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用空间向量法解立体几何


用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
题目 1:.[2011·四川理]如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长 A1C1 至点 P,使 C1P=A1C1, 连结 AP 交棱 CC1 于点 D. (1)求证:PB1∥平面 BDA1; (2)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值.

题目 2:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

第1题

E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC , 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离.

A1 B1
题目 3. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 a. (1)求点 C1 到平面 AB1D1 的距离; (2)求平面 CDD1C1 与平面 AB1D1 所成的二面角余弦值

D1 C1

A B C

D

第3题

题目 4:已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且

1 PA ? AD ? DC ? , AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值。

1

题目 5:如图, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方形, PA ? AD ? 2 ,点 E 、 F 、 G 分别为线段 PA 、 PD 和 CD 的中点. (1)求异面直线 EG 与 BD 所成角的余弦值 (2) 在线段 CD 上是否存在一点 Q , 使得点 A 到平面 EFQ 的距离恰为 求出线段 CQ 的长;若不存在,请说明理由.

P

4 ?若存在, 5

E

F

A B C Q G D

第5题

题目 6:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上 一点, PF ? EC . 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? PC ? D 的大小.

训练题: 1.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, 且 AB // CD ,

第:6 题

?BAD ? 90? , PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 。 (1)求证: BC ? PC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。

y P

A D 2. 如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.
D1

B y C 第1题

x

C1 B1

A1

D F B

C

A

E

第2题

3. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1, M 是底面 BC 边上的中
2

第3题

点,N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN=2C1N. (Ⅰ)求二面角 B1-AM-N 的平面角的余弦值; (Ⅱ)求点 B1 到平面 AMN 的距离。

4. 如图,所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

5.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ?
?

第4题

1 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。
第5题

E 在棱 AD 6.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 2 ,点
上移动.(1)证明: D1E ? A 1D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为
D1

C1 A1 D B1 C

? . 4

A

第29题

E

B

7. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PD ? 底面 ABCD ,E 是 AB 上 一点, PF ? EC . 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? PC ? D 的大小.

第7题
3


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