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高考数学第一轮单元练习题22


高三数学单元练习题:立体几何(Ⅱ) 第Ⅰ卷 一、选择题: 1.一条直线与一个平面所成的角等于

? ? ,另一直线与这个平面所成的角是 . 则这两条直线的位置关系( 3 6



A.必定相交 B.平行 C.必定异面 D.不可能平行 2.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3,则锥体被截面所分成的两部分 的体积之比为 ( ) A.1∶ 3 B.1∶9 C.1∶ 3 3 D.1∶ (3 3 ? 1)

P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B1C1 的中点.那么,正方体的过 P 、 Q 、 R 的截 3.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
面图形是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 4.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为 A.75° B.60° C.45° D.30° 5.对于直线 m、n 和平面 ? ,下面命题中的真命题是 A.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n // ? B.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n与? 相交 C.如果 m ? ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n D.如果 m // ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n 6.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,长为定值的线段 EF 在棱 AB 上移动(EF<a) ,若 P 是 A1D1 上的定点,Q 是 C1D1 上的动点,则四面体 PQEF 的体积是 ( ) A.有最小值的一个变量 B.有最大值的一个变量 C.没有最值的一个变量 D.是一个常量 7.已知平面 ?与? 所成的二面角为 80°,P 为 ? 、 ? 外一定点,过点 P 的一条直线与 ? 、 ? 所 成的角都是 30°,则这样的直线有且仅有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 8.如图所示,在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细线 AM、 BN、AB 的长度为 60cm,在 MN 处挂长为 60cm 的木条 MN 平行 于横梁,木条中点为 O,若木条绕 O 的铅垂线旋转 60°,则木条比原来升高了( ) A.10cm B.5cm C.10 3 cm D.5 3 cm 9.如图,棱长为 5 的正方体无论从哪一个面看,都有两个直通的 边长为 1 的正方形 孔,则这个有孔正方体的表面积(含孔内各面)是( ) A.258 B.234 C.222 D.210 10.在半径为 R 的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上, 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,则经过的最短路程是 A. 2? R B. ? R

( (

) )

7 3

C. ? R

8 3

D.

7? R 6

11.底面边长为 a,高为 h 的正三棱锥内接一个正四棱柱(此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内) ,此 棱柱体积的最大值 ( ) A.

4(4 ? 7 3 ) 2 a h 9
3?2 6 3
B.2+

B.

4(7 ? 4 3 ) 2 a h 9
C.4+

C.

4(4 ? 7 3 ) 2 a h 9

D.

4(7 ? 4 3 ) 2 a h 9


12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( A.

2 6 3
?

2 6 3

D.

4 3?2 6 3

第Ⅱ卷 二、填空题:. 13 . 某 地 球 仪 上 北 纬 30 纬 线 的 长 度 为 1 2 ? cm, 该 地 球 仪 的 半 径 是 2 __________cm,表面积是______________cm . 14.如图,矩形 ABCD 中,DC= 3 ,AD=1,在 DC 上截取 DE=1,将△ADE 沿 AE 翻折到 D1 点, 点 D1 在平面 ABC 上的射影落在 AC 上时, 二面角 D1—AE—B 的平面角 的余弦值是 . 15.多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶 点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ?

D1 C

C1 A1 B1

D
?

B A 第 15 题图

A1

的距离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为______________. (写出所有正确结论的编号 ) .. 16.如图,在透明材料制成的长方体容器 ABCD—A1B1C1D1 内灌注一些水,固定容器底面一边 BC 于桌面上,再将容器倾 斜根据倾斜度的不同,有下列命题: (1)水的部分始终呈棱柱形; (2)水面四边形 EFGH 的面积不会改变; (3)棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行; C A1 (4)当容器倾斜如图所示时,BE·BF 是定值。 其中所有正确命题的序号是 . D1 B1 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本 大题共 6 个大题,共 74 分). D 17. (12 分)在平面 α 内有△ABC,在平面 α 外有点 S,斜线 SA⊥AC,SB⊥BC,且斜线 SA、SB 与平面 α 所成角 1 相等. B (I)求证:AC=BC; B (II)又设点 S 到 α 的距离为 4cm,AC⊥BC 且 AB=6cm,求 S 与 AB 的距离. F C A 18. (12 分)平面 EFGH 分别平行空间四边形 ABCD 中的 CD 与 AB 且交 BD、AD、AC、BC 于 E、F、G、H.CD=a,AB=b, E CD⊥AB. (I)求证 EFGH 为矩形; B (II)点 E 在什么位置,SEFGH 最大? 19. (12 分)设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC= ∠DBC=120°. 求: (I)直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小; (II)异面直线 AD 与 BC 所成的角的大小; (III)二面角 A-BD-C 的平面角正切值大小. 20. (12 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,其中 AB=3,PA=4,若在线段 PD 上存在点 E 使得 BE⊥CE, 求线段 AD 的取值范围,并求当线段 PD 上有且只有一个点 E 使得 BE⊥CE 时,二面角 E—BC—A 正切值的大小.

P

A B C

D

21. (12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是 AB=2,BC= 2 的矩形,侧面 PAB 是等边三角形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD (I)证明:侧面 PAB⊥侧面 PBC; (II)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角; (III)求直线 AB 与平面 PCD 的距离.

22. (14 分)在直角梯形 ABCD 中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC=

(1) ) ,将△ADC 沿 AC 折起,使 D 到 D′,记面 ACD′为 α ,面 ABC 为 β ,面 BCD′为 ? . (I)若二面角α -AC-β 为直二面角(如图 9-7-12(2) ) ,求二面角β -BC- ? 的大小; (II)若二面角α -AC-β 为 60°(如图 9-7-12(3) ) ,求三棱锥 D′一 ABC 的体积.

