注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区 域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。 )

1.设集合 A ? ?1 , 2,, 3? B ? ?2, 3, 4?, 则 A U B = ( A. ?1 , 2, 3, 4? 2. (1+i) (2+i)= ( A.1-i B. ?1 , 2, 3? ) B. 1+3i C. 3+i ) C.

) D. ?1 , 3, 4?

3, 4? ?2,

D. 3+3i

3.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的最小正周期为(

?

3

A.4 ?

B.2 ?

C.

?

D.

?
2

4.设非零向量 a, b ,满足 a +b = a - b 则 A. a ⊥ b B. a = b C.

a ∥b

D. a ? b

5.若 a>1,则双曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率的取值范围是( a2



+?) A.( 2,

2) B.( 2,

C.(1,2)

1, 2) D.(

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的 三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何 体的体积为( A. 90 ? ) B. 63 ? C. 42 ? D. 36 ?

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2017 年高考数学试题(文)

? 2 x +3 y ? 3 ? 0 ? 7.设 x、y 满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ?y ?3 ? 0 ?
A. -15 B. -9 C. 1 ) D. (4,+ ? ) D. 9



8.函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 2 x ? 8) 的单调递增区间是( A. (- ? ,-2) B. (- ? ,-1) C. (1,+ ? )

9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩, 看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( A. 乙可以知道两人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 ) )
开始 输入a S=0,K=1 K ?6 是 S=S+a?K a=-a K=K+1 输出S 否

10.执行右面的程序框图,如果输入的 a = -1,则输出的 S = ( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

11.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随 机抽取 1 张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概 率为( A. ) B.

1 10

1 5

C.

3 10

D.

2 5

开始

12.过抛物线 C:y2 = 4x 的焦点 F,且斜率为 3 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方) ,l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MN⊥l,则 M 到直线 NF 的距离为 A.

5

B. 2 2

C. 2 3

D. 3 3

第Ⅱ卷(非择题)
二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.函数 f ( x) ? 2cos x ? sin x 的最大值为 .

14.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (??, 0) 时, f ( x)=2 x3 ? x2 ,则 f (2) = 15.长方体的长、宽、高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为 16.△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,若 2bcosB=acosC+ccosA,则 B= 三、解答题:(共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第 17 至 21 题为必考题,每个
试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。)

17.(12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,a1=-1, b1=1,a2 + b2 = 2. (1)若 a3 + b3 = 5,求{bn}的通项公式;(2)若 T3=21,求 S3.
2017 年高考数学试题(文) 第 2 页【共 8 页】

18.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三 角形且垂直于底面 ABCD, AB = BC = ∠BAD=∠ABC=90° . (1)证明:直线 BC∥平面 PAD; (2)若△PAD 面积为 2 7 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. B A C

P

1 AD , 2

D

19. (12 分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机 抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下: (1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg” ,估计 A 的概率;
频率/组距

频率/组距 0.068 0.046 0.044

0.040 0.034 0.032 0.024 0.020 0.014 0.012 0

0.020

新养殖法 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 旧养殖法

0.010 0.008 0.004

0

新养殖法

35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有 关: 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行较。 附: P(K2≥k) k
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
20.(12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: 足为 N,点 P 满足 NP ? 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程; (2) 设点 Q 在直线 x=-3 上, 且 OP ? PQ ? 1 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的 左焦点 F.
第 3 页【共 8 页】 2017 年高考数学试题(文)

uu u r

uuur

x2 ? y 2 ? 1上,过 M 作 x 轴的垂线,垂 2

uu u r uuu r

21. (12 分)设函数 f (x) = (1-x2)ex. (1)讨论 f (x)的单调性; (2)当 x ? 0 时,f (x) ? ax+1,求 a 的取值范围. 22. (10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? 4 . (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 OM ? OP ? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 (2, ) ,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值. 3 23. (10 分) 【选修 4-5:不等式选】已知 a ? 0,b ? 0,a ? b ? 2 ,证明:
3 3

?

(1) (a ? b)(a ? b ) ? 4 ; (2) a ? b ? 2 .
5 5

2017 年高考数学试题(文)

第 4 页【共 8 页】

2017 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

文 科 数 学(参考答案)
一、选择题: 1.【答案:A】 解析:由题意 A ? B ? {1, 2,3, 4} ,故选 A . 2.【答案:B】 解析:由题意(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选 B . 3.【答案:C】 解析:由题意 T ? 4. 【答案:A】

2? ? ? ,故选 C. 2

解析:由 | a ? b |?| a ? b | 平方得 (a)2 ? 2ab ? (b)2 ? (a)2 ? 2ab ? (b)2 ,即 ab ? 0 ,则

r

r

r

r

r

rr

r

r

rr

r

rr

r r a ? b ,故选 A.
2

5. 【答案:C】

1 c2 a2 ? 1 1 解析: 由题意 e ? 2 ? 因为 a>1, 所以 1 ? 1 ? 2 ? 2 , 则1 ? e ? 2 , ? 1? 2 , 2 a a a a
故选 C. 6. 【答案:B】 解析:由题意,该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱,故 其体积为 V ? 7. 【答案:A】 解析:绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的 几 何 意 义 可 得 函 数 在 点 B(-6 , -3) 处 取 得 最 小 值

