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1.4三角函数的图象与性质(3课时)


1.4.1
正弦、余弦函数的 正弦、 图象

正弦、 1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾

三角函数
sinα=MP α

三角函数线 正弦线MP
cosα=OM α

正弦函数 余弦函数
tanα=AT α

余弦线OM 正切线AT
P
T

正切函数
y

α
-1

O

M

A(1,0)

x

正弦、 正弦、余弦函数的图象
问题:如何作出正弦、余弦函数的图象? 问题:如何作出正弦、余弦函数的图象? 途径:利用单位圆中正弦、余弦线来解决。 途径:利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
B
y 1

描图: 描图:用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来 终点连结起来

O1

A O
-1

π
3

2π 3

π

4π 3

5π 3



x

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2kπ)=sinx, k∈Z

y=sinx x∈[0,2π]
f ( x + 2 kπ ) = f ( x ) 利用图象平移

y=sinx x∈R

正弦、 正弦、余弦函数的图象
y 1
π
2

?

o -1

π
2

π

3π 2



x

y=sinx x∈[0,2π] y=sinx x∈R

y
1

正弦曲 线
π 2π 3π 4π 5π

-4π

-3π

-2π



o
-1



x

正弦、 正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 余弦函数图像 图像? 到余弦函数图像?
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

正弦函数的图象 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x∈R
2

正弦曲 线
π
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象 余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3π ( ,0) 2

( 2π ,1) 2π 3π 4π

余弦曲 线
5π 6π

-4π

-3π

-2π



π (o ,0) 2 -1

π

( π ,-1)

x

正弦、 正弦、余弦函数的图象

y 1
π
2
(0,0) o (0,0)

( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1)

π

五点画图法
( π ,0)

( ,1) 2 (0,0) π -1 ( ,1) 2 (0,0) π ( 2 ,1) (0,0) π (0,0) ( 2 ,1) π (0,0) ( π ,1) (0,0) 2 ( 2 ,1) 五点法—— (0,0) 五点法

?

π

2

π

π

( π ,0) ( π ,0)

( π ,0) (3π ,-1) 3π ( π ,0)2 3,1) ( 2 π3π ( π ,0) ( 2 ,1)π ( 3 ,1) 2( 3,1) π ( π ,0) 2 3π ,-1) (π ( π ,0) 33 2 ,-1) π ( ( π ,0) ( (222,-1) ,-1)

3π 2

( 2π ,0) ( 2π ,0)



x

( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0) ( 2π ,0)

正弦、 正弦、余弦函数的图象
的简图: 例1 (1)画出函数 )画出函数y=1+sinx,x∈[0, 2π]的简图: , ∈ π 的简图 x
sinx 1+sinx
y 2 1 y=1+sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

0 0 1

π
2

π 0 1

3π 2

2π 0 1 步骤: 步骤: 1.列表 列表 2.描点 描点 3.连线 连线

1 2

-1 0

?

π
2

o -1

π
2

π

x 3π 2π 2 y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

正弦、 正弦、余弦函数的图象
的简图: (2) 画出函数 - cosx,x∈[0, 2π]的简图: ) 画出函数y= , ∈ π 的简图 x
cosx - cosx
y 1
π
2

0 1 -1

π
2

π -1 1

3π 2

2π 1 -1

0 0

0 0

y=cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π
2

?

o -1

π

3π 2



x

y= - cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π

已知三角函数值求角
3 已知 sin α = 求 α 2
?3 5 π π ? 2
?2π ?3π
2

y
1
π
2



?

π
2

O

π

?1

3π 2



5π 2



x

已知三角函数值求角
3 已知 sin α = 求α 2

还有其他吗? 一定吗? ? 还有其他吗 一定吗?

3 α = 60° 2 sin 420° = sin(60° + 360° ) = sin 60° =

3 2 3 sin( ?300° ) = sin(60° ? 360° ) = 2

3 2 sin 780° = sin(60° + 2 × 360° ) =





α = 60° + k ? 360°, k ∈ Z

3 2 α = 120° + k ? 360°, k ∈ Z sin120° =

{α | α = 60° + k ? 360°或α = 120° + k ? 360°, k ∈ Z }

(1)在一个区间里找两个代表 (2)分别加上 ) )分别加上2kπ

已知三角函数值求角
3 的范围。 已知 sin α ≥ 求 α 的范围。 2
sin60° = sin120° = 3 2 3 2

y
1
?2π 3π
? 2

?3 5 π π ? 2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

[60° + k .360° ,120 ° + k .360° ] k ∈ Z

1.4.2 正、余弦函数的性质

要点回顾. 正弦曲线、 要点回顾 正弦曲线、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法 五点法 1)图象作法--图象作法 (1)定义域: 2)正弦曲线、余弦曲线 2)正弦曲线、 正弦曲线
正弦曲 线
-4π -3π -2π -π

y
1 (0,0)

x∈R y (2)值域: ∈[-1,1]
π ( 2 ,1)

o
-1

( π ,0) π

( 2π ,0) 2π 3π 4π 5π 6π

3π ( ,-1) 2

x

y 余弦曲 线
-4π -3π -2π -π (0,1) 1
π (o ,0) 2 -1
3π ( 2 ,0)

