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2012年新课标版高考题库考点42 抛物线


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考点 42 抛物线
一、选择题
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 1.(2012·山东高考文科·T11)已知双曲线 C1 : a b 的离心率为

2.若抛物线 C2 : x 方程为( (A)
x2 ? 8 3 y 3

2

? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为

2, 则抛物线 C2 的

) (B)
x2 ? 16 3 y 3

(C) x

2

? 8y

(D) x

2

? 16 y

【解题指南】本题关键利用离心率求出渐近线方程,而抛物线焦点到两条渐近 线的距离相等,再利用点到直线的距离公式求出 p. 【解析】选
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 D.因为双曲线 C1 : a b 的离心率为

2,所以
y??

e?

c ?2 a ,

所以 c=2a,所以 c ? a ? b ? ?2a? , b ? 3a ,双曲线的渐近线为
2 2 2 2
2

b x a ,

? p? ? 0, ? 即 y ? 3x .抛物线 C2 : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 ? 2 ? 到双曲线 C1 的渐近线 y ? 3x 的距离

为: 二、填空题

2 所以 p=8, 所以抛物线 C2 的方程为 x ? 16 y .

2.(2012·陕西高考文科·T14)与(2012·陕西高考理 科·T13)相同 如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水
-1-

面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽

米.

【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解. 【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为 x (2,-2)在此抛物线上 代入可求出抛物线的方程是 x
x2 ? ?2 ? (?3) ? 6
2 2

? ?2 py

(p?0) ,则点

? ?2 y

,当 y ? ?3 时,

,所以 x ? ?

6 ,水面宽是 2 6 米.

【答案】 2 6 3.(2012·北京高考理科·T12)在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线错误! 未找到引用源。=4x 的焦点 F.且与该抛物线相交于 A,B 两点.其中点 A 在 x 轴 上方.若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面积为 .

【解题指南】写出直线 l 的方程,再与抛物线方程联立,解出 A 点坐标,再求面 积.

2 【解析】抛物线 y ? 4x 的焦点 F (1, 0) ,直线 l : y ? 3( x ?1) .由

解得

1 2 1 B( , ? 3) S ?OAF ? ? 1? 2 3 ? 3 A(3, 2 3) , 3 3 2 .所以 .

【答案】 3 4. (2012 ·天津高考文科·T 11 )已知双曲线
C2 :
C1 : x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) a 2 b2 与双曲线

x2 y 2 =1 ( 5,0) 4 16 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F ,则 a =_______ , b =_________ .
-2-

【解题指南】根据双曲线的几何性质列式求解.
?b 4 ? 【解析】由题意可得 ? ,解得 a = 1, b = 2 . ?a 2 ?a 2 ? b 2 ? 5 ?

【答案】1 三、解答题

2

5.(2012·江西高考理科·T20)已知三点 O(0,0) ,A(-2,1) ,B(2,1) ,曲 线 C 上任意一点 M(x,y)满足 | MA ? MB |? OM ? (OA ? OB) ? 2 . (1) 求曲线 C 的方程. (2)动点 Q(x0,y0) (-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l .问: 是否存在定点 P(0,t) (t<0) ,使得 l 与 PA,PB 都相交,交点分别为 D,E,且 △QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值.若不存在,说明理由. 【解题指南】 (1)将各点坐标代入 | MA ? MB |? OM ? (OA ? OB) ? 2 .,化简整理即得曲线 C 的方程; (2)根据题目中的已知条件用 t 表示出
S?QAB S?PDE
??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ?

??? ? ????

???? ? ??? ? ??? ?

,探求当

S?QAB S?PDE

之比为常数

时, t 所满足的等式条件,根据条件建立方程或方程组,求得 t 的值. 【解析】 (1)由 MA ? ? ?2 ? x,1 ? y ? , MB ? ? 2 ? x,1 ? y ? ,
???? ???? MA ? MB ?

????

????

? ?2x ? ? ? 2 ? 2 y ?
2
2 2

2

???? ? ??? ? ??? ? , OM ? OA ? OB ? ? x, y ? ? ? 0, 2 ? ? 2 y ,

?

?

由已知得 ? ?2 x ? ? ? 2 ? 2 y ? ? 2 y ? 2 , 化简得曲线 C 的方程: x2 ? 4 y . (2)假设存在点 P ? 0, t ??t ? 0? 满足条件, 则直线 PA 的方程是 y ?
t ?1 1? t x ? t , PB 的方程是 y ? x ? t. 2 2

曲线 C 在 Q 处的切线 l 的方程是 y ? 由于 ?2 ? x0 ? 2 ,因此 ?1 ?
x0 ? 1. 2

? x0 x x2? x ? 0 , 它与 y 轴的交点为 F ? 0, ? 0 ? . 2 4 4 ? ?

