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一元三次方程的求根公式及其推导


一元三次方程的求根公式及其推导
由于任一个一般的一元 三次方程Ax3 ? Bx 2 ? Cx ? D ? 0均可经过移轴 B 3 B2 B 2B 3 BC 公式化为A( x ? ) ? (C ? )(x ? )?( ? ? D) ? 0 2 3A 3A 3A 3A 27 A 即(3 Ax ? B ) 3 ? (9 AC ? 3 AB)(3 Ax ? B ) ? (2 B 3 ? 9 ABC ? 27 A 2 D ) ? 0, x 3 ? px ? q ? 0的特殊形式 ,因此,只需研究此类方 程即可。 1.实数根的判定: 设F ( x) ? x 3 ? px ? q, 则F ( x) ? 0即方程x 3 ? px ? q ? 0, F ( x)零 点的个数即方程 x 3 ? px ? q ? 0实数根的个数。 (1).若p ? 0, 则方程F ' ( x) ? 0没有实根,F ( x)有唯一零点 ? F ( x) ? 0 有唯一实数根。 ( 2).若p ? 0, 则方程F ' ( x) ? 0有一实根,F ( x)有唯一零点 ? F ( x) ? 0 有唯一实数根。 (3)若p ? 0,则方程F ' ( x) ? 0有两实根,为: p p ,x 2 ? ? ? ? ? 。 3 3 1 当F (? ) ? F ( ? ) ? (81q 2 ? 12 p 3 ) ? 0时,F ( x)有唯一零点 ? F ( x) ? 0 81 有唯一实数根。 x1 ? ? ? ? 当F (? ) ? F ( ? ) ? 1 (81q 2 ? 12 p 3 ) ? 0时,F ( x)有两个零点 ? F ( x) ? 0 81 有两个实数根。 1 (81q 2 ? 12 p 3 ) ? 0时,F ( x)有三个零点 ? F ( x) ? 0 81 有三个实数根。

当F (? ) ? F ( ? ) ?

1

为研究方便,不妨设 p.q不同时为0( p.q同时为0时方程很容易求解 ),则当p ? 0时, 1 一定有 (81q 2 ? 12 p 3 ) ? 0。令? ? 81q 2 ? 12 p 3,则有以下结论: 81 ? ? 81q 2 ? 12 p 3 ? 0时,方程x 3 ? px ? q ? 0有唯一实数根。 ? ? 81q 2 ? 12 p 3 ? 0时,方程x 3 ? px ? q ? 0有两个实数根。 ? ? 81q 2 ? 12 p 3 ? 0时,方程x 3 ? px ? q ? 0有三个实数根。 2.求根公式的推导: ( 1) .实根式的推导: 一元三次方程的求根公 式由演绎推理是很难解 出的,通常由归纳思维 得到。通过对 一元一次,一元二次以 及特殊一元高次方程求 根公式的归纳,我得到 了一元三次方 程的求根公式应为 x ? A ? B的形式。其中, A,B为两个待定的代数式。 下面的工作 就是设法求出A,B。 由于x ? A ? B, 故x 3 ? ( A ? B ) 3 ? A 3 ? B 3 ? 3 AB( A ? B ) ? A 3 ? B 3 ? 3 ABx, 即有x 3 ? 3 ABx ? ( A 3 ? B 3 ) ? 0。 对比x 3 ? px ? q ? 0, ? p ? 3 3 p3 ? ? ? 3 AB ? p ? AB ? ? ?A B ? ? 可令? ,即? 3 ,? 27 。 ? ( A3 ? B 3 ) ? q 3 3 3 3 ? ? ? ? A ? B ? ?q ? A ? B ? ?q ? p3 易知,A 3,B 3为一元二次方程 a 2 ? qa ? ? 0的两根。 27 p3 1 若判别式q 2 ? 4(? ) ? (81q 2 ? 12 p 3 ) ? 0, 27 81 ? ? 9q ? 81q 2 ? 12 p 3 ? a1 ? ? 18 则有? 。 ? 9q ? 81q 2 ? 12 p 3 ? a2 ? ? 18 ? 13 ? 2 3 3 ? A ? a1 ? 6 ? 108q ? 12 81q ? 12 p 如果不考虑A,B顺序,则有? 1 ? B ? 3 a 2 ? 3 ? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3 6 ? 3 p 1 若判别式q 2 ? 4(? ) ? (81q 2 ? 12 p 3 ) ? 0,虽然我们清楚方程有 二或三个实数根, 27 81 但却又无法直接解出( 等于零时只能解出一个 ,小于零时会出现虚数 )。故由以 上方法只能导出有一个 实数根的方程的求根公 式,为: x? 13 1 ? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3 ? 3 ? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3 6 6

2

当方程有二或三实数根 时,我们需另辟一条求 根路径。考虑到角函数 三倍角 公式与一元三次方程有 很大的相似性,故我们 可由角函数三倍角公式 作线性 变换,从而得到一元三 次方程的求根公式。研 究之初,我选择的是余 弦三倍 角公式。 余弦三倍角公式: cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos? , 若将 cos 3?看作已知量, cos?看作未知量x,则上述等式可化为方 程4 x 3 ? 3 x ? cos 3? ? 0。 由于 cos 3? ? cos(3? ? 2k? ),故x ? cos 对于方程x 3 ? px ? q ? 0, 可令X ? Ax,另设有非零实数 B,使得 q ? 1, B 3? ? 2k? arccos3? ? 2k? ? cos , (k ? 0, 1, 2)。 3 3

