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2014届武昌区高三元月调考数学文文科试卷及答案(清晰扫描)


武昌区 2014 届高三年级元月调研考试 文科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题: 1.D 2.C 二、填空题: 11.72 14.4 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C 8.A 9.A 10.C

12. (Ⅰ ) 15.②③

6 1 6 1 ? ; ? . (Ⅱ ) 36 6 36 6

13. 5x ? 12y ? 15 ? 0 或 x ? ?3

16. (Ⅰ)16; (Ⅱ) 1 ?

n?n ? 1? 2

17.

8 27

三、解答题: 18.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d ,因为 a3 ? S 6 ? 0 ,

?a1 ? 2d ? 0, ? 所以 ? 解得 a1 ? ?4 , d ? 2 . 6?5 6a1 ? d ? 6. ? 2 ?
所以 an ? ?4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 6 .…………………………………………(6 分) (Ⅱ)因为 bn ? ( 2 ) 所以数列 {bn } 是以
an

? 2 n ?3 ?

1 ? 2 n ?1 , 4

1 为首项,2 为公比的等比数列. 4

1 ? (1 ? 2 n ) b1 (1 ? q ) 4 2n ?1 ? ? 所以 S n ? .……………………………………(12 分) 1? q 1? 2 4
n

19.解: (Ⅰ )因为 b ? ac ,由正弦定理得 sin B ? sin A sin C .
2 2

又 sin A sin C ? 因为 0 ? B ?

3 3 3 2 ,所以 sin B ? .因为 sin B ? 0 ,所以 sin B ? . 4 4 2
,所以 B ?

?
2

?
3

. …………………………………………(5 分)

(Ⅱ )因为 B ?

?
3

x ? s i nx( ? , 所 以 f ( x) ? s i nx(? B) ? s i n

?
3

)?si n x

? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

? sin x ?

? 3 3 sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) . 6 2 2

? 0 ? x ? ? ,? ?
当 x?

?
6

? x?

?
6

?

5? . 6

?
6

??

?
6

, 即 x ? 0 时 , f ( x) m i n?

1 3 ; 3 ? (? ) ? ? 2 2

当 x?

?
6

?

?
2

,即 x?

2? 时 , f ( x) m a x? 3 ?1 ? 3 . 3

所以,函数 f ( x) 的最大值为 3 ,最小值为 ?

3 .…………………………(12 分) 2

? 20.解: (Ⅰ )? ?VAB ? ?VAC ? 90 ,?VA ? AB , VA ? AC .

? VA ? 平面 ABC.? VA ? BC . ? ?ABC ? 90? ,? AB ? BC . ? BC ? 平面 VBA . 又 BC ? 平面 VBC ,? 平面 VBA ? 平面 VBC .…………………………………………(6 分) V
(Ⅱ )如图,过点 E 作 EF ? AC 于点 F,连 BF,则 EF // VA . VA ? 平面 ABC,? EF ? 平面 ABC. ? ? ?EBF 为 BE 与平面 ABC 所成的角. B ? 点 E 为 VC 的中点,? 点 F 为 AC 的中点.

E

? BF ?

C EF VA F ? ? 3 ,得 ?EBF ? 60? . 在 Rt?EFB 中,由 tan ?EBF ? BF AC 所以,直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60 .………………………………(13 分) 21.解: (Ⅰ)当 b ? 1 时, f ( x) ? a ln x ?
?

1 1 AC , EF ? VA . 2 2

A

1 a 1 ax ? 1 . ,定义域为 (0, ??) . f ?( x) ? ? 2 ? x x x x2

若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,所以,函数 f ( x ) 在 (0,??) 上单调递减;

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 . a a 1 1 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ,?? ) ,单调递减区间为 (0, ) .………(6 分) a a
若 a ? 0 ,则当 x ? (Ⅱ)当 b ? a 2 时, f ( x) ? a ln x ?

a( x ? a) a2 .令 f '( x) ? 0 ,得 x ? a . , f ?( x) ? x2 x

若在区间 (0, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,则 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值小于 0. (1)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,所以, f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递减, 故 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? a ln e ?

a2 a2 . ?a? e e

由a ?

a2 ? 0 ,得 a ? ?e .所以 ? e ? a ? 0 . e

(2)当 a ? 0 时,①若 a ? e ,则 f ?( x) ? 0 对 x ? (0, e] 成立, f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递减,

所以, f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? a ln e ?

a2 a2 ?a? ? 0 ,不合题意. e e

②若 0 ? a ? e ,当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x)

(0, a )

a
0
极小值

( a , e)

?
单调递减

?
单调递增

f ( x)

所以 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (a) ? a ln a ? 由 f (a) ? a(ln a ? 1) ? 0 ,得 ln a ? 1 ? 0 ,解得 a ?

a2 ? a(ln a ? 1) . a
1 1 .所以 0 ? a ? . e e

综上可知,实数 a 的取值范围.为 ( ?e,0) ? (0, ) . ………………………(14 分)

1 e

22.解: (Ⅰ)设 F (c,0) ,则

c 2 ,知 a ? 2c . ? a 2

过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? c ,代入椭圆方程,有

( ?c ) 2 y 2 2 ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? b. 2 2 a b
又 a ? c ? b ,从而 a ?
2 2 2

于是 2b ?

2 ,解得 b ? 1 .

2, c ? 1 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………(4 分) 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .由题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 .

? y ? kx ? 2, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 并整理,得 ? 2k ? 1? x ? 8kx ? 6 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?2
2 2 由 ? ? (8k ) ? 24(2k ? 1) ? 0 ,得 k ?
2

3 8k 6 , x1 x 2 ? 2 .且 x1 ? x 2 ? ? . 2 2 2k ? 1 2k ? 1
, AB ?

? 点 O 到直线 AB 的距离为 d ?
? S ?AOB ?

2 1? k
2

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? , ?

1 8(2k 2 ? 3) | AB | d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? . 2 (2k 2 ? 1) 2

2 设 t ? 2k ? 3 ,由 k ?

2

3 ,知 t ? 0 .于是 S ?AOB ? 2

8t ? (t ? 4) 2

8 . 16 t ? ?8 t

由t ?

16 7 2 2 ? 8 ,得 S ?AOB ? .当且仅当 t ? 4, k ? 时成立. t 2 2

所以△ AO B 面积的最大值为

2 .…………………………………………(9 分) 2

(Ⅲ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQN 的垂心. 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 N (0,1) , F (1,0) ,所以 k NF ? ?1. 由 NF ? PQ ,知 k PQ ? 1 .设直线 l 的方程为 y ? x ? m , 由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 ? x ? 2 y ? 2,
4m 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? . 3 3

2 由 ? ? 0 ,得 m ? 3 ,且 x1 ? x 2 ? ?

由题意,有 NP ? FQ ? 0 .因为 NP ? ( x1 , y1 ? 1), FQ ? ( x2 ? 1, y2 ) , 所以 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,即 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)(x1 ? m ? 1) ? 0 , 所以 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 于是 2 ?

4 2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 .解得 m ? ? 或 m ? 1 . 3 3 3

经检验,当 m ? 1 时,△ PQN 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .……………(14 分) 3 3


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