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天津市河西区2015届高三下学期总复习质量调查(一)数学(文) Word版含答案]


天津市河西区 2015 届高三下学期总复习质量调查(一)数学(文)试题

第Ⅰ卷
注 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为 R ,集合 A ? x x ? 3 , B ? x ? 1 ? x ? 5 ,则 A (A)

?

?

?

?

? ?3, ?1?

(B)

? ?3, ?1?

(C)

? ?3, 0 ?

? CR B ? ? (D) ? ?3,3?

(2)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则“ 0 ? q ? 1 ”是“ ?an ? 为递减数列”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

-1-

(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 则输出的 K 和 S 值分别为

开始

5 11 6 7 (C) 13 , (D) 15 , 13 15 (4)设 a ? log 3 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ?3 ,
(A) 9 , (B) 11 ,
3

4 9

S ?0

K ?1



K ? 10?


则 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) a ? c ? b (D) c ? b ? a (5)已知双曲线 C :

S?S?

1 K ( K ? 2)

输出 K,S

结束

K ? K ?2

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 a 2 b2 10 ,点 P(1, 2) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为
(A)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ?1 20 5 5 20

(C )

x2 y 2 ? ?1 80 20

(D)

x2 y 2 ? ?1 20 80

(6)若将函数 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 ? 的最小正值是 (A)

?
8

(B)

?
4

(C)

3? 8

(D)

3? 4

(7)若 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则下列不等式中 ① ab ? 1 ;② a ? b ?

1 1 2 ;③ a 2 ? b 2 ? 2 ;④ ? ? 2 . a b

对一切满足条件的 a , b 恒成立的序号是 (A)①② (B)①③ (C)①③④ (D)②③④

(8)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD , CA ? ? CE ,若 AD ? BE ? ? 的值为 (A)

1 ,则 ? 4

1 2

(B) 2

(C)

1 3

(D) 3

数 学 试 卷(文史类)
第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 40 名,高二年

-2-

级有 50 名现用分层抽样的方法在这 90 名学生中抽取一个样本, 已知在高一年级的学生中抽取 了 8 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 (10) i 是虚数单位,复数 . .

1 ? 3i ? 1? i

(11)一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积 为 12? ?

8 5 ,则正视图与侧视图中 x 的值为 3

. .

(12)函数 f ? x ? ? ln x 2 ? 2 x 的单调递减区间为 (13)过圆外一点 P 作圆的切线 PA ( A 为切点), 再作割线 PBC 依次交圆于 B , C .若 PA ? 6 ,

?

?

AB ? 4 , BC ? 9 ,则 AC ?

.

(14)已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

f ? x? ?


1 x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 .若 ?x ? R , f ? x ? 1? ? f ? x ? ,则实数 a 的取值范围 2
.

?

?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 某校书法兴趣组有 3 名男同学 A , B ,C 和 3 名女同学 X ,Y , Z ,其年级情况如下表: 一年级 男同学 女同学 二年级 三年级

A X

B Y

C
Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加书法比赛(每人被选到的可能性相同). (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果; (Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且性别相同”,求事件 M 发生的概率.

(16) (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对边的长分别是 a , b , c ,且 b ? 3 , c ? 1 , A ? 2 B . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ?

? ?

??

? 的值. 4?

-3-

(17) (本小题满分 13 分) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105 , 使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙) , 设点 E , F AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,

分别为棱 AC , AD 的中点. (Ⅰ)证明 DC ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 B ? EF ? A 的余弦值. (18) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : 构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的左焦点, T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与长轴的一个端点 a 2 b2

C 于点 P , Q .证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点).

(19) (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,前 n 项和为 S n ,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ? ?1?
n ?1

4n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1

-4-

(20) (本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? ln x .
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ?

1 2 时,证明:方程 f ( x) ? f ( ) 在区间(2, ?? )上有唯一解; 8 3

(Ⅲ)若存在均属于区间[1,3]的 ? , ? 且 ? ? ? ? 1 ,使 f (? ) = f ( ? ) , 证明:

ln 3 ? ln 2 ln 2 . ?a? 5 3
(2) D (6) C (3) B (7) C (4)C (8)D

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. (1) A (5) B

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 30 分. (9) 10 (12) ? ??, 0 ? (10) ?1 ? 2i (11) 3 (14) ? ?

(13) 8

? ?

6 6? , ? 6 6 ?

(16) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 A ? 2 B ,所以 sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ,????1 分

a 2 ? c2 ? b2 sin A 由余弦定理得 cos B ? , ? 2ac 2sin B
所以由正弦定理可得 a ? 2b ?

????3 分

a 2 ? c2 ? b2 . 2ac

????5 分

因为 b ? 3 , c ? 1 ,所以 a 2 ? 12 ,即 a ? 2 3 .

????6 分

-5-

(Ⅱ)解:由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 1 ? 12 1 ? ? ? .????8 分 2bc 6 3
2

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ?

1 2 2 . ? 9 3

????10 分

故 sin ? A ?

? ?

??

? ? sin A cos ? cos A sin 4 4 4?
????13 分

?

?

?

2 2 2 ? 1? 2 4? 2 . ? ? ? ? ?? ? 6 3 2 ? 3? 2

(17) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:在图甲中由 AB ? BD 且 ?A ? 45 得 ?ADB ? 45 , ?ABC ? 90 即 AB ? BD 在图乙中,因为平面 ABD ? 平面 BDC ,且平面 ABD 所以 AB ⊥底面 BDC ,所以 AB ⊥ CD . 又 ?DCB ? 90 ,得 DC ⊥ BC ,且 AB 平面 BDC = BD ????2 分 ????3 分 ????4 分

BC ? B

所以 DC ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法 1:由 E 、 F 分别为 AC 、 AD 的中点 得 EF // CD ,又由(Ⅰ)知, DC ? 平面 ABC , 所以 EF ⊥平面 ABC ,垂足为点 E 则 ?FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角

????6 分

在图甲中,由 ?ADC ? 105 , 得 ?BDC ? 60 , ?DBC ? 30 设 CD ? a 则 BD ? 2a , BC ? 3a , BF ?