1 ? ? ? 32 ? 6 ? ? ? 32 ? 4 ? 63? ,故选 B. 2

z ? ?12 ? 3 ? ?15 .故选 A.
8. 【答案:D】 解析:函数有意义,则 x2-2x-8>0,解得 x<-2 或 x>4,结合二次函数的单调性、对数函 数的单调性和复合函数“同增异减”的原则可得函数的单调增区间为(4,+∞),故选 D. 9. 【答案:D】 解析:由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲丁一人优秀一人良好,乙看到 丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果,故选 D. 10. 【答案:B】 解析:阅读流程图,初始化数值 a = -1,k = 1,S = 0;循环结果执行如下: 第一次:S = 0-1 = -1,a = 1,k = 2; 第二次:S = -1+2 = 1,a = -1,k = 3; 第三次:S = 1-3 = -2,a = 1,k = 4; 第四次:S = -2+4 = 2,a = -1,k = 5;
第 5 页【共 8 页】 2017 年高考数学试题(文)

第五次:S = 2-5= -3,a = 1,k = 6; 第六次:S = -3 +6= 3,a = -1,k = 7; 结束循环,输出 S = 3,故选 B . 11. 【答案:D】 解析:如下表所示,表中的点横坐标表 示第一次取到的数, 纵坐标表示第二次取 到的数,总计有 25 种情况,满足条件的 有 10 种,所以所求概率为 10 ? 2 . 25 5 12. 【答案:C】 解析:由题意知 MF:y ? 3( x ?1) ,与抛物线 y 2 ? 4 x 联立得 3x2 ? 10x ? 3 ? 0 ,解得

1 x1 ? ,x2 ? 3 ,所以 M (3, 2 3) ,因为 MN ? l ,所以 N (?1, 2 3) ,因为 F (1, 0) ,所以 3

NF:y ? ? 3( x ?1) ,所以 M 到 NF 的距离为
二、填空题: 13. 【答案: 5 】

| 3(3 ? 1) ? 2 3 | . (? 3) 2 ? 1

解析: f ( x)= 5 sin( x ? ? )(其中tan ? ? 2) ? 5 . 14. 【答案:12】 解析: f (2) ? ? f (?2) ? ?[2 ? (?8) ? 4] ? 12 15. 【答案:14π】 解析:球的直径是长方体的对角线,所以 2R= 32 +22 +12 = 14,S ? 4? R2 ? 14? . 16. 【答案:

? 】 3
1 π ?B? 2 3

解析:由正弦定理可得 2sin B cos B ? sin A cos C ? sin C cos A ? sin( A ? C ) ? sin B

? cos B ?
三、解答题:

17.解析: (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 an = -1+(n-1)d,bn = qn-1 . 由 a2 + b2

?d ? 3 (舍去) ?d ? 1 , = 2 得 d+q=3 ①,由 a3 + b3 = 5 得 2d+q2=6 ②,联立①和②解得 ? ? ?q ? 2 ?q ? 0
因此{bn}的通项公式 bn =2n+1 . (2)由 b1=1,T1=21,得 q2+q-20=0. 解得 q =-5 或 q=4,当 q =-5 时,由①得 d=8,则 S3=21;当 q=4 时,由①得 d=-1,则 S3=-6. 18. 解析: (1) 在平面 ABCD 内, 因为∠BAD=∠ABC=90?, 所以 BC//AD. 又 BC ? 面 PAD , 故 BC//平面 PAD . (2) 取 AD 的中点 M, 连结 PM, CM, 由A B=B C= A D
2017 年高考数学试题(文) 第 6 页【共 8 页】

1 2

及 BC//AD, 知四边形 ABCM

为正方形, 则 CM⊥AD. 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于 底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CM ? 底面ABCD , 所以 CM ⊥面 PAD ,因为 PM ? 面PAD ,所以 CM ⊥PM.设 BC=x,则 CM=x, CD ? 2 x,PM ? 3x ,PC=PD=x。取得中 点 , 连 结 , 因 为 △ PCD 的 面 积 为 2 7 , 所 以

1 14 ? 2x ? x ? 2 7 ,解得 x=-2(舍去)x=2,于是 AB=BC=2,AD=4, PM = 2 3 , 2 2 1 2(2 ? 4) 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V ? ? ?2 3 ? 4 3 . 3 2
19.解析:旧养殖法箱产量低于 50kg 的频率为 5× (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) =0.62, 因此,事件 A 的概率估计值为 0.62 . (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表: 旧养殖法 新养殖法 200 ? (62 ? 66 - 34 ? 38) K2= ≈15.705 100 ?100 ? 96 ?104 箱产量<50kg 62 34 箱产量≥50kg 38 66

