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高中数学高一第一学期题库-三角函数与三角恒等变换、解三角形


一、任意角
例 1 写出终边符合下列要求的角集: (1)在 x 轴上;_________________________________________. (2)在 y 轴上;_________________________________________. (3)在坐标轴上;_________________________________________ . (4)在直线 y = x 上;_________________________________________ . (5)在直线 y = x 或 y = ? x 上._________________________________. 例 2 写出终边符合下列要求的角集: (1)在第四象限;_________________________________________ . (2)在第一、三象限;_________________________________________. 例 3 写出终边符合下列条件的两角的关系: (1) ? 与 ? 终边重合;_________________________________________. (2) ? 与 ? 终边在同一条直线上;_______________________________________. (3) ? 与 ? 终边关于 x 轴对称;_________________________________________ . (4) ? 与 ? 终边关于 y 轴对称;_________________________________________ . (5) ? 与 ? 终边关于原点对称;_________________________________________. (6) ? 与 ? 终边关于直线 y ? x 对称;____________________________________. (7) ? 与 ? 终边关于直线 y ? ? x 对称;___________________________________. 1. 已知角 ? 是小于 180 的正角,如果角 7? 的终边与角 ? 的终边重合,试求 ? 的值.
?

2. 扇形区域区域周期为 360 ,即每旋转一周恰好一次覆盖该区域;而对角形区域的周期 为 180 ,即每旋转一周恰好两次覆盖该区域. 3. 若 集合 M ? ?? ? ? ?
?

?

? ?

?

? ? ? k ? ? k? , k ? Z ? , N ? ?? ? ? ?? 1? ? ? k? , k ? Z ? , 则集 合 6 6 ? ? ?

M , N 的关系为___________. M ? N
4. 若将时钟拨慢 5 分钟,则时针转了__________度,分针转了_________度.

5. 已知 ? 与 ? 终边关于直线 y ? ? x 对称,若 ? ? ? 6. 已知点 P(sin

?
3

,则 ? ? _______

3 3 ? , cos ? ) 落在角 ? 的终边上,且 ? ? ?0,2? ? ,则 ? 的值为_______ 4 4 3 3 变:角 ? ( 0 ? ? ? 2? )的终边过点 P (sin ? , cos ? ) ,则 ? ? ______ 5 5

二、弧度制
1. 已知圆上的一段弧长等于等于该圆内接正三角形的边长, 则这段弧所对圆周角的弧度数 为__________.

3 2

2. 已知扇形的周长为16 cm ,则其面积的最大值为________ 16cm2 拓展: (通常用半径作为自变量构建函数模型) (1)当扇形的周长为定值 C 时,当且仅当扇形所对应的圆心角为 2 rad 时,可取得扇形面

C2 积的最大值为 ; 16
(2)当扇形的面积为定值 S 时,当且仅当扇形所对应的圆心角为 2 rad 时,可取得周长的 最小值为 4 S ; 3. (旋转问题) (1)在直径为 10 cm 的轮子上有一长为 6cm 的弦, P 是弦的中点,轮子每秒转 5rad ,则 经过 5s 后点 P 转过的弧长为_________ 100 cm (2)已知相互齿合的两个齿轮,大轮有 50 齿,小轮有 20 齿. (1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角的弧度数的大小(不考虑方向) ; (2)如果大轮的转速为180 r / min(转/分) ,小轮的半径为10 cm ,试求小轮圆周 上一点 1s 转过的弧长.

? cm 5? ; 小轮转速为 7.5 r / min ; 150

(3)已知 x 轴的正半轴上一点 A 绕着原点依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点 A 每分 钟转过 ? 角( 0 ? ? ? ? ) ,经过 2 分钟到达第三象限,经过 14 分钟回到原来的位置,那

么 ? 是多少弧度? 4. 若 ?

?
2

4 5 ?或 ? 7 7

?? ? ? ?

?

2

,则 ? ? ? 的取值范围是________

5. 扇形的面积为1cm2 ,它的周长为 4cm ,求圆心角的弧度数和弧长. 6. 已知扇形的圆心角为 ? ,半径为 6,则扇形所含的弓形面积为_______ 7. 已知1rad 的圆心角所对的弦长为 2,求 (1)这个圆心角所对的弦长;

2 3

1 sin 1 2
1 1 ? cos 1

(2)这个圆心角所在扇形的面积.

8. 如图,一长为 3dm ,宽为 1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚,翻滚到第三面 时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成 30 的角,则点 A 走过的弧的总长为 _

dm .

9?2 3 ? 6

三、任意角的三角函数
1. 当 sin ? ? sin ? 时,角 ? 的终边位于____________ 2. 已知角? 的终边经过点 P(?3, m)(m ? 0) ,且 sin ? ? 并求 cos ? 和 tan ? 的值.

2 m ,试判断角 ? 所在的象限, 4

m?? 5

3. 如果 2 rad 角的终边上一点 P 到坐标原点的距离为 1,则 P 点的坐标为_______ 4. 已知角 ? 的终边落在直线 y ? 3x 上,求 sin ? , tan? 的值.

5. 已知角 ? 的终边经过点 P(4a,3a)(a ? 0) ,则 2sin ? ? cos ? 的值为_______ 6. 已知点 M 在角 ? 的终边的反向延长线上,且 OM ? 1 ,则点 M 的坐标为_______ 7. 若点 P(3a ? 9, a ? 2) 在角 ? 的终边上,且 cos? ? 0, sin ? ? 0 ,则实数 a 的取值范围 是________. 8. 角 ? 的终边上有一点 P( x,?2) 且 cos ? ?

x ,则 sin ? ? _______ -1 或-2/3 3

9. 若 sin ? ? sin ? ,则 ? 和 ? 满足的条件是__________

? ? ?? 1?n ? ? n? (n ? Z )

10. 若 cos? ? cos ? ,则 ? 和 ? 满足的条件是__________ ? ? ? ? ? 2n? (n ? Z ) 11. 若 tan? ? tan? ,则 ? 和 ? 满足的条件是__________ 12. 利用单位圆中的三角函数线,完成下列问题: (1)确定下列各角的取值范围: sin ? ?