1 1 2 BD ? 2 2a , EF ? CD ? a ????8 分 2 2

1 a EF 2 2 ? ? 所以在 Rt ?FEB 中, sin ?FBE ? FB 4 2a
即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为

2 . 4

????9 分

解法 2:如图,以 B 为坐标原点, BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示, 设 CD ? a ,则 BD ? AB ? 2a, BC ? 3a , AD ? 2 2a ????6 分

可得 B (0, 0, 0) , D (2a, 0, 0) , A(0, 0, 2a ) , C ( a,

3 2

3 a, 0) , F (a, 0, a ) , 2
F E

Z A

-6-

X

B D

所以 CD ? ( a, ?

1 2

3 a, 0) , BF ? (a, 0, a) ????8 分 2

设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ? 由(Ⅰ)知 DC ? 平面 ABC

1 2 a 2 CD ? BF 所以 cos( ? ? ) ? ? 2 ? 2 4 | CD | ? | BF | a ? 2a

?

即 sin ? ?

2 4

????9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 EF ⊥平面 ABC , 又因为 BE ? 平面 ABC , AE ? 平面 ABC ,所以 FE ⊥ BE , FE ⊥ AE , 所以 ?AEB 为二面角 B ? EF ? A 的平面角 ????11 分 在 ?AEB 中, AE ? BE ?

1 7 1 AB 2 ? BC 2 ? a AC ? 2 2 2

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 所以 cos ?AEB ? ?? 2 AE ? BE 7
即所求二面角 B ? EF ? A 的余弦为 ? (18) (本小题满分 13 分)

1 . 7

????13 分

? a 2 ? b 2 ? 2b ? (Ⅰ )解:由已知可得 ? , 2 2 2 c ? 2 a ? b ? 4 ? ?
解得 a 2 ? 6 , b 2 ? 2 ,

????2 分

????4 分

x2 y 2 所以椭圆 C 的标准方程是 ? ? 1 . ????6 分 6 2
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ )可得, F 的坐标是 ? ?2, 0 ? ,设 T 点的坐标为 ? ?3, m ? , 则直线 TF 的斜率 kTF ?

m?0 ? ?m . ?3 ? (?2)
1 .直线 PQ 的方程是 x ? my ? 2 . m

当 m ? 0 时,直线 PQ 的斜率 k PQ ?

当 m ? 0 时,直线 PQ 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式.????8 分 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,

-7-

消去 x ,得 m 2 ? 3 y 2 ? 4my ? 2 ? 0 , 其判别式 ? ? 16m 2 ? 8 m 2 ? 3 ? 0 . 所以 y1 ? y2 ?

?

?

?

?

4m ?2 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3 ?12 x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 2 . m ?3

????10 分

设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 ? 所以直线 OM 的斜率 kOM ? ?

2m ? ? ?6 , 2 ?. 2 ? m ?3 m ?3?

m m ,又直线 OT 的斜率 kOT ? ? ,????12 分 3 3
????13 分

所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ . (19) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 S1 ? a1 , S 2 ? 2a1 ?
2

2 ?1 4?3 ? 2 ? 2a1 ? 2 , S 4 ? 4a1 ? ? 2 ? 4a1 ? 12 , 2 2

由题意得 ? 2a1 ? 2 ? ? a1 ? 4a1 ? 12 ? ,解得 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1 . ????6 分 (Ⅱ)解:由题意可知,

bn ? ? ?1?

n ?1

4n 4n 1 1 ? n ?1 n ?1 ? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ? .??8 分 an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

当 n 为偶数时,

? 1? ?1 1? Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ?3 5?
? 1? 1 2n . ? 2n ? 1 2n ? 1

1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ?? ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
????11 分

当 n 为奇数时,

? 1? ?1 1? Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ?3 5?
? 1? 1 2n ? 2 . ? 2n ? 1 2n ? 1

1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ?? ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
????14 分

? 2n ? 2 , n为奇数 ? 2n ? 1 ? (?1) n ?1 ? 2n ? 1 所以 Tn ? ? .(或 Tn ? ) 2 n 2 n ? 1 ? , n为偶数 ? 2n ? 1 ?
(20) (本小题满分 14 分)

-8-

2 (Ⅰ)解:函数 f ( x) 的定义域 (0, ??) , f ?( x) ? 2ax ? 1 ? 2ax ? 1 x x

????2 分

2a ,令 f ?( x) ? 0 得: 0 ? x ? 2a ????4 分 2a 2a 2a 2a ∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) ,单调递增区间为 ( , ??) ????5 分 2a 2a

a ? 0 令 f ?( x) ? 0 得: x ?

(注:检验 g ( x) 的函数值异号的点选取并不唯一) (Ⅲ)证明:由 f (? ) ? f ( ? ) 及(Ⅰ)的结论知 ? ? 从而 f ( x) 在 [? , ? ] 上的最大值为 f (? ) (或 f ( ? ) ) , 又由 ? ? ? ? 1 , ? , ? ? [1,3] ,知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 .

2a ??, 2a

????10 分 ????11 分 ????12 分 ????13 分 ????14 分

? f (1) ? f (? ) ? f (2) ?a ? 4a ? ln 2 ,即 ? . ? f (3) ? f ( ? ) ? f (2) ?9a ? ln 3 ? 4a ? ln 2 ln 3 ? ln 2 ln 2 从而 . ?a? 5 3
故?

-9-

- 10 -


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