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直线和平面所成的角与二面角(二)


直线和平面所成的角与二面角(二)
一.知识点回顾 1. 二面角及二面角平面角的定义。 2. 二面角平面角的三种作法:__________;__________;__________。 3. 二面角的求法:__________;__________;__________ 二.例题讲解 例 1.在空间四边形 PABC 中, ? APC=90°, ? APB=60°,PB=BC=8,PC=6, 求二面角 B—PA—C 的大小。

例 2.PA ? 平面 ABC,AC ? BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角 A—PB—C 的大 小。

例 3.如图,在棱长 AB=AD=2,AA 1 =3 的长方体 AC 1 中,点 E 是平面 BCC 1 B 1 上的动点, 点 F 是 CD 的中点。 (1)试确定 E 的位置,使 D 1 E ? 平面 AB 1 F; (2)求二面角 B 1 —AF—B 的大小。

三.巩固练习 1.已知二面角 ? ? ? ? ? 的大小为 60°,m,n 为异面直线,且 m ? ? , n ? ? ,则 m,n 所成 的角为( ) A、30° B、60° C、90° D、120° 2.如图,在边长为 a 的正三角形 ABC 中,AD ? BC,沿 AD 将 ? ABD 折起,若 折起后 B、C 间距离为

1 a,则二面角 B—AD—C 的大小为( ) 2

A、30° B、45° C、60° D、90° 3.已知在四面体 ABCD 中,二面角 A—CD—B,A—BD—C,A—BC—D 均相等,则 A 在 ? BCD 所在平面内的射影 O 是 ? BCD 的( ) A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心 4.二面角 ? ? ? ? ? ,若异面直线 a,b 满足 a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ? ? 的大小为 ? ,则 a 与 b 所成角的大小是( ) A、 ? B、 ? ? ? C、

?

2

??

D、 ? 或 ? ? ?

5.已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面,PA=3,AB=2,BC= 3 ,则二面角 P—BD—A 的 正切值为( ) A、1 B、2 C、

21 2

D、

2 21 63

6.从点 P 引三条射线 PA、PB、PC,每两条的夹角都是 60°,则二面角 B—PA—C 的余弦 值是( ) A、

7.平面 P 和平面 Q 所成的二面角为 ? ,直线 AB ? P,且与二面角的棱成 ? 角,它和平面 Q 成角 ? ,那么( ) A、sin ? =sin ? ·sin ?
2 2 2

1 2

B、

1 3

C、

3 3

D、

3 2

B、cos ? =cos ? ·cos ?
2 2 2

C、sin ? +sin ? =sin ? D、cos ? +cos ? =cos ? 8.将锐角 A 为 60°,边长为 a 的菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成 60°的二面角,则 AC 与 BD 的中点 O 的距离为( )

3 3 6 C、 D、 a a a 2 4 4 9.设 P 是 60°的二面角 ? ? ? ? ? 内一点,PA ? 平面 ? ,PB ? 平面 ? ,A、B 分别为垂足,
A、 B、 PA=4,PB=2,则 AB 的长为( ) A、 2 3 B、 2 5 C、 2 7 D、 4 2 10.如图,过边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 EA ? AD,若 EA=1,则 平面 ADE 与平面 BCE 所成角为___________。 11. 点 P 为锐二面角 ? ? ? ? ? 内一点, P 到平面 ? , ? 及棱 ? 的距离之经为 1: 2 : 2, 则此二面角的度数为__________。 12.直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 ? 内,且平面 ABC 和 ? 所成二面角为 60°,若直 角边 AC 和平面 ? 成 45°角,则 BC 和平面 ? 所成角为__________。 13.已知长方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 ,底面是边长为 3 的正方形,AA 1 =4,作 C 1 M ? CD 1 , 交 DD 1 于 M,如图,求二面角 C 1 —A 1 M—D 1 的大小。

3 a 4

14.如图,ABCD 是正方形,V 是平面 ABCD 外一点,且 VA=VB=VC=AB。 求二面角 A—VB—C 的大小。

15.正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1,P 是 AD 的中点,求二面角 A—BD 1 —P 的大小。


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