? ? ? ? n? (n ? Z )

1 3 ; cos? ? ; tan? ? 1 2 2

(2)已知 ? 为锐角,证明: 1 ? sin ? ? cos ? ?

?
2

(利用面积或周长都可以)

(3)已知 ? 与 ? 均为第二象限角,且 tan ? ? tan ? ,则 sin ? ,sin (4)作出符合下列条件的角的终边: cos ? ? ? ; tan ? ? (5)求函数的定义域: y ? lgsin x ? 1 ? 2cos x 变式 1、函数的定义域为 y ? lg(2sin x ?1) ? 1? 2cos x 变式 2、函数的定义域为 y ? sin x ? ? cos x 变式 3、集合 A ? ? x

? 的大小关系为______

1 4

1 2

? ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ? , B ? x 4 ? x2 ? 0 ,则 A B = ? 3 ?

?

?

变式 4、函数 y ? sin x ? 2 tan x 的定义域为 (6)若 ? 为锐角,试比较 ? ,sin ? , tan ? 之间的大小关系

13、函数 y ?

sin x sin x

?

tan x cos x 的值域为______ ? tan x cos x

变式、函数 y ? 14、若 cos ? ?

3 1 ? cos2 ? 2cos ? tan ? 的值域为______ ? sin ? sin ?

?1,5, ?5, ?1?

2x ? 3 ,又 ? 是第二、三象限角,则 x 的取值范围是______ 4? x ?

15、A, B 是单位圆上的两个质点,B 点的初始坐标为(1,0) , ?B O A

?

3

, 质点 A 以的角

速度按逆时针方向在单位圆上运动; 质点 B 以 1rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运 动,过点 A 作 AA1 ? y 轴于点 A1 ,过点 B 作 BB1 ? y 轴于点 B1 (1)求经过 1s 后, ?BOA 的弧度数; ?BOA ?

?
3

?2
5 ?s 6

(2)求质点 A,B 在单位圆上第一次相遇所用的时间;

(3)设点 A1 与 B1 间的距离为 y,请写出 y 关于时间 t 的函数关系式并求出最值

? ?? 3 sin ? t ? ? ? 6?
变式、若点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x 2 ? y 2 ? 1按逆时针方向匀速运动,且角速度是

??

?
6

rad/s ,t s 钟运动到 Q 点

(1) 当 t=4,求 Q 点的坐标; (2)当 t ? 0,6 时,求弦 PQ 的长(用 t 表示) 解: (1) ? ?

? ?

? 1 3? ? 2, 2 ? ? ? ?

; (2) 2 sin

?
12

t

(余弦定理、两点间距离公式、垂径定理)

16、若角 ? 的终边上有一点 P(?4, a) ,且 sin ? ? cos ? ?

3 ,则 a 的值为______ 4

17、 已知角 ? 的终边在直线 y ? kx 上, 若 sin ? ? ? 可利用斜率解决 得结果为 2

2 5 o s ?0 ? , , 且c 则实数 k ? ______ 5
二或四

18、若 tan x ? sin x ,则角 x 所在象限为 ______

19、已知点 P ? ? sin ? ? cos ? , tan ? ? 在第一象限,在 0, 2? 内角 ? 的取值范围是______ 20、 若 ? , ? 是关于 x 的二次方程 x ? 2 ? cos? ? 1? x ? cos
2 2

?

?

? ? 0 两根,且 ? ? ? ? 2 2 ,

则 ? 角的范围是______

2? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ? 3 ?3 ?

四、同角三角函数基本关系式
1、试用单位圆法和定义法证明同角三角函数的基本关系式; 2、化简下列三角函数式: tan ?

1 ?1 sin 2 ?

3、证明下列三角恒等式: (弦切互化,1 的代换) (1)

1 ? 2sin ? cos ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? 2sin ? cos ?

1 1 1 ? ? ? 2 ? tan 2 x 2 2 2 sin x cos x tan x cos x sin x 2(cos x ? sin x) ? ? (3) 1 ? sin x 1 ? cos x 1 ? sin x ? cos x 1 4、已知 sin ? ? cos ? ? ,且 ? ? ? 0, ? ? ,求下列各式的值: 5
(2) (1) sin ? ? cos ? ; (2) sin ? ? cos ? ; (3) sin ? ? cos ?
3 3

12 7 91 ; ; 25 5 125



5、已知 sin ? ? cos ? ?

1 ?? ? ? ,? ? ? , ? ,则 cos ? ? sin ? ? 8 ?4 2?

?

3 2

变式 1、已知 ? ? ? ?

1 ? ? ? , 0 ? ,sin ? ? cos ? ? , 5 ? 2 ?

sin 2? ? 2sin 2 ? (1)求 sin ? ? cos ? 的值; (2)求 的值 1 ? tan ?
变式 2、设 f ? n? ? sin (1)求 sin ? ? cos ?
n

? ? cosn ? , n ? N ? ,且 f ?1? ? a, a ? 2
; (2)求 f ? 2? ; f ? 3? ; f ? 4?

变式 3、已知 ? ? ?

1 ?? ?? ? 1 ? ,? ? , ? ? 2 2 ,则 sin ? 2? ? ? ? 3? ? 2 ? sin ? cos ? ? ? ? ? =______ ? ?6?

1 2

变式 4、设 f (sin x ? cos x) ? sin x cos x ,则 f ? 变式 5、已知 sin ? 5? ? ? ? ? sin ?

? 5? ? 1 ?? ? ? ? 2 ? 5

(1) 求 sin ? cos ? 的值; (2) ;求 sin 3 ? ? cos3 ? 的值 (3)当 ?? ? ? ? 0 时,求 tan ?

sin x ? cos x ? 3 ,求 tan x 和 2sin 2 x ? (sin x ? cos x)2 的值 sin x ? cos x a sin x ? b cos x ; m sin 2 x ? n sin x cos x ? p cos 2 x 的值(齐次分式的求值问题) 变式: c sin x ? d cos x
6、已知

n s i 3 ?? ? ? ? c o s? ?? ? ? ? 的值为______ ?? ?? ? ? 变: 已知 cos ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? , 则 2? ? 5? ? ? 7? ? ?2 ? ? 5cos ? ? ? ? ? 3sin ? ?? ? ? 2 ? ? 2 ?
7、若

1 ? sin x 1 ? sin x ? ? 2 tan x ,求角 x 的取值范围______ 1 ? sin x 1 ? sin x

? ? ? ? ? x x ? ? ? 2k? 或2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 2 2 ? ?
变式:化简 ?

