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湖北省2016届华中师大一附中高三五月适应性考试(文科)【word含答案】数学试题


文科数学(B 卷)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集 U= ?1, 2, 3, 4,5? ,集合 A ? ?1,2,3? ,集合 B ? ?3,4? ,则 ?CU A? ? B ? ( A. ?4? B. ?2,3,4,5?
? ?

)

C. ?3,4,5?
? ?

D. ?2,3,4? )

2.计算 sin17 cos17 ? cos 47 cos107 的结果等于( A. ?

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

1 2
)

3.已知复数 z ? A. 2 3

10 ? 2i (其中 i 是虚数单位) ,则 z ? ( 3?i
C. 3 2 D. 3 3

B. 2 2

4.已知五个数 2, a, m, b,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( m 2

)

A.

2 2

B. 3

C.

2 或 3 2

D.

2 6 或 2 2
)

e2 ? 1 5.若 f ? x ? ? e ? ae 为偶函数,则 f ? x ? 1? ? 的解集为( e
x ?x

A. ? 2, ???

B. ? 0, 2 ?

C. ? ??,2?

D. ? ??,0? ? ? 2, ???

6. ?ABC 的外接圆圆心为 O ,半径为 2 , OA ? AB ? AC 为零向量,且 OA ? AB .则 CA 在 BC 方向上的投影为( A. ?3 B. ? 3 ) C. 3 D. 3

7.已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? 3 cos ? x ?? ? 0 ? , f ?

?? ? ?? ?6?

?? ? f ? ? ? 0, f ? x ? 在区间 ?2?

第 1 页 共 1 页

?? ? ? ? , ? 上单调,则 ? ? ( ?6 2?
A. 2 B. 3 C. 1

) D. 5

8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面中,面积最小值为

A.

3 2 2

B.

5 2

C.

2 2

D.

1 2
)

9.阅读如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为(

A.

1 8

B.

1 2

C.

3 16

D.

1 16

2 10.直线 y ? a 分别与曲线 y ? x ? ln x, y ? x ? 2 交于点 P、Q ,则 PQ 的最小值为

(

)

第 2 页 共 2 页

A. 2

B. 2

C. 1

D. 6

11.如图, AB 是平面 ? 外固定的斜线段, B 为斜足,若点 C 在平面 ? 内运动,且 ?CAB 等于直线 AB 与平面 ? 所成的角,则动点 C 的轨迹为( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

12.定义在 R 上的函数 f ?x ? 是减函数,且函数 y ? f ?x ? 的图像关于原点中心对称,若 s、t 满足不等式 f s 2 ? 2s ? ? f 2t ? t 2 ,其中 t ? k ? s ,则当 2 ? s ? 4 时, k 的取值范围是 ( A. ?? )

?

?

?

?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

B. ?? ?,0? ? ?1,???

C. ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

D. ?? ?,0?? ?1,???

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.若幂函数 f ?x? ? m2 ? 3m ? 3 ? xm

?

?

2

?m?2

的图像不过原点,则 m 的值为.

14.从 ? 1,2,3,4,5?中随机选取一个数为 a ,从 ? 1,2,3?中随机选取一个数为 b ,则 b ? a 的概率 是. 15.在 ?ABC 中, tan A ?

1 3 , cos B ? 10 ,若最长为 1 ,则最短边的长为. 2 10

16.定义在 R 上的函数 f ?x ? 对任意两个不等的实数 x1、x2 都

x1 f ?x1 ? ? x2 f ?x2 ? ? x1 f ?x2 ? ? x2 f ?x1 ? ,则称函数 f ?x ? 为“ Z 函数” ,以下函数中为“ Z 函
数”的序号为.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)

第 3 页 共 3 页

17. (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , 数列 ?bn ? a5 ? a6 ? 24, S11 ? 143, 的前 n 项和为 Tn ,满足 2
an ?1

? Tn ? a1 (n ? N )

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式及数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和; ? an an ?1 ?

(Ⅱ)判断数列 ?bn ?是否为等比数列?并说明理由.

AD // BC , 18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,
PD ? 底面 ABCD , ?ADC ? 90? , AD ? 2BC, Q 为 AD 的中点, M 为棱 PC 的中点.