( 2π ,1) 2π 3π 4π 5π 6π

π

( π ,-1)

x

新课讲解. 正弦函数、 新课讲解 正弦函数、余弦函数的性质 1.周期性的定义 (一)关于周期性 1.周期性的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数 f(x),如果存在一个非零常数T 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当 取定义域内的每一个值时, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T f(x)就叫做周期函数 叫做这个函数的周期. 叫做这个函数的周期. 注意:如果在周期函数f(x)的 注意:如果在周期函数f(x)的所有周期中 f(x) 存在一个最小的正数 一个最小的正数, 存在一个最小的正数,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期. f(x)的最小正周期 就叫做f(x)的最小正周期.

例:求下列函数的周期 (1) y = 3 cos x, x ∈ R (2) y = sin 2 x, x ∈ R

1 π (3) y = 2 sin( x ? ) 2 6 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx,x∈R的周期为2π (2)设函数y=sin2x, x∈R的周期为T,则 sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x 2π ∵正弦函数的最小正周期为2π,∴ 2T = 2π得T = =π 2 ∴ y=sin2x ,x∈R的周期为π 1 π (2)设函数 y = 2 sin( x + ), x ∈ R 的周期为T,则 2 6 π? π 1 ? π? ?1 ?1 ?1
y = 2 sin? ( x + T ) + ? = 2 sin? x + + T ? = 2 sin? x + ? 6? 6 2 ? 6? ?2 ?2 ?2

∵正弦函数的最小正周期为2π,∴

1 π ∴函数 y = 2 sin( x + ), x ∈ R 的周期为4π 2 6

1 2π T = 2π得T = = 4π 1 2 2

新课讲解. 正弦函数、 新课讲解 正弦函数、余弦函数的性质 3.求下列函数的周期 求下列函数的周期: ---利用结论 例3.求下列函数的周期: ---利用结论

1) y = sin( x +

π

3

)
P36.ex.1.2

2) y = cos 3 x 1 π 3) y = 3 sin( x + ), x ∈ R 一般 3 5 结论: 结论:

函数y = A sin(ω x + ? )及y = A cos(ω x + ? ), x ∈ R 2π ( A, ω , ?为常数, A ≠ 0, )的周期T = w

新课讲解. 正弦函数、 新课讲解 正弦函数、余弦函数的性质 关于奇偶性(复习) (二)关于奇偶性(复习) 一般地, 一般地 ?如果对于函数 x )的定义域内任意一个 如果对于函数f( 的定义域内任意一个x, 如果对于函数 都有f(都有 x )= f( x ),那么就说 x )是偶函数 ,那么就说f( 是 ?如果对于函数 x )的定义域内任意一个 如果对于函数f( 的定义域内任意一个x, 如果对于函数 都有f(都有 x )= -f( x ),那么就说 x )是奇函数 ,那么就说f( 是 结论: 结论:

4.正弦余弦函数的单调性 4.正弦余弦函数的单调性
函数 y = f ( x),若在指定区间任取 x、2 , x <x2 ,都有: 且 1 都有: 1 x 1、__________,则f(x)在这个区间上是增函数 、 f (x1) < f (x2) , ( )在这个区间上是增函数. 2、__________,则f(x)在这个区间上是减函数. 、 f (x1) > f (x2) , ( )在这个区间上是减函数 函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。 函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。 增函数: 增函数:上升 减函数: 减函数:下降

观察正余弦函数的图象, 观察正余弦函数的图象,探究其单调性

探究: 探究:正弦函数的单调性
y
1

?3 5 π π ? 2

?2π ?3π
2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

π 3 5 … [? 5π ,? 3π ]、 π , ]、 π ,π ]…上时, [? [ 上时, 当x在区间
2 2 2 2 2 2

曲线逐渐上升, α 曲线逐渐上升,sinα的值由 ? 1增大到 1 。
7π 5π 3π π π 3π 5π 7π [? ? [ [ 当x在区间 … [? , ? ]、 , ]、 , ]、 , ] … 2 2 2 2 2 2 2 2

上时,曲线逐渐下降, 上时,曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到 ? 1 。 α

探究: 探究:正弦函数的单调性
y
1

?3 5 π π ? 2

?2π ?3π
2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

2 2 都是增函数,其值从- 增大到 增大到1; 都是增函数,其值从-1增大到 ; π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z )上都是 2 2

正弦函数在每个闭区间[?