? 1 ? sin x 1 ? sin x ? ? 1 ? sin x 1 ? sin x ?
2

? ? 1 ? cos x 1 ? cos x ? ?? ? ? ?? 1 ? cos x 1 ? cos x ? ? ? ?

8、若 sin ? sin

? ? cos? cos? ? ?1 ,则 ? 在第______ 象限;四

1 ? cos6 x ? sin 6 x 9、化简 1 ? cos 4 x ? sin 4 x
10、 已知 sin ? ,cos ? 是方程 8 x ? 6kx ? 2k ? 1 ? 0 的两个实数根, 则实数 k 的值为______
2

11. 求值:

1 ? 2 sin 10? cos10? sin 10? ? 1 ? cos2 10

? _________ -1

12. (1)已知 cos ? ? ? (2)已知 ? ? ? 0,

8 ,求 sin ? 和 tan ? 的值; 17

11 ? ? ? ,且 sin ? ? 2 cos ? ? ,求 tan ? 的值; ? 5 ? 2?

(3)已知 tan ? ? m ,求 sin ? 和 tan ? 的值; 解:若 ? 角位于第一、四象限或 x 轴的正半轴时, sin ? ?

m 1? m
2

, cos? ?

1 1 ? m2

若 ? 角位于第二、三象限或 x 轴的负半轴时, sin ? ? 13. 已知 tan x ?

?m 1 ? m2

, cos? ?

?1 1 ? m2

1 1 ? ?2 ,则 tan nx ? ? _________( n ? N * ) 2 或 ? 2 n tan x tan x

五、三角函数的诱导公式
1. 已知 sin(? ? ? ) ?
?

1 2 ?? ? 2 , ? ? ? ? ? ,? ? ,则 cos(? ? ? ) ? _______ 3 3 2? ?
1 3

2. cos( x ? 15 ) ? ? ,则 cos(x ? 165? ) ? _______ 3. 已知 tan( ? ? ? ) ? 4. 求下列各式的值 (1) 3 sin( ?1200 ) tan (2) cos
?

1 3

1 , ? ? ?? ? ,0? ,则 tan( ? ? ? ) ? _______; sin(?? ? ? ) ? ______ 2

11 37 ? ? cos 585 ? tan( ? ? ) 6 4
0

3? 2 2

?
5

? cos

2? 3? 4? ? cos ? cos 5 5 5

5. 化简:

sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ] sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? )
?

-1

6. 已知 cos( x ? 75 ) ?

1 2 ? 2 , x 为第三象限角,则 sin(x ? 105 ) ? _______ 3 3

7. 在 ?ABC 中, 若 sin(2? ? A) ? ? 2 sin(? ? B) , 3 cos(2? ? A) ? ? 2 cos(? ? B) , 则 ?ABC 的三个内角分别是____________

? ? 7?
; ; 4 6 12

8. tan( 5? ? ? ) ? m ,则

sin(3? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ________. sin(?? ) ? cos(? ? ? )

9. 化简:

1 ? 2 sin 470? cos110? =________ -1 sin 250? ? cos790? 1 ? a2 a

10. 已知 cos165? ? a ,则 tan195? ? _______ ? 11. 若 sin(? ?

?
6

)?

3 ? ,则 cos( ? ? ) ? ______ 5 3

? 3? cos( ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? sin(?? ? ) 2 2 12. 已知 f (? ) ? 3? sin(?? ? ? ) ? sin( ? ? ) 2
(i)化简 f (? ) ;

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5 3? sin(? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? sin(?? ? ) 2 13. 已知 f (? ) ? 3? cos(?? ? ? ) ? cos(?? ? ) 2 31? ) 的值; (1)求 f ( ? 3 3 (2)若 f (? ) ? ,求 sin ? , tan ? 的值. 5 ? sin ? ? cos ? ? cos 2? 的值; (3)若 2 f (? ? ? ) ? f ( ? ? ) ,求 2 sin ? ? cos ? ? 3 ? 14. 如果 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) ? _________ 4 5 4
(ii)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ? 15. 化简: (1) cos( ? ? (2) cos (
2

?
2

) ? tan(

?
2

? ? ) sin(

?
2

? ? ) =_______

?

? x) ? cos 2 ( ? x) 4 4 4n ? 1 4n ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )(? ? Z ) (3) cos( 4 4

?

?

1 sin ?

16. 在 ?ABC 中,求证: cos 2

A? B C ? cos 2 ? 1 2 2

总结 ?ABC 中的一些三角结论:正弦、余弦、正切关系?半角关系如何? 拓展:已知 A, B, C , D 顺次为圆内接四边形的四个内角,则 (1) cos

A? B C?D A C ; (2) sin( ? D) ? cos( ? D) ; ? sin 4 4 2 2

17. 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?

sin 4x ? cos4x ? 1 3 3 sin( ? ? x) cos( ? ? x) 2 2

(2) f ( x) ? a cos(

?
2

? x) ? b tan( ? ? x)

18. 如果 f (sin x) ? cos2 x ,则 f (cosx) ? _______

? ? 1 ?cos x, x ? 1 19. 已知 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? ________ 2 3 ? ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 1
20. 若 sin(? ?

?

3 ? ) ? ? , ? ? ? ? ? ,则 tan( ? ? ? ) =________ 2 4 2

21. 函数 f ( x) ? cos

?

3

x( x ? Z ) 的值域为________

22. 已知 tan ? ? 2 ,求

sin(? ? ? ) cos( 2? ? ? ) sin( ?? ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
1 其中 , ? 3 1 8? 0? ? ?

3? ) 2 的值;

) 23. 已 知 c o s ( 7 5? ? ?
值.

9 0 sin(105 ? ? ) ? cos(375 ? ? ) 的 ,求

六、三角函数的周期性
1. 若函数 f ( x) ? cos(? x ?