(Ⅰ)证明: PA // 平面 BMQ ; (Ⅱ)已知 PD ? DC ? AD ? 2 ,求点 P 到平面 BMQ 的距离. 19.(本小题满分 12 分)某校高中三个年级共有学生 1800 名,各年级男生、女生的人数如 下表: 高一年级 男生 女生 高二年级 高三年级

290

b

344

260

c

a

已知在高中学生中随机抽取一名同学时,抽到高三年级女生的概率为 0.17 . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取 60 名学生,则在高二年级应抽取多少名学生? (Ⅲ)已知 b ? 260, c ? 200,求高二年级男生比女生多的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且 2 2 a b

垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交于 M , N 两点,且 MN ? 3 .

第 4 页 共 4 页

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 经过点 F 且斜率为 k ,l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 与以椭圆 C 的右顶点 E 为圆心的圆相交于 P, Q 两点( A, P, B, Q 自下至上排列) , O 为坐标原点. OA ? OB ? ? 且 Ap ? BQ ,求直线 l 和圆 E 的方程. 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ln x ?

9 , 5

m ,m? R x

(Ⅰ)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)讨论函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ? (Ⅲ)若对任意 b ? a ? 0,

x 的零点的个数; 3

f ?b? ? f ? a ? ? 1恒成立,求实数 m 的取值范围. b?a

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.【选修 4 ? 1 :几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图所示,已知 ? O1 和 ? O2 相交于 A、B 两点,过 A 点作 ? O1 的切线交 ? O2 于点 C ,过 点 B 作两圆的割线,分别交 ? O1 、 ? O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P .

(Ⅰ)求证: AD / / EC ; (Ⅱ)若 AD 是 ? O2 的切线,且 PA ? 6, PC ? 2, BD ? 9 ,求 AD 的长. 23.【选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ?

? x ? sin ? ? cos ? , ( ? 为参数)若以该直角 ? y ? sin 2? ,

第 5 页 共 5 页

坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为

? 2 ? sin(? ? ) ? t (其中 t 为常数).
4 2
(Ⅰ)若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上的点的最小距离. 24.【选修 4 ? 5 :不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ?

x ? 2 ? 6 ? x ? m 的定义域为 R .

(Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若实数 m 的最大值为 n ,正数 a , b 满足

8 2 3 ? ? n ,求 2a ? b 的最小值. 3a ? b a ? 2b 2

华中师大一附中 2016 届高三五月适应性考试试题 文科数学( A/B 卷)答案

一、选择题: CDCABB,ADDADC 二. 填空题: 13. 1 或 2 三.解答题: 17. 解 (I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 S11 ? 11a6 ? 143, ? a6 ? 13 . 又 a5 ? a6 ? 24, 解得 a5 ? 11 , d ? 2 , 因此 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n ? 1 (n ? N ? ) ,????????????4 分 所以 14.

1 5

15.

5 5

16.②④

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

从而前 n 项的和为

1 1 1 ? ?? ? 3? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

第 6 页 共 6 页

?

1 1 1 n ( ? )? . 2 3 2n ? 3 6n ? 9
an ?1

????????????8 分

(II)因为 a1 ? 3 , 2

? 4n , Tn ? 4n ? 3 .当 n ? 1 时, b1 ? 7 ;

当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 4n ? 4n?1 ? 3? 4n?1 ; 所以 bn?1 ? 4bn ( n ? 2 .若 ?bn ? 是等比数列,则有 b2 ? 4b1 ,而 b1 ? 7, b2 ? 12 ,所以与

b2 ? 4b1 矛盾,
故数列 ?bn ? 不是等比数列.???????????12 分 18. (I)证明 连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN ,因为 ?ADC ? 90 , Q 为 AD 的中点,所
0

以 N 为 AC 的中点, 又 M 为 PC 的 中 点 , 故 MN ∥ PA , 又 MN ? 平 面 BMQ , 所 以 PA ∥ 平 面

BMQ .??????6 分

(II)解 由(1)可知,PA ∥平面 BMQ , 所以点 P 到平面 BMQ 的距离等于点 A 到平面 BMQ 的距离, 所以 VP?BMQ ? VA?BMQ ? VM ? ABQ ,??????????????9 分 取 CD 的中点 K ,连接 MK ,所以 MK ∥ PD , MK ? 又 PD ? 底面 ABCD ,所以 MK ? 底面 ABCD . 又 BC ?

