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高考考前复习均值不等式典型题汇编


高考考前复习均值不等式典型题汇编
【典型例题】 例 1、若 x、y ? R ? ,求 f ( x) ? x ?
4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x

8 1 例 2、已知正数 x、y 满足 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y 例 3、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。

例 4、 求函数

y ? 3x 2 ?

16 2 ? x 2 的最小值.

例 5、已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 3x ? 2 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值.
y?

? x ? 5?? x ? 2 ?
x ?1

例 6、 已知 x ? ?1 ,求函数
0? x?

的最小值.

例 7、

已知

( x ? 1)2 1 y? x(1 ? 2 x) 的最小值. 2 ,求函数
2x2 ? y2 ? 8 x 6 ? 2 y2 3 求 的最大值.

例 8、已知 x ? 0, y ? 0 且

例 9、求函数

y?

x?2 2 x ? 5 的最大值.

【高考题汇编】
例 1、 (重庆理,2005)若 x , y 是正数,则 ( x ?

1 2 1 ) ? ( y ? ) 2 的最小值是【 2y 2x
D.
x y



A. 3

B.

7 2

C. 4

9 2
1 1 ? 的最大值 x y

例 2、 (天津文,2009) 设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1, 若a ? b ? 3, a ? b ? 2 3 , 则 为【 A. 2 】 B.

3 2

C. 1
3 2

D.

1 2

例 3.(福建文,2011)若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极 值,则 ab 的最大值等于【 A. 2 B. 3

】 C. 6 D. 9

1

例 4、 (重庆文,2011)若函数 f ( x ) ? x ? A. 1 ? 2 B. 1 ? 3

1 ( x ? 2) 在 x ? a 处取最小值,则 a ? 【 x?2
C. 3 D. 4



例 5、已知 x ? 例 6、函数

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值. 4x ? 5 4
】 C. 4 】 D. 5

1 ? x( x ? 3) 的最小值为【 x ?3
B. 3

A. 2
2 例 7、函数 2 x ?

3 ( x ? 0) 的最小值为【 x
B. 4 3

A. 3 3

9 2

9 2

C. 5 3
a

9 2
b

D.

3

9 2

例 8、 (天津文,2011)已知 log2 a ? log2 b ? 1 ,则 3 ? 9 的最小值为__________.

例 9、 (重庆文,2009)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A. 2 B. 2 2

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是【 a b
D. 5



C. 4
2

例 10、 (四川理, 2009) 设a ? b ? c ? 0, 则 2a ?

1 1 【 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是 ab a(a ? b)
D. 5 .



A. 2

B. 4
2 2

C. 2 5

例 11、 (重庆文,2005)若 x ? y ? 4, 则x ? y 的最大值是

例 12、 (福建理,2005)设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是【 A. ? 2 2 B. ?



5 3 3

C. ?3

D. ?

7 2

例 13、设 x, y 是实数,且 x ? y ? 4, 则 S ?
2 2

2 xy 的最小值是【 x? y?2



A. ?2

B. ? 2

C. 2 ? 2 2

D. 2( 2 ? 1)

例 14、已知实数 a, b, c ? 0 满足 a ? b ? c ? 9, ab ? bc ? ca ? 24, ,则 b 的取值范围为

2

例 15、 (重庆理,2011)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则 y ? A.

1 4 ? 的最小值是【 a b
D. 5



7 2

B. 4

C.

9 2
b

例 16、 (天津理,2009)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
a

1 1 ? 的最小值为 a b

【 A. 8

】 B. 4 C. 1 D.

1 4

例 17、已知 a , b, c 都是正实数,且满足 log9 (9a ? b) ? log3 ab ,则使 4a ? b ? c 恒成立的 c 的 取值范围是【 A. [ , 2) 】 B. [0, 22) C. [2, 23) D. (0, 25]

4 3

例 18、 (重庆文,2010)已知t ? 0 ,则函数 y ?

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为__________. t

5 x 2 ? 4x ? 5 例 19、 (湖北文,2004)已知 x ? , 则f ( x) ? 有【 2 2x ? 4
A.最大值



5 4

B.最小值

5 4

C.最大值1

D.最小值1

2 2 例 20、 (浙江理,2011)设 x, y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1, 则 2 x ? y 的最大值



.

例 21、(重庆文,2004)已知

2 3 ? ? 2 ? x ? 0, y ? 0 ? ,则 xy 的最小值是 x y

.

例 22、 (重庆理,2007)若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为【 a ?2 b



A.

2 5 15

B.

2 4

C.

5 5

D.

2 2

, c? 0 且 a ? 2ab ? 2ac ? 4bc ? 12 , 例 22、 (重庆文, 2006) 若 a, b 则 a ? b ? c 的最小值是 【
2



A. 2 3

B. 3

C. 2

D. 3

3

例 23、已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0且a ? b ? c ? 1, 则 a 2 ? b2 ? c 2 最小值为【



A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5


例 24、若 a, b ? R? , a ? b ? 1,则 ab ? A. 4

1 的最小值为【 ab
C. 2

1 4

B. 4

1 2

1 4


D. 2

4 4 例 25、已知 a ? b ? 1 ,则 a ? b 的最小值是【

A.

1

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 8

例 26、已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0且a ? b ? c ? 1, 则 A.

12

B. 18

1 1 1 ? 2 ? 2 最小值为【 】 2 a b c C. 24 D. 27

例 27、 (全国 1,2004) a 2 ? b2 ? 1, b2 ? c 2 ? 2, c 2 ? a 2 ? 2, 则 ab ? bc ? ca 的最小值【 】 A. 3 ?

1 2

B.

1 ? 3 2

C. ?

1 ? 3 2

D.

1 ? 3 2

例 28、 (湖南理,2004)设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立 的是【 .... A. ? a ? b ? ?
2 2



?1 1? ? ??4 ?a b?

B. a ? b ? 2ab
3 3

2

C. a ? b ? 2 ? 2a ? 2b

D. | a ? b | ?

a? b

例 29、 (陕西理,2006)已知不等式 ( x ? y )( ? 的最小值为【 A. 8 】 B. 6

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a y
D. 2

C. 4

例 30、 (全国 1 理,2008)若直线 A. a ? b
2 2

?1

x y ? ? 1 通过点 M ? cos ?, sin ? ? ,则【 】 a b 1 1 1 1 2 2 B. a ? b ? 1 C. 2 ? 2 ? 1 D. 2 ? 2 ? 1 a b a b 1 1 25 )( b ? ) ? . a b 4

例 31、已知 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,求证: ( a ?
? 例 32、若 a, b ? R 且 a ? b ? 1 ,求证: a ?

1 1 ? b? ? 2 2 2
4


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