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江西省宜春市2013届高三4月模拟考试数学(理)试题 扫描版含答案


宜春市 2013 届高三模拟考试数学(理科)试题 参考及评分标准

一、选择题: CDCCA,BBBAD 二、填空题

2013 11. 1 或-3,12. 2014
三、解答题

, 13.

8 2 ? 3

x2 y2 ? ? 1 ,15.(1)2, ⑵ [5,??) ,14. 20 5
2? ? 4? 3 ,解得 ? ? , 3 2
……2 分

16. (本小题满分 12 分)解: (1)由题意知:

?

?

sin B ? sin C 2 - cos B - cos C ? sin A cos A

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A

? sin ( A ? B) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A ………………………………………………………4 分
? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2a …………………………………………………6 分
(2)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ ABC 为等边三角形

1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4 ? sin ? ?

……………………………8 分

5 3 3 ? 5 3 (OA2 ? OB 2 -2OA ? OB cos ? ) ? sin ? - 3 cos? ? ? 2sin (? - ) ? 4 4 3 4

?? ? (0,? ) ,?? 当且仅当 ? -

?

? 2? ?(- , ), 3 3 3
5? 5 3 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? ………………12 分 6 4
2

?
3

?

?
2

, ?? 即

( 5) 17.解:(1) 函数 f ? x ? ? x ??x ? 1 过 (0, ?1) 点,在区间 4, 上有且只有一个零点,

?16-4? -1<0 ? f (4)<0 15 24 即: ? ,解得: <? < 4 5 ?25-5? -1>0 ? f (5)>0 所以,? ? 4 …………3 分
则必有 ? 当 ? ? 4 时, P ? 1
2 1 1 C20 ? C10C15 68 , …………6 分 ? 2 C50 245 (2) 从该学校任选两名老师,用 ? 表示这两人支教次数之差的绝对值, 则 ? 的可能取值分别是 0,1, 2,3 , …………7 分 2 2 2 1 1 1 1 C52 ? C10 ? C20 ? C15 2 C1C1 ? C10C20 ? C15C20 22 ? , P(? ? 1) ? 5 10 ? 2 2 C50 7 C50 49

于是 P ?? ? 0 ? ?

P(? ? 2) ?

1 1 1 1 C5C20 ? C10C15 10 ? 2 C50 49

P(? ? 3) ?


1 1 C5C15 3 …………10 分 ? 2 C50 49

从而 ? 的分布列:

?

0

1

2

3

2 22 10 3 7 49 49 49 2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . …………12 分 7 49 49 49 49

P

18.(1)证明:∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直,∴ BD ? AC ,∴ BD ? AO , ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF ∵ 平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF , ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD ∵ AO ? PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . ·················· 5 分 (2)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 设 AO ? BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形, 故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 .又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . ??? ??? ??? ? ? ? 所以 O(0,0,0) , P(0,0, x) , B(2 3 ? x,2,0) ,故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x,2, ?x) , ??? ? 所以 PB ? (2 3 ? x)2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. ············ 7 分 设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? , 由前知, OP ? 3 ,则 A(3 3,0,0) , B( 3,2,0) , D( 3, ?2,0) , P(0,0, 3) . ???? ??? ? 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ? a, 0, 3 ? c , ???? ??? ? ∵ AQ=? QP ,

?

?

?

?

? 3 3 , ?a ? ?a ? 3 3 ? ?? a, ? ? ? ?1 . ∴? ?? ? c ? 3? ? ?c ? c ? 3? ? ? ? ?1 ? 3 3 3? , 0, ), ∴ Q( ? ?1 ? ?1 ???? 3 3 3? , 0, ). ∴ OQ ? ( ······ 10 分 ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 . ??? ? ??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? ∵ PB ? 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0? ,∴ ? , ??4 y ? 0 ? ? 取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . ··············· 10 分 设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,

?

?

???? ? OQ ? n ???? ? ∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ???? ? ? OQ ? n

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

1 9 ? 6? ? ? 2 1 6? ? 1? . 9 ? ?2 9 ? ?2 2 2

又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ?

2 . 2

∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 4 2

?

?

因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于 19.解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? 3 当 n ? 2 时,? a1 ?

? ,即结论成立. ··········· 12 分 4

a2

?

?

?

a3
2

? ... ?

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n

? a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

? ... ?

?

an ?1
n?2

? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ,两式相减得:
又 a1 ? 3 也适合上式

? n ?1

an

? 2n +1

?an =(2n+1)? n?1 (n ? 2, n ? N ? )

?an =(2n+1)? n?1 (n ? N ? ) ……… 6 分
(2)Sn=3+5λ +7λ +…+(2n+1) ?
2

n-1

当 λ =1 时,Sn=3+5+7+…+(2n+1)=n +2n. 当 λ ≠1 时,Sn=3+5λ +7λ +…+(2n+1) ?
2

2

n-1

, λ

(1 ? ? ) sn ? 3 ? 2(? ? ? 2 ? ? 3 ? ? +? n-1 ) ? (2n ? 1)? n ? 3 ?
5λ +…+(2n-1)λ
2

Sn = 2(1 ? ? n?1 ) ? (2n ? 1)? n 1? ? 3λ +

n-1

+(2n+1) ?

n

当 ? =1 时,左= (1 ? ? ) sn ? ? an = an ? 2n ? 1 ? 3 ,结论显然成立。 当 ? ? 1 时,左= 3 ?