-3-

x t ?1 1 t ?1 ? ? ,存在 x0 ? ? ?2,2? ,使得 0 ? , 2 2 2 2 x 1? t x t ?1 ? ?1 ? 0 , ? 1 ? 0 ,所以 l 与直线 PA,PB 一定相交, ② 当 t ? ?1 时, 2 2 2 2

① 当 ?1 ? t ? 0 时, ?1 ?

t ?1 1? t ? ? y? x ? t, ? y ? x ? t, ? ? ? 2 2 分别联立方程组 ? 解得 D,E 的横坐标分别是 2 ? 2 ? y ? x0 x ? x0 , ? y ? x0 x ? x0 , ? ? 2 4 ? ? 2 4

xD ?

x 2 ? 4t x02 ? 4t x 2 ? 4t , ,则 xE ? x D ? ?1 ? t ? 2 0 , xE ? 0 2 2 ? x0 +1 ? t ? 2 ? x0 +t ?1? x0 ? ? t ? 1?
2

2 x2 1 1 ? t ? x0 ? 4t ? 又 FP ? ? 0 ? t ,有 S?PDE= ? FP ? xE ? xD ? , ? 4 2 8 ? t ? 1?2 ? x0 2

又 S?QAB ? ? 4 ? ?1 ? 0 ? ? 2 ? 4 ? 于是
S ?QAB S ?PDE

1

?

x2?

4 ? x0 2 , 2

2 2 ? 2 ? 4 ? x0 ? 4 ? ? x0 ? ? t ? 1? ? ? ? 2 1? t ? x02 ? 4t ?

2 2 4 ? ? 2 4 x0 ? ? 4 ? ? t ? 1? ? x0 ? 4 ? t ? 1? . ? ? 1? t x0 4 ? 8tx0 2 ? 16t 2

对任意 x0 ? ? ?2,2? ,要使 解得 t ? ?1. 此时
S?QAB S?PDE

S?QAB S?PDE

2 ? ??4 ? ? t ? 1? ? 8t , 为常数,即只需 t 满足 ? 2 2 ? ?4 ? t ? 1? ? 16t ,

?2,

故存在 t ? ?1 ,使得 ?QAB 与 ?PDE 的面积之比是常数 2.
2 6.(2012·新课标全国高考理科·T20)设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,

准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90°, ?ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程.

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值. 【解题指南】 (1)由∠BFD=90°及抛物线的对称性可推知 ?BFD 为等腰直角三角
-4-

形, 利用等腰直角三角形的性质表示出 ?ABD 的面积, 建立等式关系求得 p 的值, 然后由圆心和半径写出圆的方程; (2)由“A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行”这一条件求出直线 m, n 的斜率,设出直线 n 的方程,与抛物线方程 联立,利用两者只有一个公共点( ? ? 0 ) ,可求得直线 n 的方程(方程中含有 p) , 然后根据距离公式求出坐标原点到 m,n 距离的比值. 【解析】 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角三角形,斜边 BD ? 2 p , 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p

2 2 所以 F ? 0,1? , 圆 F 的方程为 x ? ( y ?1) ? 8 .

(2)因为 A、B、F 三点在同一直线上,所以 AB 为圆 F 的直径, ?ADB ? 90? . 由抛物线定义知
AD ? FA ? 1 AB 2 ,

3 3 ? 所以 ?ABD ? 30? , m 的斜率为 3 或 3 .
3 3 n: y ? x?b 2 3 当 m 的斜率为 3 时,由已知可设 ,代入 x ? 2 py 得

x2 ?

2 3 px ? 2 pb ? 0 3
??
p 4 2 b?? p ? 8 pb ? 0 6. 3 ,解得

由于 n 与 C 只有一个公共点,故
b1 ?

因为 m 的截距 当 m 的斜率为

b1 p ?3 2, b ,所以坐标原点到 m, n 距离的比值为 3.

?

3 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m , n 距离的比值为 3.

7.(2012·新课标全国高考文科·T20)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,
-5-

准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程. (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公 共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值. 【解题指南】 (1)由∠BFD=90°及抛物线的对称性可推知 ?BFD 为等腰直角三角 形, 利用等腰直角三角形的性质表示出△ABD 的面积, 建立等式关系求得 p 的值, 然后由圆心和半径写出圆的方程.(2)由“A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行”这一条件求出直线 m, n 的斜率,设出直线 n 的方程,与抛物线方程 联立,利用两者只有一个公共点( ? ? 0 ) ,可求得直线 n 的方程(方程中含有 p) , 然后利用距离公式求出坐标原点到 m,n 距离的比值. 【解析】 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角三角形,斜边 BD ? 2 p , 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p ,

2 2 所以 F ? 0,1? , 圆 F 的方程为 x ? ( y ?1) ? 8 .

(2)因为 A,B,F 三点在同一直线上,所以 AB 为圆 F 的直径, ?ADB ? 90? . 由抛物线定义知
AD ? FA ? 1 AB 2 ,

3 3 ? 所以 ?ABD ? 30? , m 的斜率为 3 或 3 . 3 3 n: y ? x?b 2 3 当 m 的斜率为 3 时,由已知可设 ,代入 x ? 2 py 得

x2 ?

2 3 px ? 2 pb ? 0 3

-6-

由于 n 与 C 只有一个公共点,故
b1 ?

??

p 4 2 b?? p ? 8 pb ? 0 6. 3 .解得

因为 m 的截距 当 m 的斜率为

b1 p ?3 b 2, ,所以坐标原点到 m, n 距离的比值为 3.

?

3 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m , n 距离的比值为 3.

综上可得坐标原点到 m,n 距离的比值为 3.

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