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2015-2017三年文科立体几何高考题汇编


2015-2017 全国高考文科立体几何题汇编
2017(二)6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面 将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A.90 ? B.63 ? C.42 ? D.36 ?

2017(二)18.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= BAD=∠ABC=90°。(1)证明:直线 BC∥平面 PAD; (1) 若△PAD 面积为 2 7 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积。

1 AD, ∠ 2

2017(一)6.如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这 四个正方体中,直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是

A.

B.

C.

D.

2017(一)18.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 ?BAP ? ?CDP ? 90? .

(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ?APD ? 90? ,且四棱锥 P-ABCD 的体积为

8 ,求该四棱锥的侧面积. 3

2017(三)9.已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( )A. π B.

3π 4

C.

π 2

D.

π 4

1

2017(三)19. (12 分)如图,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD=CD.

(1)证明:AC⊥BD; (2)已知△ACD 是直角三角形,AB=BD.若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点,且 AE⊥EC,求四面体 ABCE 与 四面体 ACDE 的体积比. 2017(天津)(11)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18,则这个球的体 积为 . 2017(天津)(17) (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PDC , AD∥BC , PD ? PB , AD ? 1 , BC ? 3 , CD ? 4 ,

PD ? 2 .
(I)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值; (II)求证: PD ? 平面 PBC ; (II)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

2017(北京)(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

(A)60

(B)30(C)20

(D)10

2017(北京)(18)(本小题 14 分) 如图,在三棱锥 P–ABC 中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点,E 为线段 PC 上一点.
2

(Ⅰ)求证:PA⊥BD;(Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 PAC; (Ⅲ)当 PA∥平面 BDE 时,求三棱锥 E–BCD 的体积. 2016(二)(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 A)20π(B)24π(C)28π(D)32π 2016(二)(7)(19) (本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别在 AD, CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H,将 ? DEF 沿 EF 折到 ? D ' EF 的位置. (I)证明: AC ? HD ' ; (II)(II)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D '? ABCEF 体积. 4

2016(三)(10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 表面积为 (A) 18 ? 36 5 (B) 54 ? 18 5 (C)90(D)81 2016(三)(19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点, AM=2MD,N 为 PC 的中点. (I)证明 MN∥平面 PAB;(II)求四面体 N-BCM 的体积. 2016(一)( (18) (本小题满分 12 分)如图,已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在 平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连结 PE 并延长交 AB 于点 G. (I)证明:G 是 AB 的中点; (II)(II)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由) ,并求四面体 PDEF 的体积.

3

2016(天津) (3)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如 图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

2016(天津)(17)(本小题满分 13 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF||AB, AB=2,BC=EF=1,AE= 6 ,DE=3,∠BAD=60?,G 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:FG||平面 BED;(Ⅱ)求证:平面 BED⊥平面 AED;(Ⅲ)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 2015(二)6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为 A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5


2015(陕西)5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4

2015(陕西)18.如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ?

1 AD ? a , E 是 AD 2

的中点, O 是 OC 与 BE 的交点,将 ?ABE 沿 BE 折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱锥 A1 ? BCDE . (I)证明:CD ? 平面 AOC ;(II)当平面 A1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的 1 值.
4

2017(二)6.【解析】由题意,该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱,故其体积 为V ?

1 ? ? ? 32 ? 6 ? ? ? 32 ? 4 ? 63? ,故选 B. 2

2017(二)18

所以四棱锥 P-ABCD 的体积

.

2017(一)6.【答案】A【解析】试题分析:由 B,AB∥MQ,则直线 AB∥平面 MNQ;由 C,AB∥MQ,则直 线 AB∥平面 MNQ;由 D,AB∥NQ,则直线 AB∥平面 MNQ.故 A 不满足,选 A. 2017(一)18【答案】 (1)证明见解析; (2) 6 ? 2 3 .