由于 15.705>6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在 45kg 到 50kg 之间,且新养殖法的 箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此可以认为新养殖法的 箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 20. 解析: (1) 设 P( x,y) ,M ( x?, y?) ,N ( x?, 0) ,NP ?

uuu r

uuur 2 NM ,( x ? x?, y) ? 2(0, y?) ,

? x? ? x ? x? 2 ? x ? x? ? 0 ? 2 2 即? 代入椭圆方程 得到 x ? y ? 2 , ∴点 P 的 ? y ?2 ? 1 , ?? y , ? y ? 2 ? ? y ? 2 y? ? 2 ?
轨迹方程 x ? y ? 2 .
2 2

(2)由题意知,椭圆的左焦点为 F(-1,0),设 P(m,n),Q(-3,t),则 OP ? (m, n),

uu u r

uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r OQ ? (-3, t ), PQ ? (?3 ? m,t ? n), PF ? (?1 ? m, ? n), 由 OP ? PQ ? 1 得

3 ? tn ? 0 ?3m ? m2 ? tn ? n2 ? 1 , 又 由 ( 1 ) 知 m2 ? n2 ? 2 , 故 3 + m .所以 u u ur u uur uuu r uu u r ,即 OQ ? PF . 又过点 P 存在唯一直线垂直于,所以过点 O Q? P F ?3 ?3 m? t n ? 0
P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 21 . 解 析 : ∵ f ?( x) = (1 ? 2 x ? x2 )ex , 令 f ?( x ) = 0得 x ? ?1 ? 2 , x ? ?1 ? 2 , 当 ; 当 x ? (?1 ? 2, ;当 ?1 ? 2) 时 , f ?( x ) > 0 x ? ( ?? ,? 1 ? 2 ) 时 , f ?( x ) < 0 时, x ? ( ?1 ? , 2 +? ) f ?( x) < 0 ;所以 f (x)在 (??, ?1 ? 2) , (?1 ? 2, + ?) 上单调 递减,在 (?1 ? 2, ?1 ? 2) 上单调递增.
第 7 页【共 8 页】 2017 年高考数学试题(文)

(2) ∵ fx () = 1 ( 1 ( ) x ? )

xe ?

x

, 当 a≥1 时, 设函数 h( x) = (1 ? x)e x , h?( x) = ? xex ? 0 ( x ? 0) ,

因此 h( x) 在 [0, + ?) 单调递减,而 h(0)=1 ,故 h( x) ?1 ,所以 f ( x) = (1 ? x) ? h( x) ? x ? 1

? ax ? 1 ;当 0<a<1 时,设函数 g( x) = ex ? x ?1 , g?( x) = e x ?1 ? 0( x ? 0) ,所以 g( x ) 在
[0, + ?) 在单调递增,而 g(0)=0 ,故 ex ? x ? 1 . 当 0<x<1 时, f ( x) = (1? x )(1 ? x2 ),

(1 ? x)(1 ? x)2 ? ax ?1 ? x(1 ? a ? x ? x2 ) , 取 x0 ?

5? a 4? 2

1

, 则 x0 ? ( , , 0 1 )

(1 ? x0 )(1 ? x0 )2 ? ax0 ? 0 , 故 f ( x0 ) > ax0 +1 ; 当 a≤0 时 , 取 x0 ?
+ ?) . f ( x0 ) > (1 ? x0 )(1 ? x0 )2 ? 1 ? ax0 ? 1;综上所述,a 的取值范围是 [1,

5 ?1 , 2

22.解析: (1)设 P 的极坐标为 ( ?,? ) ( ? ? 0) ,M 的极坐标为 ( ?1,? ) ( ?1 ? 0) ,由 题 设 知 |O P? | ?,| O M ? | ?1 ?

4 , 由 |OM|· |OP|=16 得 C2 的 极 坐 标 方 程 co? s

? ?4 c o? s

? (?

,因此 C2 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ( x ? 0) . 0)

(2)设点 B 的极坐标为 ( ?B,? ) ( ?B ? 0) ,由题设知|OA|=2, ?B ? 4cos? ,于是 △OAB 的面积 S ?

1 ? ? 3 | OA | ?? B ? sin ?AOB ? 4cos ? ? | sin(? ? ) |? 2 | sin(2? ? ) ? | 2 3 3 2
? 12

? 2 ? 3 ,当 ? ? - 时,S 取得最大值 2+ 3 ,所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3 .
23.解析: (1) (a ? b)(a ? b ) ? a ? ab ? a b ? b ? (a ? b ) ? 2a b ? ab(a ? b )
5 5 6 5 5 6 3 3 2 3 3 4 4

? 4 ? ab(a2 ? b2 )2 ? 4
(2)因为 (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ? 2 ? 3ab(a ? b)
3 3 2 2 3

? 2+

3(a ? b)2 3(a ? b)3 ,所以 (a ? b)3 ? 8 ,因此 a+b≤2. ( a ? b) ? 2 ? 4 4

2017 年高考数学试题(文)

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