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【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.4 Word版含解析


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选修 1-1

第三章

3.4

一、选择题 1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的 行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 导学号 92600741 ( )

[答案] A [解析] 加速过程,路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸;减速过程,路程对时间的 导数逐渐变小,图象上凸,故选 A. 2.(2016· 广东东莞高二检测)若商品的年利润 y(万元)与年产 x(百万件)的函数关系式 y =-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为 导学号 92600742 ( A.1 百万件 C.3 百万件 [答案] C [解析] 依题意得,y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当 0<x<3 时,y′>0;当 x>3 时, y′<0.因此,当 x=3 时,该商品的年利润最大. 60-x 3.某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2· ( )(0<x<60),则当箱子的容积最 2 大时,箱子底面边长为 导学号 92600743 ( A.30 C.50 [答案] B x3 3 [解析] V′(x)=(30x2- )′=60x- x2,x∈(0,60).令 V′(x)=0,得 x=40. 2 2 ∴当 x=40 时,箱子的容积有最大值. 4.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为 48 m3,高为 3 m,如果箱底每 1 ) B.40 D.35 B.2 百万件 D.4 百万件 )

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m2 的造价为 15 元,箱壁每 1 m2 的造价为 12 元,则箱子的最低总造价为 导学号 92600744 ( ) A.900 元 C.818 元 [答案] D [解析] 设箱底一边的长度为 x m,箱子的总造价为 l 元,根据题意得箱底面积为 16(m2), 箱底另一边的长度为 48 = 3 B.840 元 D.816 元

16? 16 16 m, 则 l=16×15+(2×3x+2×3× )×12=240+72? ?x+ x ?, x x

16 1- 2 ?.令 l′=0, l′=72? 解得 x=4 或 x=-4(舍去). 当 0<x<4 时, l′<0; 当 x>4 时, l′>0. ? x? 故当 x=4 时,l 有最小值 816.因此,当箱底是边长为 4 m 的正方形时,箱子的总造价最低, 最低总造价是 816 元. 5.某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y1=17x2(x>0);生产成本 y2(万元) 是产量 x(千台)的函数: y2=2x3-x2(x>0), 为使利润最大, 则应生产 导学号 92600745 ( A.6 千台 C.8 千台 [答案] A [解析] 设利润为 y(万元),则 y=y1-y2=17x2-2x3+x2=18x2-2x3(x>0), y′=36x-6x2, 令 y′>0,得 0<x<6,令 y′<0,得 x>6, ∴当 x=6 时,y 取最大值,故为使利润最大,则应生产 6 千台. 6 .设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ,则其表面积最小时,底面边长为 导学号 92600746 ( 3 A. V 3 C. 4V [答案] C [解析] 如图,设底面边长为 x(x>0), ) 3 B . 2V 3 D.2 V B.7 千台 D.9 千台 )

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则底面积 S=

3 2 V 4V x ,∴h= = . 4 S 3x2

4V 3 4 3V 3 S 表=x· 2×3+ x2×2= + x2, 4 x 2 3x 4 3V 3 S′表= 3x- 2 ,令 S′表=0 得 x= 4V, x 3 因为 S 表只有一个极值,故 x= 4V为最小值点. 二、填空题 7.(2016· 山东淄博月考)某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x= ________吨. 导学号 92600747 [答案] 20 [解析] 设该公司一年内总共购买 n 次货物, 400 则 n= , x 1 600 ∴总运费与总存储费之和 f(x)=4n+4x= +4x, x 1 600 令 f′(x)=4- 2 =0,解得 x=20,x=-20(舍), x x=20 是函数 f(x)的最小值点,故 x=20 时, f(x)最小. 8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π,且用料最小,则圆柱的底面半径 为________. 导学号 92600748 [答案] 3 27 [解析] 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 V=πR2L=27π,∴L= 2 ,要使用料 R 54π 最省,只需使圆柱形表面积最小,∴S 表=πR2+2πRL=πR2+ , R 54π ∴S′(R)=2πR- 2 =0,令 S′=0 得 R=3, R ∴当 R=3 时,S 表最小. 9.用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2?1,

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该长方体的最大体积是________. 导学号 92600749 [答案] 3 m3 9 9 3 -3x? [解析] 设长方体的宽为 x,则长为 2x,高为 -3x (0<x< ),故体积为 V=2x2? 2 ? ? 2 2 =-6x3+9x2, V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1, 3 ∵0<x< ,∴x=1. 2 ∴该长方体的长、宽、高各为 2 m、1 m、1.5 m 时,体积最大,最大体积 Vmax=3 m3. 三、解答题 10. 用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱, 先在四角分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转 90° 角,再焊接成水箱.问:水箱底边的长取多少时,水箱容积最大?最大 容积是多少? 导学号 92600750 [解析] 设水箱底边长为 x cm, x 则水箱高为 h=60- (cm). 2 x3 水箱容积 V=V(x)=60x2- (0<x<120)(cm3). 2 3 V′(x)=120x- x2. 2 令 V′(x)=0 得,x=0(舍)或 x=80. 当 x 在(0,120)内变化时,导数 V′(x)的正负如下表: x V′(x) (0,80) + 80 0 (80,120) -

因此在 x=80 处,函数 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是函数 V(x)的最大值. 将 x=80 代入 V(x),得最大容积 803 V=802×60- =128 000(cm3). 2 答:水箱底边长取 80 cm 时,容积最大,最大容积为 128 000 cm3.