1 PD ? 1 . 2

1 AD ? 1 , PD ? DC ? 2 ,所以 AQ ? 1, BQ ? 2 , 2

MQ ? 3, NQ ? 1 ,
所以 VP ? BMQ ? VA? BMQ ? VM ? ABQ ?

1 , 3

S?BMQ ? 2 ,

第 7 页 共 7 页

则点 P 到平面 BMQ 的距离 d ?

3VP? BMQ S?BMQ

?

2 . 2

????????12 分

所以高二年级应抽取的人数为 60 ?

600 ? 20 (人) 1800

????????6 分

(III)设事件 A=“高二年级男生比女生多”,求概率 P ( A) 用 b 表示高二年级男生的人数,用 c 表示高二年级女生的人数,且 b ? c ? 600 则满足

b ? 260 , c ? 200 的 (b, c ) 配对的情况为 (260,340), (261 ,339)?(400,200) ,共有 141 种情
况,而事件 A 发生的 (b, c ) 配对的情况为 (301 ,299), (302,298) ,?, (400,200) 共有 100 种 情况,所以高二年级男生比女生多的概率为 P ( A) ?

100 ??????????12 分 141

2 2 2 2 20.解: (Ⅰ)设 F (c, 0) ,则由题意得 c ? a ? b , c ? 1 , 2 ? b ? 3 , a 2 a

解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1 , ∴ 椭 圆

C









2 x 2 ? y ? 1 .???????????????????????????4 分 4 3

(Ⅱ)由题意,直线 l 的斜率 k 存在.设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 联立椭圆方程得 3 ? 4k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .
2 2 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 8k 2 , x1 x2 ? 4k ? 12 , 3 ? 4k 3 ? 4k 2 2 ∴ y1 y2 ? ? 9k 2 .??????????????????????????6 分 3 ? 4k ??? ? ??? ? 2 ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? ? 12 ? 5k2 . 3 ? 4k 2 ∵ OA ? OB ? ? 9 ,∴ ? 12 ? 5k2 ? ? 9 ,解得 k 2 ? 3 .????????????8 分 5 5 3 ? 4k

?

?

??? ? ??? ?

由题意可得, AP ? BQ 等价于 AB ? PQ .??????????????9 分 设圆 E 的半径为 r ,
第 8 页 共 8 页

k . ∵ AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 12 ? 12k , PQ ? 2 r 2 ? 2 2 k ?1 3 ? 4k
2 将 k 2 ? 3 代入 AB ? PQ 解得 r ? 331 .?????????????????11 分

2

2

100

故所求直线 l 的方程为 y ? ? 3 ? x ? 1? ,即 3x ? y ? 3 ? 0 与 3x ? y ? 3 ? 0 ;
2 圆 E 的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 331 .???????????????????12 分 2

100

21. 解 : (I) 当 m ? e 时 , f ( x) ? ln x ?

e , 易 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 (0,??) , 所 以 x

f ?( x) ?

1 e x?e ? 2 ? 2 ,当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上是减函数;当 x x x

x ? (e,??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (e,??) 上是增函数,所以当 x ? e 时, f ( x) 取得

e ? 2 ????????????????4 分 e x 1 m x 1 3 (II)因为函数 g ( x) ? f ?( x) ? ? ? 2 ? ( x ? 0), 令 g ( x) ? 0 ,得 m ? ? x ? x ( x ? 0), 3 x x 3 3 1 3 设 h( x) ? ? x ? x( x ? 0), 所以 h?( x) ? ? x 2 ? 1 ? ?( x ?1)(x ? 1), 当 x ? (0,1) 时,h?( x) ? 0 , 3
极小值 f (e) ? ln e ? 此时 h( x) 在 (0,1) 上为增函数;当 x ? (1,??) 时, h?( x) ? 0 ,此时 h( x) 在 (1,??) 上为减函 数,所以当 x ? 1 时, h( x) 取极大值 h(1) ? ?

