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江西省红色七校2017届高三下学期第二次联考理科数学试卷 Word版含答案


江西省红色七校 2017 届高三第二次联考 数学理科试题
数学试题分为(Ⅰ) (Ⅱ)卷,共 23 个小题。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

8.在 ? ABC 中,角 A 、 B 均为锐角,则 cos A ? sin B 是 ? ABC 为钝角三角形的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知全集为 R,集合 A={x|2x≥1},B={x|x2﹣3x+2≤0},则 A∩?RB=( ) A.{x|x≤0} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x<1 或 x>2} D.{x|0≤x<1 或 x≥2} 2.若复数 z= (a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则|a+2i|等于( D.8 ) D.y=x3+x
x

A.

B.

C.

D. )个.

10.有 7 张卡片分别写有数字 1,1,1,2,2,3,4,从中任取 4 张,可排出的四位数有( A.78 B.102 ,若 f( C.114 )+f( )+…+f( D.120

) 11.已知函数 f(x)=ln )=503(a+b),则 a2+b2 的最小

A.2 B.2 C.4 3.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( A. B.y=﹣log2x ) C.y=3x

4.下列命题中的假命题是( A. . ?x0 ? (0, ??), x0 ? sin x0 C. ?x ? 0,5x ? 3x 5. 记

B. ?x ? (??,0), e ? x ? 1 D. ?x0 ? R,ln x0 ? 0

x1 ? x2 ? ? ? xn , p ? ( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ??? ( xn ? x)2 n ) q ? ( x1 ? a)2 ? ( x2 ? a)2 ??? ( xn ? a)2 ,若 a ? x ,则一定有( A. p ? q B. p ? q C. p 、 q 的大小不定 D.以上都不对 x?
6.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )

值为( ) A.6 B.8 C .9 D.12 2 12.已知过抛物线 G : y ? 2 px ? p ? 0 ? 焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M 、 N 两点( M 在 x 轴上方) ,满足 ???? ? ???? 16 ) MF ? 3FN , MN ? ,则以 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为( 3 ,
2 1? ? 2 3 ? 16 ? A. ? x ? ? ? ? y ? ? ? 3? ? 3 ? 3 ? ? ? 2 2 1? ? 3 ? 16 ? B. ? x ? ? ? ? y ? ? ? 3? ? 3 ? 3 ? ? ? 2

C. ? x ? 3? ? y ? 2 3
2

?

?

2

? 16

D. ? x ? 3 ? ? y ? 3
2

?

?

2

? 16

第 II 卷(非选择题 二、填空題:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
2

共 90 分)

13.已知直线 AB:x+y﹣6=0 与抛物线 y=x 及 x 轴正半轴围成的图形为 ? ,若从 Rt△AOB 区域内任取一 点 M(x,y),则点 M 取自图形 ? 的概率为 . 14.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b,c 成等比数列,若 sinB= 则 a+c 的值为 . ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 2,当 + 的 ,cosB= ,

15.设 x、y 满足约束条件

最小值为 m 时,则 y=sin(mx+ A.14 B.15 C.16 D.17 )

)的图象向右平移

后的表达式为



16.设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,n=1,2,3…,若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,

??? ? ???? ??? ? ??? ? 7.已知点 O 为 ? ABC 的外心,且 BA ? 2, BC ? 6 ,则 BO ? AC =(
A.-32 B.-16 C.32 D.16

bn+1=

,cn+1=

,则∠An 的最大值是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3.
1

(1)当 x∈[0,

]时,求 f(x)的值域; ,

(2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△F1MN 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求 出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

(2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = =2+2cos(A+C),求 f(B)的值.

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值. .

21.已知函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1). (1)求函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调增区间; (3)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数),求实数 a 的取值 范围.