5

2017(三)9【答案】B【解析】如果,画出圆柱的轴截面,

? 3? 3 1 3 V ? ? r h ? ? ?? ? 1 ? ? ? AC ? 1, AB ? r ? BC ? ? 2 ? 4 ? ? 2 ,所以 2 ,那么圆柱的体积是
2

2

2017(三)19.【答案】(1)详见解析;(2)1 【解析】试题分析: (1)取 AC 中点 O ,由等腰三角形及等比三角形性质得 AC ? OD , AC ? OB ,再根 据线面垂直判定定理得 AC ? 平面 OBD ,即得 AC⊥BD; (2)先由 AE⊥EC,结合平几知识确定 AE ? EC , 再根据锥体体积公式得,两者体积比为 1:1.



AE ? EC ? 2





?ABD







DE ? x















AD2 ? BD2 ? AB2 AD2 ? DE 2 ? AE 2 cos?ADB ? ? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? (2 2 ) 2 2 2 ? x 2 ? 2 2 2 AD ? BD 2 AD ? DE ? ? 2? 2? x 2? 2? 2 2
解得 x ? 2 ,∴点 E 是 BD 的中点,则 VD? ACE ? VB? ACE ,∴ 2017( 天 津 ) 【 答 案 】

VD? ACE ? 1. VB? ACE

9? 【 解 析 】 设 正 方 体 边 长 为 , 则 6a2 ? 18 ? a2 ? 3 , 外 接 球 直 径 为 2

6

2 R ? 3a ? 3, V ?

4 3 4 27 9 πR ? π ? ? π. 3 3 8 2

2017(天津)(17) 【答案】(1)

5 5 (2) 5 5

(Ⅲ)过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连结 PF,则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的 角.因为 PD⊥平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影,所以 ?DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角. 由于 AD//BC,DF//AB,故 BF=AD=1,由已知,得 CF=BC–BF=2.又 AD⊥DC,故 BC⊥DC,在 Rt△DCF 中,可 得 sin ?DFP ?
PD 5 5 ? .所以,直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 . DF 5 5

2017(北京)(6【答案】D

2017(北京)(18)【答案】详见解析

7

(II)因为 AB ? BC , D 为 AC 中点,所以 BD ? AC ,由(I)知, PA ? BD ,所以 BD ? 平面 PAC , 所以平面 BDE ? 平面 PAC .(III)因为 PA∥ 平面 BDE ,平面 PAC ? 平面 BDE ? DE ,所以 PA∥DE . 因为 D 为 AC 的中点,所以 DE ?

1 PA ? 1 , BD ? DC ? 2 . 2 1 1 BD ? DC ? DE ? . 6 3

由(I)知, PA ? 平面 PAC ,所以 DE ? 平面 PAC .所以三棱锥 E ? BCD 的体积 V ? 2016(二)(7) 【答案】C 2016(二) (19) (本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ) 详见解析; (Ⅱ)

69 . 【解析】 . 试题分析: (Ⅰ) 证 AC / / EF . 再证 AC / / HD?(Ⅱ) 证明 OD? ? OH . 4

再证 OD? ? 平面 ABC. 最后呢五棱锥 D '? ABCEF 体积.试题解析: (I)由已知得, AC ? BD, AD ? CD. 又

AE CF ? ,故 AC / / EF . 由此得 EF ? HD, EF ? HD? ,所以 AC / / HD?. . AD CD OH AE 1 ? ? . 由 AB ? 5, AC ? 6 得 DO ? BO ? AB2 ? AO2 ? 4. (II)由 EF / / AC 得 DO AD 4
由 AE ? CF 得 所以 OH ? 1, D?H ? DH ? 3. 于是 OD?2 ? OH 2 ? (2 2)2 ? 12 ? 9 ? D?H 2 , 故 OD? ? OH . 由(I)知 AC ? HD? ,又 AC ? BD, BD ? HD? ? H ,所以 AC ? 平面 BHD?, 于是 AC ? OD?. 又由 OD? ? OH , AC ? OH ? O ,所以, OD? ? 平面 ABC. 又由

EF DH 9 1 1 9 69 ? . 得 EF ? . 五边形 ABCFE 的面积 S ? ? 6 ? 8 ? ? ? 3 ? AC DO 2 2 2 2 4

所以五棱锥 D '? ABCEF 体积 V ? ?