?
6

) (? ? 0) 的最小正周期是

? ,则 ? 的值为 5



2. 若 f ( x ) ? sin

?x
3

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?

? f (2003) =_

3. 已知 f ( x) ? 3sin(2x ? 立,则 ? =________

π ) ,若存在 ? ? (0, π ) ,使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? ? ) 对一切实数 x 恒成 6

4. 已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ( x) 的图像向

左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则? 的一个值是 5. 设 a ? 0 ,则函数 y ? cos(ax ? ? ) 的最小正周期为_________ 6. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,满足 f ( x ? 2) ? ?

1 ,则它的一个周期为_______ f ( x)

7. 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 且 f (2) ? 0 , 则方程 f ( x) ? 0 在 区间 ?0,6? 内解的个数的最小值为________. 8. 已知函数 f ( x ) 满足: f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) ,求证: f ( x ) 是周期函数. 1 ? f ( x)

9. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 4 的奇函数. (1)求 f ( 4) 的值; (2)若 ? 2 ? x ? ?1 时, f ( x ) ? sin 的解析式. 10. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) , 当 x ? ?? 3. ? 1? 时,f ( x) ? ?( x ? 2)2 , 当 x ? ?? 1,3? 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012 ) ? _____ 338 11. 设函数 D( x) ? ?

?
2

x ? 1 ,求 2 ? x ? 3 时, f ( x)

?1, x ? Q , 则下列结论错误命题的序号为_______3 ?0, x ? Q

(1) D ( x ) 的值域为 ?0,1? ; (2) D ( x ) 为偶函数; (3) D ( x ) 不是周期函数 (4) D ( x ) 不是单调函数 12. 已知 g ( x) ? x(2 ? x) ,0 ? x ? 1 , g (1) ? 0 ,再设函数 y ? f ( x) , x ? R 是以 2 为周

期的奇函数, 且在 ?0,1? 上 f ( x) ? g ( x) , 画出 y ? f ( x) (?2 ? x ? 2) 的图象并求其解析式.

?? x( x ? 2),?2 ? x ? ?2, ?0, x ? ?1, ? ? ? x( x ? 2),?1 ? x ? 0, 解: f ( x ) ? ? ? x(2 ? x),0 ? x ? 1, ?0, x ? 1, ? ? ? x( x ? 2),1 ? x ? 2.
? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? 13. f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[?1, 1] 上, f ( x ) ? ? bx ? 2 , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1

?1? ?3? 其中 a , b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 ?2? ?2?

______

-10

14. 函数 y=f (x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f (x)(-1≤x≤1)是奇函数, 又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值-5. (1)证明:f (1)+f(4)=0;(2)求 y=f(x),x∈ [1,4]的解析式;(3)求 y=f (x)在[4,9]上的解析式. 解: (2) f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5,1 ? x ? 4 (3) f ( x) ? ?

?? 3x ? 15,4 ? x ? 6,

2 ?2( x ? 7) ? 7,6 ? x ? 9 ? 15. 已知函数 f ( x) ? cos x, x ? R 3

(1)求函数的最小正周期; (2)求 1 f (1) ? 2 f (2) ? 3 f (3) ? ? ? 2012f (2012 ) 的值.

2009 2

16. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,若当 x ? ?0,3? 时, f ( x) ? 2x , 则当 x ? ?? 6,?3? 时,则 f ( x ) 的解析式为________ f ( x) ? ?2
x ?6

17. 已知函数 f ( x ) 在区间 ?1,2? 上的表达式为 f ( x) ? x ,若对于任意 x ? R ,

3 ?9? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且 f ( x ? 3) ? f (1 ? x) ,则 f ? ? ? ______. 2 ? 2?

七、三角函数的图象与性质
1. 已知函数 f ( x) ? ? sin 2x ? sin x ? a ,若 1 ? f ( x) ? 4 对一切实数 x ? R 恒成立,则实 数 a 的取值范围是________. 2. 函数 tan( 2 x ?

? 15? 3, ? ? 4? ?

?
6

) ? 1 ,则 x 的取值范围是________

变:使 tan x ?

3 成立的角 x 的范围是__________ 3

3. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 图像与直线 y ? 1 的交点中距离最近的两点间的 距离为

? , 则 ? ? _______ 2 3
? ?

4. 对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 关于直线 x ?

??

? 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象 3?

?
12

成轴对称;③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图象向左平移

④图象向左平移

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图象。其中正确结论是_______ 12

? 个单位得到; 3

5. 函数 f ( x) ? 2 sin ?x 在 ?0, 值为__________

? ?? 上为增函数,且在这个区间上的最大值为 3 , 则正数 ? ? 4? ?

6. 已知 k 为正实数, f ( x) ? 2 sin kx 在 ?? 7. 函数 y ? 2 sin 3 x ( 面积是____________

? ? ?? 上为增函数,则 k 的取值范围为_____ , ? 3 4? ?

?
6

?x?

5? ) 与函数 y=2 的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形的 6

? ? ],若关于 x 的方程 3 sin( 2 x ? ) ? a 有两解,则 a 的取值范围是_______ 2 3 ? 9. 关于函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ? )( x ? R), ,有下列命题: 3
8. 设 x∈[0, (1) 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,得 x1 ? x2 必是 π 的整数倍;

(2) y=f(x) 的表达式可改写成 y ? 4 cos( 2 x ? (3) y=f(x) 的图象关于点 (

?
6

);

?
6

,0) 对称;

(4) y=f(x) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称

其中正确命题的序号是_____________(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 10. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 最大值,无最小值,则 ? ?

? ? ? ? ? 且 f ( x ) 在区间 ( , ) 内有 ) (? ? 0) , 若 f ( ) ? f ( ) , 6 4 3 6 4 4 52 . , ,20 5 5

11. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? 在同一周期中,在 x ?

?

5? 时取得最小值 ?4 . 12

12

时取得最大值 4 ,

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调增区间;

) ? 2 , ? ? (0, ? ) ,求 ? 的值. 12 解: (1)依题意, A ? 4 ;---------------------------------------------1 分 T ? 5? ? ? 2? 2? ? , ∴T ? ? ? ,∴ ? ,∴ ? ? 3 ;-----------------4 分 2 3 12 12 3 ? 3
(3)若 f ( ? ? 将(

2 3

?