请在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22、选修 4—4:坐标系与参数方程 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 在平面直角坐标系 xoy 中, 以 O 为极点, 直线 l 的极坐标方程为 θ= 曲线 C 的参数方程为 . ,

19.某电视台推出一档游戏类综艺节目,选手面对 1﹣5 号五扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一 段音乐,选手需正确回答这首歌的名字,回答正确,大门打开,并获得相应的家庭梦想基金,回答每一扇 门后,选手可自由选择带着目前的奖金离开,还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金,但是一旦回 答错误,游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零;整个游戏过程中,选手有一次求助机会,选手可以 询问亲友团成员以获得正确答案.1﹣5 号门对应的家庭梦想基金依次为 3000 元、6000 元、8000 元、12000 元、24000 元(以上基金金额为打开大门后的累积金额,如第三扇大门打开,选手可获基金总金额为 8000 元);设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为 pi(i=1,2,…,5),且 pi= (i=1,2,…,5),

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l1 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,若|MA||MB|= ,求点 M 轨迹的直角坐标 方程.

亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为 ,该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面 的门的概率均为 ; (1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金的概率; (2)若选手在整个游戏过程中不使用求助,且获得的家庭梦想基金数额为 X(元),求 X 的分布列和数 学期望. 23、选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x﹣4|≥m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

20.已知椭圆的焦点坐标为 F1(﹣1,0),F2(1,0),过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点,且 |PQ|=3. (1)求椭圆的方程;
2

江西省红色七校 2017 届高三第二次联考数学理科试题(参考答案)
命题,审题:任弼时中学
一、 1 C 二、填空题 选择题 2 B 3 D 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 9 D 10 C 11 B 12 C

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. … 证法二:AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ.

莲花中学

13. 三、解答题

14.3

15. y=sin2x

16.

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°. ∵PA=PD,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.…

17. 解:(1)∵f(x)=2 = = sin2x﹣3 ﹣

sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3 +3 )+1, , ],

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ ],∴2x+ )∈[ ∈[ ,1],

(Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.

∵x∈[0, ∴sin(2x+

∴f(x)=2sin(2x+ (2)∵

)+1∈[0,3]; 则平面 BQC 的法向量为 =2+2cos(A+C), Q(0,0,0), 设 M(x,y,z),则 ∵ , , , ; , . ,

∴sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C), ∴sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C), ∴﹣sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA,即 sinC=2sinA, 由正弦定理可得 c=2a,又由 = 可得 b= a,

∴ 由余弦定理可得 cosA= = = ,

,∴



∴A=30°,由正弦定理可得 sinC=2sinA=1,C=90°, 由三角形的内角和可得 B=60°, ∴f(B)=f(60° )=2

在平面 MBQ 中, ∴平面 MBQ 法向量为 ∵二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°,

, .…



18.(Ⅰ)证法一:∵AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ.
3

∴ ∴t=3.…



P(X=0)=P( =

)+P(A1C =

)+P(A1CA2C

)+P(A1CA2CA3C

)+P(A1CA2CA3CA4C



;…

∴X 的分布列为: X P 0 3000 6000 8000 12000 24000

∴EX=0×

+3000×

+6000× +8000×

+12000×

+24000×

=1250+1000+500+250+250=3250(元) ∴选手获得的家庭梦想基金数额为 X 的数学期望为 3250(元)…. 20. 解:(1)设椭圆方程为 19. 解:设事件“该选手回答正确第 i 扇门的歌曲名称”为事件 Ai,“使用求助回答正确歌曲名称”为事件 B, =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1…

由|PQ|=3,可得

=3,… ,…

又 a2﹣b2=1,解得 a=2,b= 事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件 C;则 , ,P(B)= ,P(C)= … , , , 故椭圆方程为 =1…

(1)设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金”为事件 A,则: A=A1CA2C BCA4 = × = … ;…

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),不妨 y1>0,y2<0,设△F1MN 的内切圆的径 R, 则△F1MN 的周长=4a=8, 因此 最大,R 就最大,… (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R