1 69 23 2 ?2 2 ? . 3 4 2

2016(三)(10)B 2016(三)(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 AM ?

2 AD ? 2 ,取 BP 的中点 T ,连接 AT , TN ,由 N 为 PC 中点知 TN // BC , 3

TN ?

1 BC ? 2 . 2

......3 分又 AD // BC ,故 TN 平行且等于 AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,

于是 MN // AT .因为 AT ? 平面 PAB , MN ? 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB .
8

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , N 为 PC 的中点,所以 N 到平面 ABCD 的距离为 取 BC 的中点 E ,连结 AE .由 AB ? AC ? 3 得 AE ? BC , AE ? 由 AM ∥ BC 得 M 到 BC 的距离为 5 ,故 S ?BCM ? 所以四面体 N ? BCM 的体积 VN ? BCM

1 PA . 分 2

AB2 ? BE2 ? 5 .

1 ? 4? 5 ? 2 5 . 2 1 PA 4 5 . .....12 分 ? ? S ?BCM ? ? 3 2 3

2016(一)( (18) 【答案】 (I)见解析; (II)作图见解析,体积为 . 【解析】 试题分析: 证明 的平行线交 可得 于点 , 即为 由 在平面 可得 是 的中点. (II) 在平面 内, 过点 作 , 的体积

内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且 中,可得 四面体

在等腰直角三角形

2016(天津)3.【答案】B2016(天津)(17)【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)

5 6

(Ⅱ)证明:在

?ABD 中, 由余弦定理可 BD ? 3 , 进而可得 ?ADB ? 900 , 即 BD ? AD , AD ? 1, AB ? 2, ?BAD ? 60 , 又因为平面 AED ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD ; 平面 AED ? 平面 ABCD ? AD , 所以 BD ? 平面 AED . 又因为 BD ? 平面 BED ,所以平面 BED ? 平面 AED .
0

9

(Ⅲ)解:因为 EF // AB ,所以直线 EF 与平面 BED 所成角即为直线 AB 与平面 BED 所成角.过点 A 作

AH ? DE 于点 H ,连接 BH ,又因为平面 BED ? 平面 AED ? ED ,由(Ⅱ)知 AH ? 平面 BED ,所以
直线 AB 与平面 BED 所成角即为 ?ABH .在 ?ADE 中, AD ? 1, DE ? 3, AE ? 6 ,由余弦定理可得

cos ?ADE ?

2 5 5 ,所以 sin ?ADE ? ,因此 AH ? AD ? sin ?ADE ? ,在 Rt ?AHB 中, 3 3 3

sin ?ABH ?

AH 5 5 ,所以直线 AB 与平面 BED 所成角的正弦值为 . ? AB 6 6

考点:直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 2015(二)6 解析:还原三视图,如图所示,选 D.2015(陕西)5.【答案】 D 2015(陕西)18【答案】(I) 证明略,详见解析;(II) a ? 6 .

(II) 由 已 知 , 平 面

A1BE ? 平面 BCDE ,且平面 A1BE ? 平面 BCDE ? BE ,又由(I)知, AO ? BE ,所 1
以 AO 是四棱锥 A1 ? BCDE 的高,易求得平行四边形 BCDE 面积 ? 平面 BCDE ,即 AO 1 1

1 2 3 2 3 S ? BC ? AB ? a 2 ,从而四棱锥 A1 ? BCDE 的为 V ? ? S ? A1O ? a ,由 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 3 6 6

(II)由已知,平面 A1BE ? 平面 BCDE ,且平面 A1BE ? 平面 BCDE ? BE 又由(I)知, AO ? BE ,所以 1

? 是四棱锥 A1 ? BCDE 的高,由图 1 可知, AO AO ? 平面 BCDE ,即 AO 1 1 1

2 2 AB ? a ,平行四边形 2 2

1 1 2 2 3 BCDE 面积 S ? BC ? AB ? a 2 ,从而四棱锥 A1 ? BCDE 的为 V ? ? S ? AO ? ? a2 ? a? a ,由 1 3 3 2 6 2 3 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6

10


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