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中山市高二级2010—2011学年度第二学期期末统一考试(数学理)


中山市高二级 2010—2011 学年度第二学期期末统一考试

数学试卷(理科)
本试卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上. 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和 涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 5、不可以使用计算器.

? (x
? 参考公式:回归直线 y ? bx ? a ,其中 b ?
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y ) ?
i

?

n

xi y i ? n x y , a ? y ? bx xi ? n x
2 2

i ?1

? (x
i ?1

? x)

2

?

n

.

i ?1

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.复数 (1 ? i ) 2 的共轭复数是 A. 2i B. ? 2 i 2.计算 ? x 3 d x ?
0 2

C. 2 ? 2i

D. 2 ? 2i

A.1
n x

B.2

C.4

D.8 D. ( n ? x ) x n ? 1 e x
3
4

3.已知函数 y ? x e ,则其导数 y ' ? A. n x n ? 1 e x B. x n e x
1 2

C. 2 x n e x

4.法国数学家费马观察到 2 2 ? 1 ? 5 , 2 2 ? 1 ? 1 7 , 2 2 ? 1 ? 257 , 2 2 ? 1 ? 6 5 5 3 7 都是质 数, 于是他提出猜想: 任何形如 2 2 ? 1 ( n ? N*) 的数都是质数, 这就是著名的费马猜想. 半 个世纪之后,善于发现的欧拉发现第 5 个费马数 2 2 ? 1 ? 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7 ? 6 4 1 ? 6 7 0 0 4 1 7 不是质数,从而推翻了费马猜想,这一案例说明 A.归纳推理,结果一定不正确 C.类比推理,结果一定不正确 B.归纳推理,结果不一定正确 C.类比推理,结果不一定正确
5

n

5.复数 a ? b i 与 c ? d i 的积是纯虚数的一个必要不充分条件是
高二数学(理科) 第 1 页(共 4 页)

A. ad ? bc ? 0 A.720

B. ac ? bd ? 0 B.360

C. ac ? bd C.240

D. ad ? bc D.120

6.圆上有 10 个点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为 7.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x 小时时,原油的温度(单位:℃)为 y ? f ( x ) ? x 2 ? 7 x ? 15 (0 ? x ? 8) . 则第 2 小时时, 原油温度的瞬时变化率为 A.-3 B.3 C.-5 D.5 8.设有一个边长为 3 的正三角形,记为 A 1 ,将 A 1 的每边三等份,在中间的线段上向形外 作正三角形,去掉中间的线段后得到的图形记为 A2 ,将 A 2 的每边三等份,再重复上述过 程,得到图形 A3 ,再重复上述过程,得到图形 A4 , A5 ,则 A5 的周长是

A1 A.16 B.
64 3

A2 C.
256 9

A3 D.
128 3

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答 题卡相应横线上) (一)必做题(9~13 题) 9.函数 y ?
ln x x

的单调递增区间是

.

10.我国自从 1979 年实行计划生育政策以来,“独生子女”就作为一种特殊的群体存在于 我国社会中. 从理论研究的角度看, 对“独生子女”的研究横跨和占据了多学科的研究领地, 例如心理学、教育学、人口学和社会学. 某农村高中心理咨询室在研究独生子女“偏执”性 格与独生是否有关时,从在校学生中抽样调查 50 人,得到如下数据: 独生子女 非独生子女 根据表中数据,计算统计量 K 2 ? P(k2>k) k 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 不偏执 12 12
n(ad ? bc)
2

偏执 18 8
? 1 .9 2 3 1 ,参考以下临界数据:

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84 %.

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

可以得到性格偏执与是否独生有关的把握为
高二数学(理科)

第 2 页(共 4 页)

11. ( x ?

1 x

) 的展开式中, x 的系数是
7
3

.

12.中山某旅游公司组织亚运线路一天游,景点包括:广东省博物馆新馆、广州歌剧院、 亚运会开闭幕式场地海心沙、广州新电视塔、广州大学城体育中心体育场、广州新中轴线 花城广场. 安排线路时,要求上午游览 4 个景点,下午游览 2 个景点,广州大学城体育中 心体育场排在第一个景点,广东省博物馆新馆、广州歌剧院安排在上午,广州新中轴线花 城广场安排在下午. 则此线路共有 种排法(用数字作答) .

13.已知函数 f ? x ? 满足 f ?1 ? ? 2 , 且对任意 x , y ? R 都有 f ? x ? ? f ? x ? y? ? f ? ? y? ,记

?
i ?1

n

a i ? a 1 ?a 2 ?? ?a n ,则 ? f ? 7 ? i ? ?
i ?1

12

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,若两题都做,取 14 题得分为最后得分) 14 . 坐标系 与参数 方程选 做题) 在平面 直角坐标 系 xO y 中, 直线 l 的 参数方程 为 (
?x ? t ? 3 ? ?y ? 3?t

(参数 t ? R ) ,圆 C 的参数方程为 ? 距离为 .

