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北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编:立体几何 Word版含答案


北京市部分区 2017 届高三上学期考试数学文试题分类汇编 立体几何
一、选择、填空题 1、 (昌平区 2017 届高三上学期期末)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观 图为
1 1 正(主)视图 1 侧(左)视图

俯视图

2、 (朝阳区 2017 届高三上学期期末)某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三 角形, 则该四棱锥的体积为 A.

2 3

B.

2 3

C.

4 3

D. 2

3、 (朝阳区 2017 届高三上学期期中)设 m , n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面. 下列命题正确的是
1

A.若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n

B.若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n D.若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? m ,则 n ? ?

4、 (东城区 2017 届高三上学期期末)一个四棱锥的三视图如图所示(单位: cm ),这个四棱 锥的体积为____ cm .
3

5、 (海淀区 2017 届高三上学期期末)已知某四棱锥的三视图如右图所示,则该几何体的体 积为
2 3 3 4 3 3 5 3 3
1 1
主视图

A. B.

2 1
3 左视图

C. 2 D.
1 2
俯视图

6、 (海淀区 2017 届高三上学期期末)如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AD, B1C1 上的动点,设 AE ? x, B1 F ? y . 若棱 .DD1 与平面

BEF 有公共点,则 x ? y 的取值范围是
A. [0,1] C. [1, 2]

D1

1 3 B. [ , ] 2 2 3 D. [ , 2] 2

A1

B1

F

C1

E A
2

D
B

C

7、(石景山区 2017 届高三上学期期末)一个四棱锥的三视图如右图所示, 这个四棱锥的体积为( A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 ) 2 3 正视图 4 侧视图

俯视图 8、 (通州区 2017 届高三上学期期末)如图,已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰 直角 三角形,俯视图是边长为 2 的正方形,那么它的体积是 A.

4 3

B.

8 3

C.4

D.

16 3

9、 (西城区 2017 届高三上学期期末)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 (A) 20 ? 2 5 (B) 14 ? 4

5

(C) 26

(D) 12 ? 2

5

3

10、 (北京昌平临川育人学校 2017 届高三上学期期末) 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的为某几何体的三视图,则此几何体的体积为(



A.

B.1

C.

D.2

二、解答题 1、 ( 昌 平 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PA ? 平面A B C,

AB ? AC ? 2, BC ? 2 3 , M , N 分别为 BC, AB 中点.
(I)求证: MN // 平面PAC ; (II)求证: 平面PBC ? 平面PAM ; (III)在 AC 上是否存在点 E ,使得 ME ? 平面PAC ,若存在,求出 ME 的长,若不存 在,请说明理由.

4

2、 (朝阳区 2017 届高三上学期期末)如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面

ABCD ? 平面 ABEF , AF // BE, AB ? BE, AB ? BE ? 2 , AF ? 1 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 DEF ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? DEF 的体积.

3、 (朝阳区 2017 届高三上学期期中)如图,四边形 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,

DE//PA .
(Ⅰ)求证: BC ? CE ; (Ⅱ)若直线 m ? 平面 PAB ,试判断直线 m 与平面 CDE 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)若 AB ? PA ? 2 DE ? 2 , AD ? 3 ,求三棱锥 E ? PCD 的体积.
5

4、 (东城区 2017 届高三上学期期末)

已知 ?ABD 和 ?BCD 是两个直角三角形,

?BAD ? ?BDC ?

?
2

, E 、 F 分别是边 AB 、 AD 的中点,现将 ?ABD 沿 BD 边折起到

A1BD 的位置,如图所示,使平面 A1BD ? 平面 BCD .
(Ⅰ)求证: EF // 平面 BCD ; (Ⅱ)求证:平面 A ; 1 BC ? 平面 ACD 1

BD 是否有可能垂 直,做出判断并写明理由. (Ⅲ)请你判断, AC 1 与

5、 (丰台区 2017 届高三上学期期末)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AB ? AA1 ,
?A1 AB ? 60? , D 是 AB 的中点.
6

(Ⅰ)求证: BC1‖ 平面 A1CD ; (Ⅱ)求证: AB ⊥平面 A1CD ; (Ⅲ)若 AB ? AC ? 2 , A1C ? 6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

6、 (海淀区 2017 届高三上学期期末) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PD⊥底面 ABCD, AB//DC, CD=2AB, AD⊥CD,E 为棱 PD 的中点. (Ⅰ)求证:CD⊥AE; (Ⅱ)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (Ⅲ)试判断 PB 与平面 AEC 是否平行?并说明理由.