∴选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金的概率为 (2)X 的所有可能取值为:0,3000,6000,8000,12000,24000;… P(X=3000)=P(A1 )= P(X=6000)=P(A1 CA2 )= P(X=8000)=P(A1 CA2 CA3 )= P(X=12000)=P(A1 CA2 CA3 CA4 )= P(X=24000)=P(A1 CA2 CA3 CA4 CA5)= = ; = ; = ; = = ;

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,



得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,…







则 ;… 令 t=
4

=

,…

,则 t≥1,



,…

(f(x))max=max{f(﹣1),f(1)}, 而 f(1)﹣f(﹣1)=(a+1﹣lna)﹣( +1+lna)=a﹣ ﹣2lna,

令 f(t)=3t+ ,则 f′(t)=3﹣



记 g(t)=t﹣ ﹣2lnt(t>0), 因为 g′(t)=1+ ﹣ =( ﹣1)2≥0(当 t=1 时取等号),

当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f(t)≥f(1)=4,S△F1MN≤3, 即当 t=1,m=0 时,S△F1MN≤3, S△F1MN=4R,∴Rmax= ,这时所求内切圆面积的最大值为 故直线 l:x=1,△F1MN 内切圆面积的最大值为 21. 解:(1)∵f(x)=a +x ﹣xlna, ∴f′(x)=a lna+2x﹣lna, ∴f′(0)=0,f(0)=1 即函数 f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为 0, ∴图象在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1; (2)由于 f'(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna ①当 a>1,y=2x 单调递增,lna>0,所以 y=(ax﹣1)lna 单调递增,故 y=2x+(ax﹣1)lna 单调递增,
x x 2

π.

所以 g(t)=t﹣ ﹣2lnt 在 t∈(0,+∞)上单调递增,而 g(1)=0, 所以当 t>1 时,g(t)>0;当 0<t<1 时,g(t)<0,

π.

也就是当 a>1 时,f(1)>f(﹣1); 当 0<a<1 时,f(1)<f(﹣1) ①当 a>1 时,由 f(1)﹣f(0)≥e﹣1? a﹣lna≥e﹣1? a≥e, ②当 0<a<1 时,由 f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1? +lna≥e﹣1? 0<a≤ ,

综上知,所求 a 的取值范围为 a∈(0, ]∪[e,+∞). 22.解:(1)直线 l 的极坐标方程为 θ= 曲线 C 的参数方程为 可得曲线 … ,所以直线斜率为 1,直线 l:y=x;

.消去参数 θ,

∴2x+(ax﹣1)lna>2×0+(a0﹣1)lna=0,即 f'(x)>f'(0),所以 x>0 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 0<a<1,y=2x 单调递增,lna<0,所以 y=(ax﹣1)lna 单调递增,故 y=2x+(ax﹣1)lna 单调递增,

(2)设点 M(x0,y0)及过点 M 的直线为

∴2x+(ax﹣1)lna>2×0+(a0﹣1)lna=0,即 f'(x)>f'(0),所以 x>0 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 综上,函数 f(x)单调增区间(0,+∞); (3)因为存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1, 所以当 x∈[﹣1,1]时,|(f(x))max﹣(f(x))min| =(f(x))max﹣(f(x))min≥e﹣1, 由(2)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增, 所以当 x∈[﹣1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,
5

由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

,即:



x2+2y2=6 表示一椭圆… 取 y=x+m 代入 由△≥0 得 故点 M 的轨迹是椭圆 x +2y =6 夹在平行直线
2 2

得:3x2+4mx+2m2﹣2=0

之间的两段弧

23. 解:(1)当 x≥4 时,f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0, 得 x>﹣5,所以 x≥4 成立; 当﹣ ≤x<4 时,f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0, 得 x>1,所以 1<x<4 成立; 当 x<﹣ 时,f(x)=﹣x﹣5>0,得 x<﹣5,所以 x<﹣5 成立. 综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<﹣5}; (2)令 F(x)=f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4| ≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9, 当﹣ 时等号成立.

即有 F(x)的最小值为 9, 所以 m≤9. 即 m 的取值范围为(﹣∞,9].

6


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