?

12

, 4) 代入 f ( x) ? 4sin(3x ? ? ) ,得 sin(

?

∴ f ( x) ? 4sin(3 x ? (2)由 2k? ?

?
4

4

? ? ) ? 1,

0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
4



) .-------------------------------------------------6 分

?
2

≤ 3x ?

?
4

≤ 2k? ?

?
2

?

2 k ? ? 2 k? ? ? , ? ] , k ? Z .-------------------10 分 3 4 3 12 2 ? ? 1 (2) 由 f ( ? ? ) ? 2 ? 4sin(2? ? ) ? 2 ? cos 2? ? ,--------------13 分 3 12 2 2 ? 5? ? 5? ? ? (0, ? ) ,∴ 2? ? 或 2? ? ,∴ ? ? 或 ? ? .------------------15 分 3 3 6 6 1 (1) y ? (2) y ? 25 ? x 2 ? lgsin x sin x ? 1
即函数 f ( x ) 的单调增区间为 [

2 k? ? 2 k? ? ? ≤x≤ ? ,---------9 分 3 4 3 12

12. 函数 f ?x? ? sin x ? 2 sin x , x ? 0,2? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是 13. 若 f ( x) ? sin(x ? 则 x1 ? x 2 值为 14. (2009 全国卷Ⅰ理)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? 那么 | ? | 的最小值为 15. (2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ? 。

?

?

?
4

), x ? (0,2? ) ,并且关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不等实根 x1 , x 2 ,

? 4? ? ,0 ? 中心对称, ? 3 ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向

y

量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为 奇函数时,向量 a 可以等于 16. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ,? ,? 是常数, A ? 0 ,

O

? 7? 3 12

x

? ? 0 )的部分图象如图所示, f (0) 的值是

? 2
_____

17. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ?0,2? ? ) 的图像如图所示,则 ? ? ______

18. 将函数 y ? 2sin π x 的图象上每一点向右平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的横坐 3 标扩大为原来的 π 倍(纵坐标保持不变) ,得函数 y ? f ( x) 的图象,则 f ( x) 的解析式为 3 _______ 19. 要得到函数 y ? cos( x ? ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin
2 4

x 的图象向_ _平移_ _个单位; 2

7? 20. 将函数 y ? 2sin(2x ? ) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这 3
样的向量是否唯一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量

21. (2009 全国卷Ⅱ理)若将函数 y ? tan ? ??x ?

??

?

? ?? ? 0? 的图像向右平移 6 个单位长 4?

?

度后,与函数 y ? tan ? ??x ?

?

? ? 的图像重合,则 的最小值为 ? ?
6?

变式: (2011 全国卷)设函数 f ( x) ? cos?x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图象向右平移 位长度后,与原图象重合,则 ? 的最小值为 称,则 ? 的最小值为 22. y ? ? sin( 2 x ?

? 个单 3

;若所得图象与原图象关于 x 轴对

;若所得图象为偶函数,则? 的最小值为

?
3

) 的递减区间是______;y ? log 1 cos(
2

x ? ? ) 的递减区间是_______ 3 4

23. ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 24. 若关于 x 的方程满足

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减, ? 的取值范围是_________ 2 4

?

3 2 cos( ? ? x) ? m,?? ? x ? ? ,则方程有两个不同实数解的 4

m 的取值范围是_________
25. 有一种波,其波形为函数 y ? sin

?
2

x 的图象,若在区间 ?0, t ? 上至少有 2 个波峰(图象

的最高点) ,则正整数 t 的最小值为_________

?? ? 26. 已知函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 和 g ? x ? ? 2cos ? 2x ? ? ?? 0 ? ? ? ? ? 的图 6? ?
象的对称轴完全相同,则 g ?

?? ? ? 的值是 ?3?
?
2 ?? ?

27. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (其中 ? ? 0 , ?

?
2

)的图象

如图所示,若点 A 是函数 f ( x) 的图象与 x 轴的交点,点 B 、D 分 别是函数 f ( x) 的图象的最高点和最低点,点 C ( ,0) 是点 B 在 12 x 轴上的射影,则 AB ? BD =
π? ?π 28. 函数 y ? 2 sin ? x ? ? 的部分图象如右图所示,则 2? ?4

?

y 1
O

B A
x

?OA ? OB ? ? AB ?



29. 函数 f ( x) ? tan?x 在 ? ?

? ? ? ? 内是减函数,那么 的取值范围是_____ ?? 1,0? ? , ? ? 2 2?

30. 函数 y ? sin x 的对称轴方程是__________ 31. 已知函数 y ? sin

a? 且至多取得三次最 x( a ? 0) 在区间 ?0,1? 内至少取得两次最小值, 2

大值,则 a 的取值范围是______________ 32. 定义在 ? 0,

?7,13?

? ?? ? 上的函数 y ? 2 cos x 的图象与 y ? sin x 的图象的交点为 P ,则点 P 到 ? 2? 2 5 5

x 轴的距离为________.

33. 求下列函数的定义域: (1) y ? 2 sin x ? 1 ; (2) y ? 16 ? x 2 ? ? cos x (3) y ? sin x ? cos x ; (4) y ?

1 ?? ? 1 ? tan? 2 x ? ? 4? ?

(5) y ? (7) y ?

3 tan x ? 3 ; (6) y ? lg(1 ? tan x) ;

?? 2 ? log 1 x ? tan x ; ? ? 0, ? ? ?? ,4? ? 2? 2

34. 画出下列函数的图象,并根据图象判断函数的周期性 (1) y ? sin x ; (2 ) y ?

1 1 (cos x ? cos x ) ; (3) f ( x) ? sin x ? ; 2 2 1 (tan x ? tan x ) (单调递增区间) 2

(4) y ? tan x (写出单调区间) ; (5) y ?

35. 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? sin( x ?

?
4

) ? cos( x ?

?
4

)

(2) g ( x) ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin x ? 1

5 ? x ? ? ) 的值域为________ 4 6 3 7 37. (1)比较 cos 与 ? cos 的大小; 2 4
36. 函数 y ? cos 2 x( (2)在锐角三角形 ABC 中,比较 cos A 与 sin B 的大小关系; 38. 求下列函数的值域 (1) y ? cos2x ? sin x ? 1, x ? ? (3) y ?