π

+ 2kπ ,

π

+ 2kπ ](k ∈ Z )

减函数,其值从1减小到 减小到- 。 减函数,其值从 减小到-1。

探究: 探究:余弦函数的单调性 y
1

?3 5 π π ? 2

?2π 3π
? 2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

[? 0] [π 2 上时, 上时, 当x在区间 L[?3π , ?2π ]、 π,、 ,π ][3π , 4π ]L

曲线逐渐上升,cosα的值由? 1 增大到 1 。 曲线逐渐上升, α
[0 [2 3π 上时, 当x在区间 L[?2π , ?π ]、,π ]、 π, ]L 上时,

曲线逐渐下降, 曲线逐渐下降, sinα的值由1 减小到? 1 。 α

探究: 探究:余弦函数的单调性 y
1

?3 5 π π ? 2

?2π 3π
? 2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

由余弦函数的周期性知: 由余弦函数的周期性知: 都是增函数 增函数, 在每个闭区间[ k ? 2π ? π , 2kπ ]都是增函数, 其值从- 增大到 增大到1 其值从-1增大到 ; 上都是减函数, 而在每个闭区间 [2kπ , 2kπ + π ] 上都是减函数, 其值从1减小到- 。 其值从 减小到-1。 减小到

例4:利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小 :利用三角函数的单调性, 23π 17π π π 2、 ? cos( )与 cos(? ) 1、 ? )与 sin(? ) sin( 5 4 18 10 π π π π π π 分析:比较同名函数值的大小,往往可以利用函数的 解: Q ? < ? < ? < , 且y = sin x在[? , ]上增函数。 1、 2 10 18 2 2 2 单调性,但需要考虑它是否在同一单调区间上,若是, π π ∴ sin( ? ) < sin( ? ) 即可判断,若不是,需化成同一单调区间后再作判断。
10 18 17π 17π π 23 π 23 π 3π cos( ? ) = cos = cos (2)、 ? cos( ) = cos = cos 5 5 5 4 4 4 π 3π Q0 < < < π , 且y = cos x在[0, π ]上是减函数
4 5 3π π y ∴ cos < cos 5 4 1 23π 17π ∴ 5π cos( π ?3 cos(??2π ?3π) ? ?π ?? 4O ) <π0 π π 5 ? 2 2
2
2

?1

3π 2



5π 2



x

练习
y = 4 sin x x ∈ [?π , π ]

先画草图, 先画草图,然后根据草图判断
y
4

?3 5 π π ? 2

?2π 3π
? 2



?

π
2

O
?4

π
2

π

3π 2



5π 2



x

练习
y
1

?3 5 π π ? 2

?2π 3π
? 2



?

π
2

O

π
2

π

(1)sinx > 0 : (0 +2kπ , π +2kπ )
(2)sin x < 0 :( ?π +2kπ , 0 +2kπ ) y
1

?1

3π 2



5π 2



x

k∈Z k∈Z

(1)cos x > 0 : (2)cos x < 0 :

?3 5 π π ? 2

?2π ?3π
2



?

π
2

O

π

π
+2kπ )
+2kπ )

(?

π
2

+2kπ

?1

,

π
2

2

3π 2



5π 2



x

k∈Z
k∈Z

3π ( +2kπ , 2 2

π

5.正弦函数的最大值和最小值 正弦函数的最大值和最小值
y
1

?3 5 π π ? 2

?2π ?3π
2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

最大值: 最大值: 当

x=

π
2

+ 2kπ 时, 有最大值 y = 1 + 2kπ 时, 有最小值 y = ?1

最小值: 最小值:当x

=?

π
2

探究: 探究:余弦函数的最大值和最小值
y
1

?3 5 π π ? 2

?2π ?3π
2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

最大值: 最大值: 当

x = 0 + 2kπ 时, 有最大值 y = 1
x = π + 2kπ
有最小值 y 时,

最小值: 最小值:当

= ?1

1.求函数的最大值和最小 1.求函数的最大值和最小 使原函数取得最大值的集合是 值 使原函数取得最大值的集合是 最大值
1 ?1 π? y = sin ? x + ? 2 ?2 3?