P

E

D
A B

C

7、 (石景山区 2017 届高三上学期期末)如图 1,等腰梯形 BCDP 中, BC ∥ PD , BA ? PD 于点 A , PD ? 3BC ,且 AB ? BC ? 1 . 沿 AB 把 △PAB 折起到 △P?AB 的位置(如图 2) ,使 ?P ?AD ? 90? . (Ⅰ)求证: CD ⊥平面 P ?AC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? P ?BC 的体积; (Ⅲ)线段 P?A 上是否存在点 M ,使得 BM ∥平面 P ?CD .若存在,指出点 M 的位置并证 明;若不存在,请说明理由.

7

8、 (通州区 2017 届高三上学期期末)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,E,F 分 别为 PC,PB 中点,∠ACB = 90°. (Ⅰ)求证:EF//平面 ABC; (Ⅱ)求证:EF⊥AE; (Ⅲ)若 PA=AC=CB,AB=4,求几何体 EFABC 的体积.

9、 ( 西城区 2017 届 高三 上 学期 期 末 ) 如图 ,在 四 棱锥 P - ABCD 中 , AD // BC ,

?BAD ? 90? , PA ? PD , AB ? PA , AD ? 2 , AB ? BC ? 1 .
(Ⅰ)求证: AB ? PD ; (Ⅱ)若 E 为 PD 的中点,求证: CE // 平面 PAB ; (Ⅲ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? PM ,点 M 在平面
8

ABCD 上.当 PA ? PD 时,求 PM 的长.

参考答案 一、选择、填空题 1、B 2、C 3、B 4、72 5、B 6、C 7、B 8、B 9、A 10、 【解答】解:依三视图知该几何体为三棱锥 P﹣ABC, 且 PD⊥平面 ABD,AD⊥BD,C 是 AD 的中点,PD=AD=BD=2, 所以其体积 故选:A. ,

二、解答题 1、证明: (I)因为 M , N 分别为 BC, AB 中点, 所以 MN // AC . 因为 MN ? 平面PAC, AC ? 平面PAC , 所以 MN // 平面PAC . (II)因为 PA ? 平面ABC , BC ? 平面ABC , 所以 PA ? BC . 因为 AB ? AC ? 2 , M 为 BC 的中点, 所以 AM ? BC . 因为 AM ? PA ? A , 所以 BC ? 平面PAM . 因为 BC ? 平面PBC , 所以 平面PBC ? 平面PAM . (III)存在. 过点 M 作 ME ? AC ,交 AC 于点 E , ……………8 分 ……………4 分

9

因为 PA ? 平面ABC , BC ? 平面ABC , 所以 PA ? ME . 因为 ME ? AC , AC ? PA ? A , 所以 ME ? 平面PAC . 因为在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2, BC ? 2 3 , M 为 BC 的中点, 所以 ME ?

3 . 2
y y 1 ? ?? , x?2 x?2 2

……………13 分

2、解: (Ⅰ)设 P( x, y) ,则

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? ?2) . 整理得 4 2
(Ⅱ)依题直线 OM , ON 的斜率乘积为 ?

…………………………………………………5 分

1 . 2

当直线 MN 的斜率不存在时,直线 OM , ON 的斜率为 ?

2 ,设直线 OM 的方程 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 4, 2 ? 是y? 得 x ? ? 2 , y ? ?1 .取 M ( 2,1) ,则 N ( 2, ?1) . x ,由 ? 2 2 y ? x , ? ? 2
所以 ?OMN 的面积为 2 . 当直线 MN 的斜率存在时,设方程为 y ? kx ? m . 由?

y ? kx ? m, 得, (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 . 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
2

因为 M , N 在椭圆 C 上,
2 2 2 2 2 2 所以 ? ? 16k m ? 4(2k ? 1)(2m ? 4) ? 0 ,解得 4k ? m ? 2 ? 0 .

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

2m 2 ? 4 4km x x ? , ; 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2

所以 MN ? (k ? 1)[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (k ? 1)[(
2 2

4km 2 2m2 ? 4 ) ? 4 ? ] 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

2( k 2 ? 1)(4k 2 ? m 2 ? 2) ?2 . (2k 2 ? 1) 2

10

设点 O 到直线 MN 的距离为 d ,则 d ?

m k 2 ?1

.

所以 ?OMN 的面积为 S?OMN ?

1 2m2 (4k 2 ? m2 ? 2) ?????? ①. ? d ? MN ? 2 (2k 2 ? 1)2
1 yy 1 ,所以 1 2 ? . 2 x1 x2 2

因为 OM //PA , ON //PB ,直线 OM , ON 的斜率乘积为 ?

所以

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 m2 ? 4k 2 = . ? ? 2m 2 ? 4 x1 x2 x1 x2 x1 x2



m 2 ? 4k 2 1 ? ? ,得 2k 2 ? 1 ? m2 ?????? ②. 2 2m ? 4 2

由①②,得 S?OMN ?