1 2 1 ? 1 ? ,令 h( x) ? 0 ,即 ? x 3 ? x ? 0 , 3 3 3

解得 x ? 0 或 x ? 3 ,由函数 h( x) 的图像知:

2 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 无交点; 3 2 ?当 m ? 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有且仅有一个交点; 3 2 ?当 0 ? m ? 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有两个交点; 3
?当 m ? ④当 m ? 0 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有且仅有一个交点。

2 2 时,函数 g ( x) 无零点;当 m ? 或 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且 3 3 2 仅有一个零点,当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零 3
综上所述,当 m ? 点????????????????????8 分 (III)对任意 b ? a ? 0,

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立,设 b?a m ? ( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? ? x( x ? 0), 则 ? ( x) 在 (0,??) 上单调递减, x
第 9 页 共 9 页

1 m ? ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立, x x2 1 2 1 1 2 2 所以 m ? ? x ? x ? ?( x ? ) ? 在 (0,??) 上恒成立,因为 x ? 0,? x ? x ? ,所以 2 4 4 1 1 1 m ? ,当且仅当 x ? 时, m ? ,所以实数 m 的取值范围是 4 2 4
所以 ? ?( x ) ?

?1 ? ,?? ? ? ?4 ?

???????????????????????12 分 , ??D ? ?E , ∥

? AC 是⊙ O1 的切线, ??BAC ? ?D , A C ? ? E 22. (I) 证明: 连接 AB , 又? ?B

? AD
EC ???????????????????????????????????5 分

(II)解:设 BP ? x , PE ? y ,? PA ? 6 , PC ? 2 ,? xy ? 12 ①

? AD ∥ EC ,?

9? x 6 DP AP ? ② ,? ? y 2 PE PC

? x ? 3 ? x ? ?12 由①②可得 ? 或? (舍去). ??????????????????8 分 ? y ? 4 ? y ? ?1
? DE ? 9 ? x ? y ? 16 , ? AD 是⊙ O2 的切线,? AD2 ? DB ? DE ? 9 ? 16 ? 144 ,

?AD ? 12 ??????????????????????????????10 分
23. 解:对于曲线 M ,消去参数,得普通方程为 y ? x2 ? 1,| x |? 2 ,曲线 M 是抛物线的一 部分;对于曲线 N ,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线. (1)若曲线 M , N 只有一个公共点,则直线 N 过点 ( 2,1) 时满足要求,并且向左下方平行 移动直到过点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点,再接着从过点 (? 2,1) 开始向左下方 平行移动直到相切之前总是有两个公共点,此时不合题意,所以 ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 满足要 求. 相切时仍然只有一个公共点,由 t ? x ? x 2 ? 1 ,得 x2 ? x ?1 ? t ? 0, ? ?1 ? 4(1 ?t ) ? 0,求得
5 t?? . 4 5 综上,可得 t 的取值范围是 ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 或 t ? ? .??????????5 分 4
2 (2)当 t ? ? 2 时,直线 N : x ? y ? ?2 ,设 M 上的点为 ( x0 , x0 ? 1),| x0 |? 2 ,

第 10 页 共 10 页

| x 2 ? x0 ? 1| ? 则曲线 M 上的点到直线 N 的距离为 d ? 0 2

1 3 ( x0 ? )2 ? 2 4?3 2, 8 2

当 x0 ? ? 时取等号,满足 | x0 |? 2 ,所以所求的最小距离为

1 2

3 2 .????10 分 8

24. 解: (1)由题意知 x ? 2 ? 6 ? x ? m ? 0 在 R 上恒成立,即 m ? x ? 2 ? 6 ? x 恒成立.

? x ? 2 ? 6 ? x ? ( x ? 2) ? (6 ? x) ? 8 (当且仅当 ( x ? 2)(6 ? x) ? 0即 ? 2 ? x ? 6 时等号成立) ?m ? ? ??,8? ........................................................................................................................5 分
(2)由(1)知 n ? 8 ,即
8 2 ? ?8, 3a ? b a ? 2b

3 1 1 8 2 ?2a ? b ? ? ? ? ( ? ) ?3a ? b? ? ? a ? 2b?? ?3a ? b? ? ?a ? 2b?? ? ? ? ? 2 2 16 3a ? b a ? 2b
? 1 8 2 1 9 2 ( 3a ? b ? ? a ? 2b ? ) 2 = (3 2) = 当且仅当 16 3a ? b a ? 2b 16 8

9 ? a ? 3b a? ? ? ? ? 20 即? 时等号成立 2 ? 8 3 ? ? 8 ? ? b? ? 3a ? b a ? 2b ? 20 ?

3 9 ? 2a ? b 的最小值是 . ................. ........................ ....................................................10 分 2 8

第 11 页 共 11 页


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