? x ? 2 cos ? ? y ? 2 sin ? ? 2

2 (参数 ? ? ? 0, ? ? ) ,圆心到直线 l 的
D E A

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 A B ? 6 ,
C 为圆周上一点, B C ? 3 .过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的

C

垂线 A D , A D 分别与直线 l 、圆交于点 D , E ,则线段 A E 的长为 .

O

B

l

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. (13 分)已知函数
f (x) ? ( 1 3 x ? 4) x
2

.

(1)求 f ( x ) 的导数 f '( x ) ; (2)求 f ( x ) 在闭区间 ? 0 , 3 ? 上的最大值与最小值. 17. (13 分)某人在自己的林场种植了杨树、沙柳等植物.一次种植了 n 株沙柳,各株沙 柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期望 E ? ? 3 ,标准 差? ? 为
6 2



(1)求 n,p 的值 (2)若一株沙柳成活,则一年内通过该株沙柳获利100元,若一株沙柳不能成活,
高二数学(理科) 第 3 页(共 4 页)

一年内通过该株沙柳损失30元,求一年内该人通过种植沙柳获利的期望 18. (13 分)我市某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少 之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与 因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 10 22 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12 昼夜温差 x (° C) 就诊人数 y (个)

该综合实践研究小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组 数据求线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的 ? 线性回归方程 y ? bx ? a . (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则 认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? 参考数据:

?x
i ?1

4

i

y i ?1 1 ? 2 5 ? 1 3 ? 2 9 ? 1 2 ? 2 6 ? 8 ? 1 6 ? 1 0 9 2 .

19.(13 分)一袋子中有大小、质量均相同的 10 个小球,其中标记“开”字的小球有 5 个, 标记“心”字的小球有 3 个,标记“乐”字的小球有 2 个.从中任意摸出 1 个球确定标记后放 回袋中,再从中任取 1 个球.重复以上操作,最多取 3 次,并规定若取出“乐”字球,则停 止摸球.求: (1)恰好摸到 2 个“心”字球的概率; (2)摸球次数 X 的概率分布列和数学期望. 20. (14 分)美籍匈牙利数学家波利亚(GeorgePolya,1887~1985)曾说过:“类比是一个伟 大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”确实,类比是科学发 现的灵魂,是数学发现的重要工具之一. 例如,在 R t ? A B C 中, ? C ? 90 ? , a , b , c 分别是 角 A , B , C 对边,由勾股定理可得 c 2 ? a 2 ? b 2 . (1) 由平面内直角三角形的勾股定理, 我们可类比猜想得出空间中四面体的一个性质: 在四面体 S ? A B C 中, 三个侧面 SAB、 SBC、 两两相互垂直, SAC 则 . (2)试证明你所猜想的结论是否正确. 21. (14 分)设 b > 0 ,椭圆方程为
x
2 2

?

y b

2 2

? 1 ,抛物线方程为 y ?

1 8

x ? b .如图所示,
2

2b

过点 F(0,b+2)作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在 G 点 的切线经过椭圆的右焦点 F1 . y (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; F (2)设 A , B 分别是椭圆的左右端点, P 在抛物 G 线上. 证明:抛物线上存在四个点 P ,使 ? A B P 为直 角三角形. F1 A x O B
高二数学(理科) 第 4 页(共 4 页)

中山市高二级 2010—2011 学年度第二学期期末统一考试

数学试卷(理科)答案
一、选择题:BCDB 二、填空题:9. 13. 64; 14. 2 三、解答题: CDAC 10. 75; 11. 21; 12.
D E
1
2

; (0, e ) (若填 ? 0 , e ? 也对)
2

24;

.

15.3.
1 3 x ? 4x .
3

C

16. 解: (1) f ( x ) ? ( x ? 4 ) x ?
3

求导得 f ? ( x ) ? x 2 ? 4 . (2)令 f ?( x ) ? x 2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ,解得: x 列表如下:
x

A
? ?2

O

B

l

或x

? 2



0

(0,2) -

2
16 3

(2,3) +

3

f ?( x ) f (x)

0



?


16 3

?3

所以, f ( x ) 在闭区间 ? 0 , 3 ? 上的最大值是 0,最小值是 ? 17. 解:(1)由 E ? ? n p ? 3, (? ? ) ? n p (1 ? p ) ?
2


1 2

3 2

, 得1 ? p ?

,从而 n ? 6 , p ?

1 2

(2)设 ? 为该人通过种植沙柳所获得的利润 则 ? ? 100 ? ? 30 ( 6 ? ? ) ? 130 ? ? 180 . 所以, E ? ? 130 E ? ? 180 ? 210 18. 解: (1) x
? 1 4 (1 1 ? 1 3 ? 1 2 ? 8) ? 1 1



y ?

1 4

(25 ? 29 ? 26 ? 16) ? 24



?x
i ?1 4

4

i

y i ?1 1 ? 2 5 ? 1 3 ? 2 9 ? 1 2 ? 2 6 ? 8 ? 1 6 ? 1 0 9 2 ,
2

?x
i ?1

i

?1 1 ? 1 3 ? 1 2 ? 8 ? 4 9 8 .
2 2 2 2

?x
b?
i ?1 n i ?1

n

i

yi ? n x y ?
2 i

1092 ? 4 ? 11 ? 24 498 ? 4 ? 11
2

?