一、选择题 1.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100

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x3 元, 若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系是 R(x)=- +400x,0≤x≤390, 则当总利润 900 最大时,每年生产的产品单位数是 导学号 92600751 ( A.150 C.250 [答案] D x3 [解析] 由题意可得总利润 P(x)=- +300x-20 000,0≤x≤390.由 P′(x)=0,得 x 900 =300. 当 0≤x≤300 时,p′(x)>0;当 300<x≤390 时,P′(x)<0,所以当 x=300 时,P(x)最 大,故选 D. 2.三棱锥 O-ABC 中,OA、OB、OC 两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且 x+y =3,则三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 导学号 92600752 ( A.4 4 C. 3 [答案] C
2 2 3 1 2x2 x2y x ?3-x? 3x -x [解析] V= × · y= = = (0<x<3), 3 2 3 3 3

)

B.200 D.300

)

B .8 8 D. 3

6x-3x2 V′= =2x-x2=x(2-x). 3 令 V′=0,得 x=2 或 x=0(舍去). 4 ∴x=2 时,V 最大为 . 3 3.某工厂需要建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使 砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为 导学号 92600753 ( A.16 m,16 m C.32 m,8 m [答案] B [解析] 如图所示,设场地一边长为 x m, 512 则另一边长为 m. x 512 512 因此新墙总长度 L=2x+ (x>0),L′=2- 2 . x x
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)

B.32 m,16 m D.16 m,8 m

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令 L′=0,得 x=16 或 x=-16(舍去). ∵L 在(0,+∞)上只有一个极值点, ∴x=16 必是最小值点. 512 ∵x=16,∴ =32. x 故当堆料场的宽为 16 m,长为 32 m 时,可使砌墙所用的材料最省. 4. (2016· 山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中, 交通状况逐渐受到大家更多的关注, 据有关统计数据显示,从上午 6 时到 9 时,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进 1 3 629 行该路段的时刻 t 之间关系可近似地用如下函数给出:y=- t3- t2+36t- .则在这段时 8 4 4 间内通过该路段用时最多的时刻是 导学号 92600754 ( A.6 时 C.8 时 [答案] C 3 3 3 [解析] y′=- t2- t+36=- (t+12)(t-8),令 y′=0 得 t=-12(舍去)或 t=8.当 8 2 8 6≤t<8 时,y′>0;当 8<t≤9 时,y′<0,∴当 t=8 时,y 有最大值. 二、填空题 5. 做一个容积为 256 的方底无盖水箱, 它的高为________时最省料. 导学号 92600755 [答案] 4 256×4 256 256 [解析] 设底面边长为 x,则高为 h= 2 ,其表面积为 S=x2+4× 2 ×x=x2+ , x x x 256×4 256 S′=2x- ,令 S′=0,则 x=8,则当高 h= =4 时 S 取得最小值. 2 x 64 6.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件, 要使利润最大每件定价为________元. 导学号 92600756 [答案] 85 [解析] 设每件商品定价 x 元,依题意可得 利润为 L=x(200-x)-30x=-x2+170x(0<x<200). B .7 时 D.9 时 )

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170 L′=-2x+170,令-2x+170=0,解得 x= =85. 2 因为在(0,200)内 L 只有一个极值,所以以每件 85 元出售时利润最大. 三、解答题 7.某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为 2 500 元,已知每生产 x 件这样的产品需 1 要再增加可变成本 C(x)=200x+ x3(元),若生产出的产品都能以每件 500 元售出,要使利 36 润最大,该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少? 导学号 92600757 [解析] 设该厂生产 x 件这种产品利润为 L(x) 则 L(x)=500x-2 500-C(x) 1 200x+ x3? =500x-2 500-? 36 ? ? 1 =300x- x3-2 500(x∈N) 36 1 令 L′(x)=300- x2=0,得 x=60(件) 12 又当 0≤x<60 时,L′(x)>0 x>60 时,L′(x)<0 所以 x=60 是 L(x)的极大值点,也是最大值点. 所以当 x=60 时,L(x)=9 500 元. 答:要使利润最大,该厂应生产 60 件这种产品,最大利润为 9 500 元. 8. (2016· 广东佛山检测)如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长轴长为 2,短半轴长为 1, 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状, 下底 AB 是半椭圆的短轴, 上底 CD 的端点在椭圆上, 记|CD|=2x,梯形的面积为 S.

(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数解析式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值. 导学号 92600758 [解析] (1)依题意,建立以 AB 的中点 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴的平面直角坐 y2 标系,如图所示,则点 C(x,y)满足方程 x2+ =1,且 x>0,y>0, 4

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∴y=2 1-x2(0<x<1). 1 ∴S= (2x+2)· 2 1-x2=2(x+1) 1-x2(0<x<1). 2 (2)令 f(x)=S2=4(x+1)2(1-x2)(0<x<1), 则 f′(x)=8(x+1)2(1-2x). 1 令 f′(x)=0,解得 x= 或 x=-1(舍去). 2 1 当 0<x< 时, f′(x)>0, f(x)为增函数; 2 1 当 <x<1 时,f′(x)<0, f(x)为减函数. 2 1 1 27 3 3 ∴f( )是 f(x)在区间(0,1)上的极大值,也是最大值,且 f( )= ,此时 S= . 2 2 4 2 1 3 3 故当 x= 时,S 取得最大值 . 2 2

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