?

cos x ? 3 ? ? 3? ? (2) y ? ; , ?; cos x ? 3 ?4 4 ?

(4) y ? 3sin x ? 1 ? 2 sin x 2c0s 2x ? 5 sin x ? 1 ;

39. 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? 1 ? 2sin x (1)作出函数 y ? f ( x) 的图象; (2)由函数 f ( x) 的图象求出 f ( x) 的最小正周期、值域和单调递增区间. 40. 已知函数 y ? tan x 在区间 ? ?

? a a ? ? , ? ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是_______ ? 3 2 ?

?0,1?
π 41. 给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同时具 3 有性质 ab 的是________. x π ① y=sin( + ) 2 6 π ② y=sin(2x+ ) 6 ③ y=sin|x| π ④ y=sin(2x- ) 6

42. 已知 a 是实数,则函数 f (x)=1+asinax 的图象不可能是________.4

43. 如图是函数 f (x)=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,-π<φ<π),x∈ R 的部分图象,则下列命题 中,正确命题的序号为________. π ① 函数 f (x)的最小正周期为 ; 2 ② 函数 f (x)的振幅为 2 3; ③ 函数 f (x)的一条对称轴方程为 x= 7 π; 12

π 7 ④ 函数 f (x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤ 函数的解析式为 f (x)= 3sin(2x- π). 3 44. 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________. T 3 解析:由图可知, =2π- π, 2 4 5 2π 5 4 ∴ T= π,∴ = π,∴ ω= , 2 ω 2 5 4 ∴ y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵ sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴ sin( π+φ)=-1, 5 45. 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ=________. 2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 ∴ ω= 2π π π π π =2,把点( ,1)代入,可得 2× +φ= ,φ= . T 6 6 2 6

π 答案: 6 π 46. 已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈ R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cos ωx 4 的图象,只要将 y=f(x)的图象________. π 解析:∵ f(x)=sin(ωx+ )(x∈ R,ω>0)的最小正周期为 π, 4 2π π π ∴ =π,故 ω=2. 又 f (x)=sin(2x+ )∴ g(x)=sin[2(x+ ) ω 4 8 π π π ]=sin(2x+ )=cos2x. 答案:向左平移 个单位长度 4 2 8 π 2 47. 已知函数 f (x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示,f ( )=- ,则 f(0)=________. 2 3 T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ ω= =3. 2 12 12 3 T 又( 7 π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 +

7 3π π ∴ 3× π+φ= +2k π(k ∈ Z),得 φ=- +2k π,k∈ Z, 12 2 4 π 2 2 2 2 代入 f ( )=- ,得 A = ,∴ f(0)= . 2 3 3 3 2 答案: 3

πx 48. 当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 2 πx 解析:当 0≤x≤1 时,y=sin 的图象如图所示,y=kx 的图象在[0,1]之间的部分应位于 2 此图象下方,当 k≤0 时,y=kx 在[0,1]上的图象恒在 x 轴下方,原不等式成立. πx 当 k >0,kx≤sin 时,在 x∈ [0,1] 上恒成立,k ≤1 即可. 2 πx 故 k≤1 时,x∈ [0,1]上恒有 sin ≥kx. 答案:k≤1 2 π 49. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈ R(其中 A >0,ω>0,0<φ< )的周期为 π,且图象上一个 2 2π 最低点为 M( ,-2). 3 π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈ [0, ]时,求 f (x)的最值. 12 2π 2π 2π 解:(1)由最低点为 M( ,-2)得 A =2.由 T=π 得 ω= = =2. 3 T π

2π 4π 4π 由点 M( ,-2)在图象上得 2sin( +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3 4π π 11π π π ∴ +φ=2k π- (k ∈ Z),即 φ=2k π- ,k ∈ Z. 又 φ∈ (0, ),∴ φ= , 3 2 6 2 6 π ∴ f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π π (2)∵ x∈ [0, ],∴ 2x+ ∈ [ , ],∴ 当 2x+ = ,即 x=0 时,f (x)取得最小值 1;当 12 6 6 3 6 6 π π π 2x+ = ,即 x= 时,f (x)取得最大值 3. 6 3 12 50. 方程 sin ?x ?

1 x 的解的个数为_________. 7 4

51. 如果函数 y ? 3 co s( 2 x ? ? ) 的图象关于点 ?

?4 ? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为 ?3 ?

______.

? 6
4 1 11 ,求 ? ? sin y ? cos2x 的最值 最大值为 ;最小值为 ? 9 3 12

52. 已知 sin x ? sin y ?

53. 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递增区间; (3)设 0 ? x ? ? ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同的实数根, 求实数 m 的取值范围和这两个根的和. 54. 已知函数 y ? A sin(?x ? ? )(x ? R, A, ? ? 0) 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点 (函数 取最大值的点)为 P? ,2 ? ,在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 R ( ,0) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; 2 1 O -2 y
5? 12

11 ? 12

?1 ? ?3 ?

5 6

(2)求函数在区间 ?

? 21 23? 上的对称轴方程. , ?4 4? ?

55. 将函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度,得到的图象关于 y 轴

对称,则 ? 的最小值为_________.

? 12

56. 试用五点法作出函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象,并说明这个函数的图象可以由

y ? cos x 图象如何变换得到?
57. 已知函数 f ( x) ? 2
sin( 2 x ? ) 4

?

(1)这个函数是否为周期函数?为什么? (2)求它的单调增区间和最大值. 58. 已知函数 f ( x) ? 2a sin( 2 x ?

?

? ?? ) ? b(a ? 0) 的定义域为 ?0, ? ,值域为 ? 3 ? 1,1 , 3 ? 2?

?

?

则实数 a ? _______, b ? _________ . 59. 矩形 ABCD 中,AB ? x 轴, 矩形 ABCD 恰好能完全覆盖函数 y ? a sin ax ? a ? R, a ? 0? 的一个完整周期图象,则当 a 变化时,矩形 ABCD 周长的最小值为 .

60. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? N * ,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数, 图象关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间 ?0,

3 4

? ?? 上是单调函数,则函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? _______ ? 2? ?

f ( x) ? cos2 x

七、三角函数的应用
1.已知泰州某浴场的水高度 y ( m) 是时间 t (0 ? t ? 24, 单位:h) 的函数,记作 y ? f (t ), 下表是某日各时的浪高数据: t(h) y(m) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观察, y ? f (t ) 的曲线可近似的看成是函数 y ? A cos?t ? b

(1)根据以上数据,求出函数 y ? A cos?t ? b 的最小正周期 T , 振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当高度高于 1m 时,才对游泳爱好者开放,请根据(1)的结论,判断一 天内的上午 8 时至晚上 20 时之间,有多长时间可供冲浪者进行运动? 2. 如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右 方向为正方向,若振幅为 3cm,周期为 3s ,且物体向右运 动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体 5s 时刻的 位移为 3. cm. 答案:-1.5. O

(3)求证:不论 t 为何值, f (t ) ? f (t ? 1) ? f (t ? 2) 是定值.

1. 基础小题
4 2. 已知 tan ? ? ? ,则 5sin 2 ? ? 2sin 2? = 5
.0

3. (三角函数消参的手段) 已知 x , y 均为正数, ? ? ?
2 2 10 ? ? ? ? ,满足 sin ? cos ? , cos ? sin ? ? ? ? , ? 2 2 2 x y x y 3( x ? y 2 ) ?4 2?



x 的值为 y

____

3

原题呈现:已知 x , y 为非零实数,且满足

10 sin ? cos ? cos 2 ? sin 2 ? , , ? ? 2 ? 2 2 x y x y 3( x ? y 2 )



x 的值为 y

_____

? 3 ,?

3 3

思考:命题意图何为?三角函数定义 从方法的角度,消参,两种方式: (1)引入新的参数对其消参; (2)直接内部消参,不引 入新的参数; 练习:

(n个5) 1. 若二次函数 y ? f ( x) 满足对任意的正整数 n ,当 x ? 555??55 , x ? 555??55 (2n个5) ,则 y ? f ( x) 的解析式为_______________
考点: 曲线的参数方程,x ? 4.

5 5 9 (10 n ? 1), y ? ( 10 2 n ? 1) , 消去 n 后得: f ( x) ? x 2 ? 2 x 9 9 5

4. 正方形 ABCD 的边长为 a , P, Q 分别为 AB, DA 上的点, PB ? mAB, DQ ? nDA, 当 PQ ? AP ? AQ ? 2a, 求 ?PCQ 的大小. (或用平面几何知识解决) 变式:如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M、N 分别在 BC、 CD 上,使得△CMN 的周

m ?ABC = 44.97?

长为 2. (1)求∠MAN 的大小; (2)求△AMN 面积的最小值,并确定此时 M,N 两点的位置. 解 (1)设 DN=x,BM=y,则 NC=1-x,CM=1-y,因为△
D N C

CMN 的周长为 2,所以 MN=x+y. 由勾股定理得(x+y) =(1-x) +(1-y) ,整理得 x+y=1-xy, x+y tan(∠DAN+∠MAB)= =1, 1-xy 所以∠DAN+∠MAB =45 ,从而∠MAN=45 . (2) △AMN 面积 S=S 正方形 ABCD -S△DAN-S△AMB -S△CMN x y (1-x)(1-y) 1-xy =1- - - = , 2 2 2 2
o o 2 2 2

M

A

B

因为 x+y=1-xy,所以 1-xy≥2 xy ,解得 xy ≤ 2-1,即 xy≤3-2 2, 所以 S≥ 1-(3-2 2) = 2-1,当且仅当 x=y= 2-1 时等号成立. 2

综上,△AMN 面积的最小值是 2-1.

2. 三角恒等变换
1. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? sin(

?
2

? x) ? 2 cos(? ? x) ? cos x ? 2 .

(1)求 f ( x) 的最小正周期;

B C 中,a, b, c 分别是 ? A、? B、? C 的对边,若 f ( A) ? 4 ,b ? 1 ,?ABC (2)在 ?A
的面积为

3 ,求 a 的值. 2

2? ? ?. 2 (2)? a ? 3.
(1)? T ?
2. 在△ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为 a、b、c,且 cos 2C ? 1 ? (I) 求

8b 2 . a2

1 1 的值; ? tan A tan C

(II) 若 tan B ?

8 ,求 tan A 及 tan C 的值. 15
2 2

解:(I)∵cos2C ? 1 ? 8b ,∴sin 2 C ? 4b .…………………………………………2 分 2 2

a

a

∵ C 为三角形内角,∴sin C ? 0, ∴sin C ? 2b .

a

∵ a

? b ,∴ b ? sin B . ∴2sin B ? sin A sin C ……………………………4 分 sin A sin B a sin A

∵ A ? B ? C ? ? ,∴sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C . ∴2sin A cos C ? 2cos A sin C ? sin A sin C .

1 ∵sin A sin C ? 0 ,∴
(II)∵ 1

tan A

?

1 ? 1 .…………………………………7 分 tan C 2
……………………………9 分

tan A

?

2 tan C 1 ? 1 ,∴ tan A ? tan C 2 tan C ? 2

∵A ? B ? C ? ? , ∴tan B ? ? tan( A ? C ) ? ? tan A ? tan C ?

1 ? tan A tan C

tan 2 C . 2tan C ? tan C ? 2
2

∴ 8 ?

15

2 tan 2 C 整理得 tan C-8tanC+16=0 2tan C ? tan C ? 2
2

…………………12 分

解得,tanC=4,tanA =4.

…………………………………………………14 分

变式 1:在斜三角形中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 思考 1: 一般地, 当 A, B, C 满足什么条件时,tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 能 成立?(是怎么推导的?) 练习 1:在△ ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? 练习 2: (2012 年江苏高考 15 题)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC (1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

思考 2:在 ?ABC 中,请你探究 tan A tan B tan C 的取值范围 变式 2:设 x ? tan ? , y ? tan ? , z ? tan ? ,证明下列问题:

(1)已知 x, y, z ? R ,且 一个式子的值为 0;

x? y y?z z?x ? ? ? 0 ,求证:条件的三个式子中至少有 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx

(2)已知 x ? y ? z ? xyz ,求证:

x y z 4 xyz ? ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z (1 ? x )(1 ? y 2 )(1 ? z 2 )

3. 在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos ? B ? C ? ? 1 ? 6cos B cos C . (1)求 cos A ; (2)若 a = 3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c. 解:(1) 3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6cos B cos C , 得 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 . 即 3cos( B ? C ) ? ?1 ,从而 cos A ? ? cos ? B ? C ? ? . (2) 由于 0 ? A ? π ,所以 sin A ?