1 π 解:令z = x + 2 3 1 1 要使y = sin z有最大值 , 2 2

π ? ? ? x | x = + 4kπ , k ∈ Z ? 3 ? ?
1 1 要使y = sin z有最小值- , 2 2

必须 z = ? + 2kπ , k ∈ z
1 π π x + = ? + 2kπ 2 3 2 5π x=? + 4kπ 3 2

π

必须 z = 2 + 2kπ , k ∈ z
1 π π x + = + 2kπ 2 3 2 x=

π

π
3

使原函数取得最小值的集合是 使原函数取得最小值的集合是 最小值
+ 4kπ
5π ? ? + 4kπ , k ∈ Z ? ?x | x = ? 3 ? ?

练习:求函数 练习:

3 ?1 π? y = ? sin ? x ? ? 2 ?2 6?
因为有负 因为有负 号,所以 结论要相 结论要相 反
3 y = ? sin z 最大 2

的最大值

y = sin z

最小

正弦函数的单调性及单调区间
y
1

?3 5 π π ? 2

?2π ?3π
2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

正弦函数的增区间是 [?

π
2

+ 2kπ ,

π
2

+ 2kπ ](k ∈ Z )

减区间是

3π [ + 2 kπ , + 2kπ ](k ∈ Z ) 2 2

π

余弦函数的单调性级单调区间 y
1

?3 5 π π ? 2

?2π 3π
? 2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

余弦函数的增区间是

[?π + 2kπ , 2kπ ](k ∈ Z )

减区间是

[2kπ , π + 2kπ ](k ∈ Z )

求函数的单调递增 例5.求函数的单调递增区间 求函数的单调递
π? ?1 y = sin ? x + ? 3? ?2

y = sin z
? ?

π
2

+ 2kπ ≤ z ≤

π
2

y=sinz的增区间 y=sinz的增区间
+ 2kπ

π
2

+ 2kπ ≤

1 π π x + ≤ + 2kπ 2 3 2

5π π ? + 4kπ ≤ x ≤ + 4kπ 3 3
π ? 5π ? ? + 4kπ , + 4kπ ? , k ∈ Z ? 3 3 ? ?

原函数的增区间

求函数的单调增区间
π? ?1 y = sin ? x + ? , x ∈ [?2π ,2π ] 3? ?2
?2π 2π

π ? 5π ? ? ? 3 + 4kπ , 3 + 4kπ ? ? ?

k = ?1, k = 0, k = 1,

? 17π 11π ? ?? 3 , ? 3 ? ? ? ? 5π π ? ?? 3 , 3 ? ? ? ? 7π 11π ? ? 3 , 3 ? ? ?



变式练习 求函数的单调增区间
π? ? 1 y = sin ? ? x + ? 3? ? 2



y = sin z 减

π π
2

3π + 2kπ ≤ z ≤ + 2kπ 减 2 2 1 π 3π x? ≤ + 2kπ 2 3 2

+ 2kπ ≤

5π 11π + 4kπ ≤ x ≤ + 4kπ 3 3
11π ? 5π ? + 4kπ , + 4kπ ? , k ∈ Z ? 3 3 ? ?



求函数的单调增 求函数的单调增区间 为了防止出错,以及计算方便, 为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来
π? ? 1 y = sin ? ? x + ? 3? ? 2 π? ?1 y = ? sin ? x ? ? 3? ?2
y = ? sin z y = sin z



sin( ?α ) = ? sin α cos( ?α ) = cos α






求函数的单调增 求函数的单调增区间 为了防止出错,以及计算方便, 为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来
π? ? 1 y = cos ? ? x + ? 3? ? 2 π? ?1 y = cos ? x ? ? 3? ?2
y = cos z y = cos z



sin( ?α ) = ? sin α cos( ?α ) = cos α






练习
y
1

?3 5 π π ? 2

?2π 3π
? 2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

y
1

?3 5 π π ? 2

?2π ?3π
2



?

π
2

O

π
2

π

?1

3π 2



5π 2



x

6.对称轴和对称点: 对称轴和对称点: 对称轴和对称点
-6π -5π -4π -3π -2π -π

y 1 o -1 y 1

y=sinx
π 3π 4π 5π



6π x

y=cosx
π 2π 3π 4π 5π 6π x

-6π

-5π

-4π

-3π

-2π



-1

y = sin x的对称轴: = kπ + , 对称点:π ,0); x (k 2 y = cos x的对称轴: = kπ , 对称点:π + ,0); x (k 2

π

π

1.4.3 正切函数 的图象和性质

复习回顾
函数 y=sinx 性质 定义域 值域 仅当 最大值 R [-1,1] R [-1,1] 仅当 y=cosx

x=

π
2

+ 2kπ , k ∈ Z
+ 2kπ , k ∈ Z

x = 2kπ , k ∈ Z
时取得最大值1

时取得最大值1 仅当 最小值

x=?