18 7



a ? y ? b x ? 2 4?

1 8 7

? 1? ? 1

3 0

.

?x

? nx

2

7

于是,得到 y 关于 x 的回归直线方程 y ?
高二数学(理科)

?

18 7

x??

30 7

.

第 5 页(共 4 页)

? (2) 当 x ? 10 时, y ?

150 7

,

150 7

? 22 ? 2 ;

? 同样, 当 x ? 6 时, y ?

78 7

,

78 7

? 12 ? 2 .

所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

19. 解: (1)恰好摸到两个“心”字球的取法共有 4 种情形: 开心心,心开心,心心开,心心乐. 则恰好摸到 2 个“心”字球的概率是
P ? 5 10 ? 3 10 ? 3 10 ?3? 3 10 ? 3 10 ? 2 10 ? 153 1000



(2) X ? 1, 2, 3 则 P ( X ? 1) ?
C2 C
1

1 10

?

1 5

, P ( X ? 2) ?

C8 C

1

1 10

?

C2 C

1

1 10

?

4 25



P ( X ? 3) ? 1 ? P ( X ? 1) ? P ( X ? 2 ) ?

16 25



故取球次数 X 的分布列为 1 X
P

2
4 25

3
16 25

1 5 4 25 ?2? 16 25 ?3?

EX ?

1 5

?1?

61 25



2 2 2 2 20. 解: (1) S ? SA B ? S ? SB C ? S ? SA C ? S ? A B C .

(2) 证明: 经过四面体的棱 SA 与点 H 作平面, 与棱 BC 交于点 D. 易 知,棱 BC⊥平面 SAD. 在 Rt△ SAD 中,有 SD 2 ? H D ?A D . 又 ∵ △ SBC、△ HBC、△ ABC 有公共边 BC,
2 ∴ ( B C ?S D ) 2 ? ( B C ?H D ) ?( B C ?A D ) ,即 S ? S B C ? S ? B C H ?S ? A B C .

1

1

1

2

2

2

同理可以得到其他侧面, 2 2 有 S ? SA B ? S ? A B H ?S ? A B C , S ? S A C ? S ? A C H ?S ? A B C .
2 2 2 2 所以 S ? SA B ? S ? SB C ? S ? SA C ? ( S ? A B H ? S ? B C H ? S ? A C H ) ?S ? A B C ? S ? A B C .

证法二:设三条棱 SA、SB、SC 分别为 a、b、c.
高二数学(理科) 第 6 页(共 4 页)

则△ ABC 的三边分别为 a 2 ? b 2 , b 2 ? c 2 , c 2 ? a 2 .

由余弦定理, co s ? B A C ?
a
2 2 2

?

a ?b
2

2

? ?
2

?

a ?c
2 2

2

? ?
2

?

b ?c
2 2

2

?

2

2 a ?b ?
2

a ?c
2

?

a ?b ?
1 2
2 2

a ?c
2

,所以, sin ? B A C ?
2

a b ?b c ?c a
2 2 2 2 2

2

?a
2

2

?b

2

??a
2

2

?c
2

2

?
2 2 2 2 2

则 S ?ABC ?

A B ? A C sin ? B A C =

1 2

a ?b ?
2

a ?c ?
2

a b ?b c ?c a

?a

2

?b

2

??a

2

?c

2

?
1 2 ac ,

=

a b ?b c ?c a
2 2 2

2

2
S ?SC B ? 1 2

,则 S ? A B C ?
2
2

a b ?b c ?c a
2 2 2 2 2

2

4
2 2 2

又 S ?SAB ?

1 2

a b , S ?SAC ?

cb ,所以, S ? S A B ? S ? S B C ? S ? S C A = S ? A B C 成立。

21. 解: (1) y ? b ? 2 代入 y ? ∴ G 点的坐标为 (4, b ? 2) . 对y?
1 8 x ? b 求导,得 y ' ?
2

1 8

x ? b ,解得 x ? ? 4 ,
2

1 4

x , y ' |x ? 4 ? 1 ,

过点 G 的切线方程为 y ? ( b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 . 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F1 点的坐标为 ( 2 ? b , 0) . 由椭圆方程得 F1 点的坐标为 ( b , 0) ,
? 2 ? b ? b ,解得 b ? 1 ,

即椭圆和抛物线的方程分别为

x

2

? y ?1和y ?
2

1 8

x ?1.
2

2

(2)∵ 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P , ∴ 以 ? P A B 为直角的 R t ? A B P 只有一个. 同理,以 ? P B A 为直角的 R t ? A B P 只有一个. 若以 ? A P B 为直角,设 P 点坐标为 ( x , x 2 ? 1) ,
8 1

又 A 、 B 两点的坐标分别为 ( ? 2 , 0 ) 和 ( 2 , 0) ,
??? ??? ? ? 1 2 1 4 5 2 2 2 P A ?P B ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? x ? x ?1? 0 . 8 64 4

关于 x 2 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ? A P B 为直角的 R t ? A B P 有两个. 因此抛物线上存在四个点使得 ? A B P 为直角三角形.

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