1 2m2 (2m2 ? m2 ) ? d ? MN ? ? 2. 2 (m2 ) 2

…………………………13 分

3、证明: (Ⅰ)因为 PA ? 底面 ABCD , PA//DE 所以 DE ? 底面 ABCD . 所以 DE ? BC . 又因为底面 ABCD 为矩形, 所以 BC ? CD . 又因为 CD ? DE ? D , 所以 BC ? 平面 CDE .所以 BC ? CE . (Ⅱ)若直线 m ? 平面 PAB ,则直线 m // 平面 CDE .证明如下, 因为 PA//DE ,且 PA ? 平面 PAB , DE ? 平面 PAB , 所以 DE // 平面 PAB . 在矩形 ABCD 中, CD //BA ,且 BA ? 平面 PAB , CD ? 平面 PAB , 所以 CD // 平面 PAB . 又因为 CD ? DE ? D ,所以平面 PAB // 平面 CDE . 又因为直线 m ? 平面 PAB ,所以直线 m // 平面 CDE . (Ⅲ)易知,三棱锥 E ? PCD 的体积等于三棱锥 P ? CDE 的体积. 由(Ⅰ)可知, BC ? 平面 CDE . 又因为 AD //BC , 所以 AD ? 平面 CDE .
11

…………4 分

………………9 分

易证 PA// 平面 CDE ,所以点 P 到平面 CDE 的距离等于 AD 的长. 因为 AB ? PA ? 2 DE ? 2 , AD ? 3 ,所以 S ?CDE ? 所以三棱锥 E ? PCD 的体积 V ?

1 1 CD ? DE ? ? 2 ?1 ? 1. 2 2
…………14 分

1 1 S ?CDE ? AD ? ? 1? 3 ? 1 . 3 3

4、 (Ⅰ)因为 E 、 F 分别是边 AB 、 AD 的中点, 所以 EF // BD 因为 EF ? 平面 BCD , BD ? 平面 BCD , 所以 EF // 平面 BCD . -----4 分

BCD , (Ⅱ)因为平面 A 1 BD ? 平面 BCD ? BD , 平面 A 1 BD ? 平面 CD ? 平面 BCD , CD ? BD ,
所以 CD ? 平面 A 1BD . 因为 A1B ? 平面 A 1BD , 所以 CD ? A1B , 因为 A 1B ? A 1D , A 1D ? CD ? D , 所以 A1B ? 平面 ACD . 1 因为 A1B ? 平面 A 1BC , 所 ----10 分 (Ⅲ)结论: AC 与 BD 不可能垂直. 1 理由如下: 假设 AC ? BD , 1 因为 CD ? BD , AC 1 ? CD ? C , 所以 BD ? 平面 ACD , 1 因为 A1D ? 平面 ACD , 1
12







A1BC ?





A1

C .

D

所 以 B D? -------13 分

1

与 A A D 1B ? A 1D 矛 盾 , 故 AC 1

与 BD

不可能垂直.

5、证明: (Ⅰ)连接 AC1 交 A1C 于 O ,连接 OD , 因为 O ,D 分别为 AC1 , AB 的中点,所以 OD‖ BC1 ……………………2 分

A1 B1

C1

O A D B
又因为 BC1 ? 平面 A1CD , OD ? 平面 A1CD , 所以 BC1‖ 平面 A1CD . (Ⅱ)因为 AC ? BC , D 是 AB 的中点, 所以 CD ? AB . 又因为 AB ? AA1 , ?A1 AB ? 60? , 所以△ AA1 B 为等边三角形,所以 A1 D ? AB 因为 A1 D I CD ? D ,所以 AB ⊥平面 A1CD (Ⅲ)因为△ ABC 与△ AA1 B 都是边长为 2 的正三角形, 所以 CD ? A , 1D ? 3 因为 AC ? 6, 1
2 所以 CD2 ? A1D2 =AC , 1

C

……………………4 分

……………………5 分

……………………7 分 ……………………9 分

所以 A1D ? CD , 又因为 A1D ? AB , AB I CD ? D , 所以 A1D ? 平面 ABC , 即 A1D 是三棱柱的高,
13

……………………11 分

……………………13 分

故三棱柱的体积 V =S?ABC ? A 1D ? 3. 6、解: (Ⅰ)因为 PD⊥底面 ABCD,DC ? 底面 ABCD, 所以 PD⊥DC.又 AD⊥DC,AD ? PD=D, 故 CD⊥平面 PAD. 又 AE ? 平面 PAD, 所以 CD⊥AE. (Ⅱ)因为 AB//DC,CD⊥平面 PAD, 所以 AB⊥平面 PAD. 又因为 AB ? 平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PAD. (Ⅲ)PB 与平面 AEC 不平行. 假设 PB //平面 AEC, 设 BD ? AC=O, 连结 OE, 则平面 EAC ? 平面 PDB ? OE , 又 PB ? 平面 PDB ----------1 分 所以 PB // OE .