π
2

仅当

x = (2k + 1)π , k ∈ Z
时取得最小值-1 偶函数

时取得最小值-1 奇偶性 单调性 奇函数

单调性: 单调性:
正弦函数在 [ ?

π
2

+ 2k π ,

π
2

+ 2 kπ ]( k ∈ Z )上是单调递增的 , 从 ? 1到1;

3π 在[ + 2k π , + 2 kπ ]( k ∈ Z )上是单调递减的 , 从1到 ? 1 2 2

π

复习回顾
y 1 -6π -5π -4π -3π -2π -π -1 y 1 -6π -5π -4π -3π -2π -π -1 π 2π 3π 4π 5π 6π x o π 2π 3π 4π 5π 6π x

y=sinx

y=cosx

对称轴和对称点: 对称轴和对称点:

y = sin x的对称轴: = kπ + , 对称点:π ,0); x (k 2 y = cos x的对称轴: = kπ , 对称点:π + ,0); x (k 2

π

π

正切函数的性质与图像
(1)正切曲线图象如何作: )正切曲线图象如何作:
几何描点法(利用三角函数线) 几何描点法(利用三角函数线)

思考:画正切函数选取哪一段好呢 画多长一段呢 思考 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢 画正切函数选取哪一段好呢 画多长一段呢?

正切函数的性质与图像
(二)周期性 : 二 周期性
tan(x+π )=tanx,x ∈ R , x ≠

π
2

由诱导公式

+ kπ , k ∈ Z

问题:是否是最小的正周期呢?

可以知道π是正切函数的一个正周期

(三)奇偶性 三 奇偶性 奇偶性:
由诱导公式tan(-x )= -tanx,x ∈ R,x ≠ y = tan x, x ≠

π
2

+ kπ , k ∈ Z

π
2

+ kπ ( k ∈ z ) 为奇函数,图像关于原点对称

正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像
(四)单调性:观察图像 四 单调性 单调性:

正切函数在

正切函数在

? π π ? , ?, k ∈ Z 中为递增函数,由周期 ?? 2 2 ? ? π ? π ? + k π , + k π ?, k ∈ Z 中是增函数。 ?? 2 2 ? ?

性知,

思考:在整个定义域内是增函数么? 思考:在整个定义域内是增函数么?

正切函数的性质与图像

(五)定义域、值域: 定义域、值域:

kπ 从图象可以看出:无对称轴。 (六)关于对称点对称轴:从图象可以看出:无对称轴。 ( , 0) π 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点 对称点为零点及函数值不存在的点, 直线 为渐近线 对称点为零点及函数值不存在的点,即 2 x = + kπ k ∈Z 2

应用提升
x+ 求 函 数 y = ta n ? ?的 定 义 域 , 值 域 , 并 指 出 它 的 周 期 性 , 3 ? ? 2 奇偶性,单调性,对称中心,作出它的大致草图
解:

有变动) 例1(书上 ? π 例6有变动) (书上P44例 π有变动 ?

1 定义域: {x | x ≠ 2k + , k ∈ Z} 3
周期: T = 2

值域:R

奇偶性:非奇非偶

5 1 单调区间:( ? + 2k, + 2k),k ∈ Z 3 3

2 对称中心:(k- , 0), k ∈ Z 3

应用提升
? 13π 例2.比较tan? ? ? 4 ? ? 17π ?与tan? ? ? ? 5 ? ?的大小 ? ?

应用提升 练习1:试着画出y =| tan x | 和y = tan | x |
并讨论它们的单调性,周期性和奇偶性.
练习2.如果α、β ∈ ( , π )且 tan α < cot β , 2 那么必有( ) A.α < β 3π C.α + β < 2 B.β < α 3π D.α + β > 2

π

应用提升
例3.求函数y = tan x ? 1 的定义域 3 ? tan x

例4.试讨论函数y = log a tan x的单调性

小结回顾
正切函数的基本性质

课后作业
1.书本P45练习,做书上 .书本 练习, 练习 做书上. 2.P46习题 组6,7,8,9;B组2 做本子上 . 习题A组 习题 ; 组


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