2(1 ? ? n ?1 ) 2(1 ? ? n ?1 ) ? (2n ? 1)? n ? ? an = 3 ? 1? ? 1? ? 2(1 ? ? n ?1 ) ?0 1? ?

n ?1 而 ? ? 0, 1 ? ? 与 1 ? ? 同号,故

?(1 ? ? )sn ? ?an ? 3 对任意 n ? N? 都成立。……… 12 分
20.解:(1) 设双曲线 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,则 B(?c,0), D(a,0), C (c,0) . a 2 b2 由 BD ? 3DC ,得 c ? a ? 3(c ? a) ,即 c ? 2 a .

y

?| AB | ? | AC | ? 16a , ? ∴ ?| AB | ? | AC |? 12 ? 4a, ?| AB | ? | AC |? 2a. ?
2 2 2

………………….3 分
B O

解之得 a ? 1 ,∴ c ? 2, b ? 3 . ∴双曲线 E 的方程为 x2 ?
2

G

C

P

x

y N ? 1 .………………….5 分 3 ??? ? ???? ? ???? M (2) 设在 x 轴上存在定点 G(t ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) . 设直线 l 的方程为 x ? m ? ky , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) . ???? ???? y 由 MP ? ? PN ,得 y1 ? ? y2 ? 0 . 即 ? ? ? 1 ① …………6 分 y2 ??? ? ???? ? ???? ∵ BC ? (4,0) , GM ? ?GN ? ( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) , ??? ? ???? ? ???? ∴ BC ? (GM ? ?GN ) ? x1 ? t ? ? ( x2 ? t ) .即 ky1 ? m ? t ? ? (ky2 ? m ? t ) . ② ……8 分 把①代入②,得 2ky1 y2 ? (m ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ③ ………………….9 分 y2 ? 1 并整理得 (3k 2 ? 1) y 2 ? 6kmy ? 3(m2 ? 1) ? 0 3 1 2 其中 3k ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,即 k 2 ? 且 3k 2 ? m 2 ? 1 . 3 ?6km 3(m2 ? 1) . ………………….10 分 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 3k ? 1 3k 2 ? 1 6k (m2 ? 1) 6km(m ? t ) 1 代入③,得 ? ? 0 ,化简得 kmt ? k .当 t ? 时,上式恒成立. 2 2 m 3k ? 1 3k ? 1 ??? ? ???? ? ???? 1 因此,在 x 轴上存在定点 G ( , 0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) .………………….13 分 m 1 ? x ? ?1 ? ln x ? ? 1 ln x ?? 2 , 21.(1)解:函数 f (x)定义域为(0,+∞), f ?( x) ? x x2 x ?( x) ? 0 得:x = 1,当 0 < x <1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x > 1 时, f ?( x) ? 0 , 由f ∴f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 函数 f (x)在 x = 1 处取得唯一的极值 ……… 2 分 ?a ? 0 2 2 ? 由题意得 ? ? a ? 1 ,故所求实数 a 的取值范围为 ( , ……… 4 分 1) 1 ? 3 3 ?a ? 1 ? a ? 3 ?
把 x ? m ? ky 代入 x2 ? (2)解: 当 x≥1 时,不等式 f ( x) ≥ 令 g ( x) ?

( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ≥1) ,由题意,k≤g (x)在[1,+∞)恒成立………5 分 x x[( x ? 1)(1 ? ln x)]? ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x? x ? ln x ………6 分 g ?( x) ? ? x2 x2 1 令 h( x) ? x ? ln x ( x ≥1) ,则 h?( x) ? 1 ? ≥ 0 ,当且仅当 x = 1 时取等号 x 所以 h( x) ? x ? ln x 在[1,+∞)上单调递增,h (x)≥h(1) = 1 > 0………7 分 x ? ln x h ? x ? ? 2 ? 0 ,∴g (x)在[1,+∞)上单调递增, g ( x)min ? g (1) ? 2 因此 g ?( x ) ? x2 x 因此,k≤2,即实数 k 的取值范围为(-∞,2] ………9 分
(3) 由(2)知,当 x≥1 时,不等式 f ( x) ≥

( x ? 1)(1 ? ln x) k 1 ? ln x k 化为: ,即 k ≤ ≥ x ?1 x x ?1 x

2 恒成立, x ?1

1 ? ln x 2 2 2 ,整理得: ln x ≥1 ? ≥ ? 1 ? ………10 分 x x ?1 x ?1 x 2 1 1 * ? 1 ? 2( ? ) 令 x = k(k + 1),k∈N ,则有 ln[ k ( k ? 1)] ? 1 ? k (k ? 1) k k ?1
即 分别令 k = 1,2,3,…,n,则有

1 1 1 1 1 ln(1 ? 2) ? 1 ? 2(1 ? ), ? 3) ? 1 ? 2( ? ) ,…, ln[n(n ? 1)] ? 1 ? 2( ? ln(2 ) …12 分 n n ?1 2 2 3 将这 n 个不等式左右两边分别相加,得 ln[1 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 (n ? 1)] ? n ? 2(1 ?
故 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 (n ? 1) ? e
n?2? 2 n ?1

1 2 )?n?2? n ?1 n ?1
2 n ? 2? 2 n ?1

,从而 [(n ? 1)!] ? (n ? 1)e

……14 分


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