……………………14 分

P

E

D
A
O

C

OB PE 所以,在 ?PDB 中有 , ? OD ED
由 E 是 PD 中点可得 因为 AB//DC, 所以

B

OB PE ? ? 1 ,即 OB ? OD . OD ED

AB OB 1 ? ? ,这与 OB ? OD 矛盾, CD OD 2

所以假设错误,PB 与平面 AEC 不平行. 7、解: (Ⅰ)因为 ?P?AD ? 90? ,所以 P?A ⊥ AD . 因为在等腰梯形中, AB ⊥ AP ,所以在四棱锥中, AB ⊥ AP? . 又 AD ? AB ? A,所以 P?A ⊥面 ABCD . 因为 CD ? 面 ABCD ,所以 P?A ⊥ CD .……3 分 因为等腰梯形 BCDE 中, AB ? BC , PD ? 3BC ,且 AB ? BC ? 1 . 所以 AC ? 2 , CD ? 2 , AD ? 2 .所以 AC 2 ? CD2 ? AD2 . 所以 AC ⊥ CD .

14

因为 P?A ? AC = A , 所以 CD ⊥平面 P ?AC . ……5 分

1 1 (Ⅱ) S△ ABC ? BC ? AB ? ,……7 分 2 2
因为 P?A ⊥面 ABCD .

1 1 所以 VA- P?BC ? VP?- ABC ? S△ABC ? P?A ? . 3 6

……9 分

(Ⅲ)存在一点 M , M 为 P?A 的中点,使得 BM ∥面 P ?CD , ……10 分 证明:取 P?A 中点 M , P?D 中点 N ,连结 BM , MN , NC , P′ 因为 M , N 为中点,

1 1 AD , MN = AD , 2 2 1 1 因为 BC ∥ AD , BC = AD , 2 2
所以 MN ∥ 所以 MN ∥ BC , MN = BC .

N M

B

所以四边形 BCNM 为平行四边形 .……12 分 所以 BM ∥ CN . 因为 BM

? 面 P ?CD , CN ? 面 P ?CD .

A B C
C

A

D

所以 BM ∥平面 P ?CD .…………………………14 分 8、 (Ⅰ)证明:∵E,F 分别为 PC,PB 的中点, ∴ EF ? BC ,……………….2 分 又∵ EF ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , ∴ EF ? 平面ABC ……………….4 分 (Ⅱ)证明:∵ PA ? 平面ABC ,∴ PA ? BC ………………5 分 又∵ AC ? BC , PA ? AC ? A ∴ BC ? 平面PAC ………………7 分 ∴ BC ? AE ∵ EF ? BC ∴ EF ? AE ……………….10 分 (Ⅲ)解:∵ PA ? 平面ABC ,∴ PA ? AC ∴ S ?PAC ? P′

1 1 PA ? AC ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 2 2

B

∵ BC ? 平面PAC
15

A B C
C

A

D

∴三棱锥 P-ABC 的体积: V1 ?

1 1 8 2 ? S?PAC ? BC ? ? 4 ? 2 2 ? 3 3 3

∵ EF ? 平面PAE , S ?PAE ?

1 1 S ?PAC ? 2 , EF ? BC ? 2 2 2
1 1 2 2 ? S?PAE ? EF ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3

∴三棱锥 P -AEF 的体积: V2 ?

∴几何体 EFABC 的体积: V ? V1 ? V2 ? 2 2 ………………14 分 9、1 解: (Ⅰ)因为 ?BAD ? 90 ,
?

所以 AB ? AD ,[1 分] 又因为 AB ? PA ,[2 分] 所以 AB ? 平面 PAD ,[3 分] 所以 AB ? PD .[4 分] (Ⅱ)取 PA 的中点 F ,连接 BF , EF .[5 分] 因为 E 为棱 PD 中点,所以 EF //AD , EF ? 1 AD , 2 又因为 BC //AD , BC ? 1 AD , 2 所以 BC //EF , BC ? EF . 所以四边形 BCEG 是平行四边形, EC //BF .[8 分] 又 BF ? 平面 PAB , CE ? 平面 PAB , 所以 CE // 平面 PAB .[9 分] (Ⅲ)在平面 ABCD 上,延长 AB , CD 交于点 M . 因为 M ? AB ,所以 M ? 平面 PAB ;又 M ? CD ,所以 M ? 平面 PCD , 所以平面 PAB ? 平面 PCD ? PM .[11 分] 在△ ADM 中,因为 BC //AD , BC ? 所以 AM ? 2 AB ? 2 .[12 分] 因为 PA ? PD ,所以△ APD 是等腰直角三角形,所以 PA ? 由(Ⅰ)得 AM ? 平面 PAD ,所以 AM ? PA . 在直角△ PAM 中, PM ? PA2 ? AM 2 ? 6 .[14 分]
16

1 AD , 2

2 .[13 分]


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