1 3

2 2 . 3

又 S?ABC ? bc sin A ? 2 2 ,解得 bc = 6.① 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 b 2 ? c 2 =13.② 由①②两式联立可得 b = 2,c = 3 或 b = 3,c = 2.

1 2

1 4. 在△ABC 中,已知 cos 2C ? ? . 4
(1)求 sin C 的值; (2)当 a = 2, 2 sin A ? sin C 时,求 b 的长.

1 1 (1)由 cos 2C ? ? ,得 1 ? 2sin 2 C ? ? . 4 4

∴ sin C ?

10 . 4

(2)由 2 sin A ? sin C 及正弦定理,得 c = 2a = 4. 由 sin C ?
10 6 ,得 cos C ? ? .利用 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,得 4 4 6 ) ,即 b2 ? 6 b ? 12 ? 0 . 4

16 ? 4 ? b 2 ? 4b ? (?

∴b ?

? 6 ?3 6 . 2

∵b > 0,∴ b ? 6 或 b ? 2 6 .

5. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 图像上有一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且

2? , ?3) 3

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ?

?
4

) 的最大值及对应 x 的值.

6. 如图,在 ?ABC 中, B ?

?
4

,角 A 的平分线

A

AD 交 BC 于点 D ,设 ?BAD ? ? , sin ? ?
(1)求 sin ?BAC 和 sin C ; (2)若 BA BC ? 28 ,求 AC 的长.

5 . 5

B

D

C

7. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且 A, B, C 成等差数列.

3 (1)若 BA ? BC ? , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2
(2)求 2 sin A ? sin C 的取值范围.

解: (1)
?

A, B, C 成等差数列, ? B ?

? . 3

BA ? BC =

3 3 ,? ac cos B = , 2 2

1 3 ac = ,即 ac ? 3 . 2 2

b ? 3 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,
2 ? (a ? c) =12,所以 a ? c ? 2 3 .

2 2 ? a ? c ? ac ? 3 ,即 (a ? c)2 ? 3ac =3.

(2) 2sin A ? sin C = 2sin(

2? 3 1 ? C ) ? sin C ? 2( cos C ? sin C ) ? sin C = 3 cos C . 2 2 3
A? ?2 sin sC in 的取值范围是 ( ?

0?C ?

3 2? ,∴ 3 cos C ? ( ? ,3) . 2 3

3 , 3) . 2

3. 三角函数问题中对角范围的研究
(一)
1. 已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? 2. 已知 ? ? (0,

? 1 ,则 x ? y ? ___ ___. 3 3
? =_______. ?
6 2?4 15

π π 1 4 s c 则o ), ? ?( , π) , cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? , 2 2 3 5

2 3. 已知 tan? , 且 α, β?(tan ? 是方程 x +3 3 x + 4 = 0 的两根,

π π , ), 则 α+ β= 2 2



?

2π 3

4. 已知? 为锐角, sin(? ? 15 ) ?

4 ,则 cos(2? ? 15 ) ? 5




17 2 50

1 5. 已知 cos(75? ? ? ) ? ,则 cos(30? ? 2? ) 的值为 3

7 9

4. 三角函数图象和性质问题研究
1. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) (A > 0, ? > 0)的图象上一个最高点的坐标为(2, 2 ),由 这个最高点到其相邻的最低点间图象与 x 轴交于点(6,0),则此函数的解析式为

y ? 2 sin(

π π x? ) 8 4

5. 解三角形应用题
1. 如图,有两条相交成 60° 角的直路 XX? ,YY? ,交点是 O,甲、乙分别在 OX ,OY 上,起 初甲离 O 点 3 km , 乙离 O 点 1 km . 后来甲沿 XX? 的方向, 乙沿 Y?Y 的方向, 同时用 4km / h Y 的速度步行. (1)起初两人的距离是多少? (2)t h 后两人的距离是多少? (3)什么时候两人的距离最短? X? Y?
乙 60° O 甲

X

(第 18 题)

(1)由余弦定理,得起初两人的距离为

12 ? 32 ? 2 ?1? 3 ? cos60? ? 7 .
(2)设 t h 后两人的距离为 d(t),则 当0 ? t ?

3 时,此时 4

d (t ) ? (1 ? 4t ) 2 ? (3 ? 4t ) 2 ? 2 ? (1 ? 4t ) ? (3 ? 4t ) ? cos 60? ? 48t 2 ? 24t ? 7

当t ?

3 时,此时 4

d (t ) ? (1 ? 4t ) 2 ? (4t ? 3) 2 ? 2 ? (1 ? 4t ) ? (4t ? 3) ? cos120? ? 48t 2 ? 24t ? 7

所以 d (t ) ? 48t 2 ? 24t ? 7 . (3)当 t ? ?

?24 1 ? ( h )时,两人的距离最短. 2?8 4

2. 在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直, BC 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直,
?ABC ? 120 , 路 灯 C 采 用 锥 形 灯 罩 , 射 出 的 光 线 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 , 已 知
, ?ACB ? ? ( 30 ? ? ? 45 ) ?ACD ? 60 ,路宽 AD ? 24 米,设灯柱高 AB ? h (米) (1)求灯柱的高 h (用 ? 表示) ; (2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和为 S ,求 S 关于 ? 的函数表 达式,并求出 S 的最小值.

C B

A

D

6. 解三角形教材习题的再研究
(一)三角形内角角平分线定理
1. 在 ?ABC 中, AD 为角平分线,点 E 为 AD 的中点, BE 交 AC 于点 F ,若 AB ? a ,

AC ? b ,且 a ? 2 , b ? 1,用 a, b 表示出 AD, BE, BF
2.


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