1 AB=a(如图 9-7-12 2

参考答案(3) 一、选择题 1.D;2.D;3.D;4.C;5.C;6.D;7.D;8.A;9.C;10.B;11.B;12.B; 二、填空题 13. 4 3 , 1 9 2 ?;14. 2 ? 3 ;15.①③④⑤;16.①③④; 三、解答题 17. (1)证明:过 S 作 SO⊥面 ABC 于 O

2 2 ?S 到 AB 的距离为 4 ? 3 =5cm.

又∵AB⊥CD ? EF⊥FG ? EFGH 为矩形. (2)AG=x,AC=m,

a GH x ? ,GH= x m a m b GF m ? x m ? x GF= (m-x) ? ? m b m m a b SEFGH=GH·GF= x· (m-x) m m m 2 m2 ab ab ab m2 m2 2 2 = 2 (mx-x )= (- x + mx - + ) = [-( x - )+ ] 2 m m2 m2 4 4 4 m ab m 2 ab ? . 当 x= 时,SEFGH 最大= 2 ? 2 4 4 m
19.解: (1)如图 9-7-3 所示,在平面 ABC 内,过 A 作 AH⊥BC,垂足为 H,则 AH⊥平面 DBC,连结 DH,故∠ADH 为 直线 AD 与平面 BCD 所成的角. 由题设知,△AHB≌△DHB,则 DH⊥BH,AH=DH. ∴∠ADH=45°为所求. (2)∵BC⊥DH,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影, ∴BC⊥AD,故 AD 与 BC 所成的角为 90°. (3)过 H 作 HR⊥BD,垂足为 R,连结 AR,则由三垂线定理知 AR⊥BD,故∠ARH 为

二面角 A-BD-C 的平面角的补角.

1 3 a ,BH= a ,BD=BC=a. 2 2 AH 3 在△HDB 中,求得 HR= =2. a .∴tan∠ARH= HR 4
设 BC=a,则由题设得 AH=DH= 故二面角 A-BD-C 的正切值大小为-2. 20. 若以 BC 为直径的球面与线段 PD 有交点 E, 由于点 E 与 BC 确定的平面与球的截面是一个大圆, 则必有 BE⊥CE, 因此问题转化为以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点。 设 BC 的中点为 O(即球心) ,再取 AD 的中点 M,易知 OM⊥平面 PAD,作 ME⊥PD 交 PD 于点 E, 连结 OE,则 OE⊥PD,所以 OE 即为点 O 到直线 PD 的距离,又因为 OD>OC,OP>OA>OB,点 P,D 在球 O 外,所以 要使以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点,只要使 OE≤OC(设 OC=OB=R)即可。 由于△DEM∽△DAP,可求得 ME=

4R 16 ? 4 R 2

4R 2 2 2 , 所以 OE =9+ 令 OE ≤R , 2 4?R
2

4R 2 2 即 9+ ≤R ,解之得 R≥2 3 ; 2 4?R 所以 AD=2R≥4 3 ,所以 AD 的取值范围[ 4 3 ,+∞ ) ,
当且仅当 AD= 4 3 时,点 E 在线段 PD 上惟一存在,此时易求得二面角 E—BC—A 的平面角正 切值为

1 。 2

21. (I)证明:在矩形 ABCD 中,BC⊥AB 又∵面 PAB⊥底面 ABCD 侧面 PAB∩底面 ABCD=AB ∴BC⊥侧面 PAB 又∵BC ? 侧面 PBC ∴侧面 PAB⊥侧面 PBC) (II)解:取 AB 中点 E,连结 PE、CE 又∵△PAB 是等边三角形 ∴PE⊥AB 又∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,∴PE⊥面 ABCD ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角 3 PE ? BA ? 3 CE ? BE 2 ? BC 2 ? 3 2 在 Rt△PEC 中,∠PCE=45°为所求 (Ⅲ)解:在矩形 ABCD 中,AB//CD ∵CD ? 侧面 PCD,AB ? 侧面 PCD,∴AB//侧面 PCD 取 CD 中点 F,连 EF、PF,则 EF⊥AB 又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面 PEF 又∵AB//CD ∴CD⊥平面 PEF ∴平面 PCD⊥平面 PEF 作 EG⊥PF,垂足为 G,则 EC⊥平面 PCD 在 Rt△PEF 中,EG=

PE ? EC 30 为所求. ? PF 5

22.解: (1)在直角梯形 ABCD 中,由已知△DAC 为等腰直角三角形,∴AC= 2 a,∠CAB=45°. 由 AB=2a,可推得 BC=AC= 2 a,∴AC⊥BC. 取 AC 的中点 E,连结 D′E,如图 9-7-13,则 D′E⊥AC.

∵二面角α -AC-β 为直二面角,∴D′E⊥β . 又∵BC ? 平面β ,∴BC⊥D′E. ∴BC⊥α .而 D′C ? α ,∴BC⊥D′C. ∴∠D′CA 为二面角β -BC- ? 的平面角. 由于∠D′CA=45°,∴二面角β -BC- ? 为 45°. (2)如图 9-7-14,取 AC 的中点 E,连结 D′E,再过 D′作 D′O⊥β ,垂足为 O,连结 O E.∵AC⊥D′E,

∴AC⊥OE.∴∠D′EO 为二面角α -AC-β 的平面角.∴∠D′EO=60°.在 Rt△D′OE 中,D′E= D′O=D′E·sin60°=

1 2 AC= a, 2 2

1 2 3 6 1 a? ? a. ?VD?? ABC ? D?O ? S△ABC·D′O= × 3 2 2 4 3 1 1 6 6 3 AC·BC·D′O= × 2a × 2a × a= a . 2 6 4 12


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