( AX ) 3 p( AX ) q 则上述方程可化为 ? ? ? 1, B B B 3 pA q A 即 ?X3 ? ? X ? ? 0。 B B B 3 对比4 x ? 3x ? cos 3? ? 0, ? A3 2 2 ? ? A? ? 3p A?? ? 3p ? 4 ? ? ? ? B ? ? 3 3 可令? ,得? 或? 。 ? pA ? ?3 ?B ? ? 2 p ? 3 p ? B ? 2 p ? 3 p ? ? ?B 9 9 ? ? ? 不妨取第一组解(当然 ,取第二组也未尝不可 ), q 9q 则 cos 3? ? ? ? , B 2 p ? 3p 因此,X ? cos ?1 ? ?? 9q arccos3? ? 2k? ? cos? ? arccos ? 2k? ??, ?? 3 3? 2 p ? 3p ? ?? ? ? ?1 ? ?? 9q 2 ?k ? 0,1,2? x ? AX ? ? 3 p cos? ? arccos ? 2k? ??, ?? 3 3? 2 p ? 3 p ? ?? ? ? p?0 ? ? 9q 上式成立的条件为 ,解得81q 2 ? 12 p 3 ? 0 ! ? ?1 ? 2 p ? 3p ? 也正是当方程有二或三 个实数根时上式成立。 ?1 ? ?? 9q 2 ?k ? 0,1,2,i ? k ? 1? ? 3 p cos? ? arccos ? 2k? ??, ?? 3 3? 2 p ? 3 p ? ?? ? ?

因此,得到方程有二或 三个实数根时的求根公 式: xi ?

3

作进一步研究可知, ? ? 0时,x 2 ? x3。

?2?.卡丹公式的推导:

由前面的论证可知,若 设方程的一根为 x1 ? A ? B,则方程可化为 x 3 ? 3 ABx ? ( A 3 ? B 3 ) ? 0的形式。 由韦达定理可知, x1 ? x 2 ? x3 ? 0 ? ? ? x1 x 2 ? x 2 x3 ? x3 x1 ? ?3 AB, ? x1 x 2 x3 ? A 3 ? B 3 ? 将x1 ? A ? B代回上式,得: ? x 2 ? x 3 ? ?( A ? B ) 。 ? 2 2 ? x 2 x3 ? A ? AB ? B 易知,x 2,x3为方程t 2 ? ? A ? B ?t ? A 2 ? AB ? B 2 ? 0的两个根。

? ? A ? B ? ? 3i ? A ? B ? , 2 ? ? A ? B ? ? 3i ? A ? B ? ? 1 ? 3i ? 1 ? 3i 即x 2 ? t1 ? ? A? B ? ?A ? ? B, 2 2 2 ? ? A ? B ? ? 3i ? A ? B ? ? 1 ? 3i ? 1 ? 3i x3 ? t 2 ? ? A? B ? ? A ? ?B。 2 2 2 其中,?, ?为1的虚立方根。 故t ? 将A,B的值代回,即可得卡丹 公式: 1 1 x1 ? A ? B ? 3 ? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3 ? 3 ? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3 6 6 x 2 ? ?A ? ? B ? x 3 ? ? A ? ?B ?

? ? 判别式为?A ? B? ? 4?A ? AB ? B ? ? ?3?A ? B? ? ??
2 2 2 2

3i ? A ? B ?

?

2

?3
6

? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3 ? ? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3 ?

?3
6

? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3 ? 108q ? 12 81q 2 ? 12 p 3

?3

?3
6

6 3.求根公式的推广:

由于对任一个一元三次 方程Ax3 ? Bx 2 ? Cx ? D ? 0均可化为

?3 Ax ? B ?3 ? ?9 AC ? 3 AB??3 Ax ? B ? ? ?2 B 3 ? 9 ABC ? 27 A 2 D ? ? 0的形式,故可

设t ? 3 Ax ? B,p ? 9 AC ? 3 AB,q ? 2 B 3 ? 3 ABC ? 27 A 2 D, 则可得到一元三次 方程一般式的判别式和 求根公式,结果如下: 判别式:? ? 81A 4 D 2 ? 54A 3 BCD ? 12A 3C 3 ? 12A 2 B 3 D ? 3 A 2 B 2 C 2, 实数根求根公式:

4

? ? 0时, 1 3 1 3 B x? ? 108A 2 D ? 36ABC ? 8 B 3 ? 12 ? ? ? 108A 2 D ? 36ABC ? 8 B 3 ? 12 ? ? 6A 6A 3A ? ? 0时, ?1 ? ?? B 2 27 A 2 D ? 9 ABC ? 2 B 3 ?k ? 0,1,2,i ? k ? 1? B 2 ? 3 AC cos? ? arccos ? 2k? ?? ? , 3 2 ?? 3 A 3A 3? ? 6 AC ? 2 B B ? 3 AC ? ? ? ? 卡丹公式: 1 3 1 3 B x? ? 108A 2 D ? 36ABC ? 8 B 3 ? 12 ? ? ? 108A 2 D ? 36ABC ? 8 B 3 ? 12 ? ? 6A 6A 3A ? 3 ? 3 B x? ? 108A 2 D ? 36ABC ? 8 B 3 ? 12 ? ? ? 108A 2 D ? 36ABC ? 8 B 3 ? 12 ? ? 6A 6A 3A ? 3 ? 3 B x? ? 108A 2 D ? 36ABC ? 8 B 3 ? 12 ? ? ? 108A 2 D ? 36ABC ? 8 B 3 ? 12 ? ? 6A 6A 3A 至此,完成一元三次方 程求根公式的推导。 xi ?

?

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