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河东区2017届高三一模理科数学试题【答案】


2017 年 天津市 河东区 高三一模 理科试卷 解析
一、选择题
1.B 解析:集合 Q : -3 ? x ? 3 ,

P : ?1,2,3,4? ,所以 P ? Q = ?1, 2, 3?

所以选择 B 点评:本题主要考察集合的运算以及解绝对值不等式的基础,属于基础题。 2.C 解析:做出可行域为: 可行域为三角形 ABC 及其内部,其中 A -1,1 ,B 2,1 ,C 1,0 由 z ? x ? 2y 可知, y ?

?

?

? ?

? ?

1 1 x ? z, 2 2

所以平移得到过点(1,0)时取到最大值为 1,故选 C. 点评:本题考查不等式中的直线的线性规划的问题,主要先把可行域画准确,然后平行过程中要注意 每个经过的点的情况,虽然有点复杂,但不难,属于基础题。 3. B 解析:S=1,k=1,k=1+1=2,S=2×1+2=4 k<4 S=4,k=2,k=1+2=3,S=2×4+3=11 k<4 S=12,k=3,k=1+3=4,S=2×11+4=26 k=4 S=26,k=4,k=1+4=5,S=2×26+5=57 k>4 故选 B. 4. C

x ? 1 ? 2 ? ?1 ? x ? 3
解析: x ( x ? 3) ? 0 ? 0 ? x ? 3 ,故选 C.

(0,3) ? ( ?1,3)
5.D 解 析 : 由已知条件 cos B ?

3 4 a b , 直 接 求 得 a=5 , ? ,得 sin B ? ,由正弦定理 5 5 sin A sin B

所以选择 D. 点评:本题主要考察在三角形中正弦定理的应用,已知两角与一角的对边求另一角的对边,直接应用 正弦定理求解即可,属于简单题. 6.D 解析: 因为0 ? a ? 2 ln

3 9 ? ln ? ln e ? 1, 2 4

1

b ? log2

?1? 1 ? 0 ,c ? ? ? 3 ?2?

?0.3

? 2 0 . 3 ? 1,

所以 b<a<c,所以选 D. 点评:本题考查指数与对数的函数值的大小比较,考查基本知识的应用. 7. B 解析: 如图所示,由抛物线 x2=4y 可得焦点 F(0,1). 设直线 AB 的方程为:y=kx+1,(k≠0). ∵AB⊥CD,可得直线 CD 的方程,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 联立 y=kx+1,x2=4y 化为 x2-4kx-4=0,得 x1+x2=4k,x1x2=-4. 同理可得 x3x4=-4. ∴FA?FB=(x1,y1-1)?(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2=-4(1+k2). 同理可得 FC?FD=?4(1+1k2).∴FA?FB+FC?FD=?4(2+k2+1k2)≤?4(2+2k2?1k2)=-16,当且仅当 k=±1 时取等号. ∴FA?FB+FC?FD 的最大值等于-16. 故选:B. 点评: 设直线 AB 的方程为:y=kx+1,(k≠0).由于 AB⊥CD,可得直线 CD 的方程,分别与抛物线的方程联 立 可得根与系数的关系,再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出。 8. D 解析: 函数在一个周期内有且只有 2 个不同的自变量使其函数值为 54,因此该函数在区间[a,a+3](该区间的 长 度为 3)上至少有 2 个周期,至多有 4 个周期, 因此,{3? 2T3? 4T,即 34? T? 32,34? 62k+1? 32,解得 32? k? 72, 又 k∈N,从而 k=2 或 3.故选 D. 点评: 将所求的 k 的值进行转化与化归,列出关于 k 的不等式是解决本题的关键,充分利用函数的周期性和 区 间长度的关系,注意不等式思想的运用。

二、填空题
9. 设复数 z 满足关系 z.i=-1+ 解析: Z.i?=-i-

3 3 ,z= +i 4 4

3 ,那么 z= 4

点评:利用复数计算求解,分母有理化,属于简单题 10. 已知函数 f(x)=-x?+ax?-x-1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 解析:∵f(x)单调
2

∴函数无极值 ∴ △≤0,即 a∈ [ ? 3, 3] 点评:已知单调性反求参数范围,属于判别式小于等于零求解,属于简单题

11.已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为:

5 3

解析:由三视图可知棱柱的底面为边长为 2 的正方形减去两个直角三角形, 棱锥的高为 2.棱锥的底面积为 2 ? 2 ?

1 1 5 ? 2 ? 1 ? ? 1? 1 ? 2 2 2 1 5 5 5 所以棱锥的体积 V ? ? ? 2 ? ,故答案为 . 3 3 2 3

点评:本题主要考查了棱锥的三视图和体积计算,属于简单题.
n

1? ? 12.若 ? x 2 ? 3 ? 展开式的各项系数之和为 32,则其展开式中的常数项为: 10 x ? ? 1? ? 解 析 : 因 为 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 为 32 , 所 以 2 ? 32 , 解 得 n=5 , ? x 2 ? 3 ? 展 开 式 的 通 项 为 x ? ?
n n

Tr ?1 ? C5r x10?5r , 令 10-5r=0,解得 r=2,可得常数项为 C52 ? 10 ,所以正确答案为 10.
点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项 的系数,属于基础题. 13.已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 ? lg 8 ? lg 2 ,则 解析:由 lg 2 ? lg 8 ? lg 2 可得 x ? 3 y ? 1
x? y
x y x y

x? y 的最小值是_______ xy

又因为 xy
?1?

?

1 1 1 1 ? ? ( ? )( x ? 3 y ) x y x y 3y x ? ? 4? 2 x y 3

x 3y ? ?3? 4? 2 x y

所以

x? y 的最小值是 4 ? 2 3 xy

14.边长为 2 的正三角形 ABC 内有点 P, PB ? PC ? 1 ,求 AP ? AB 的范围_________ 解析:以 A 为原点,AC 为 x 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0), B (1, 3 ), C ( 2,0) , 设 P ( x, y ) ,则 PB ? (1 ? x, 3 ? y ), PC ? ( 2 ? x,? y )

3

PB ? PC ? 2 ? 3x ? x 2 ? y 2 ? 3 y ? 1 3 3 2 ) ?2 整理得( x ? ) 2 ? ( y ? 2 2
又因为 且

AP ? AB ? x ? 3 y

AB : y ? 3 x, AC : y ? 0

算出 ( x ?

3 2 3 2 ) ? (y ? ) ? 2 与直线 AB , AC 的交点为 2 2 3? 5 3 (3 ? 5 ) 3? 5 ( , )和 ( ,0 ) 4 4 2

可以得到其最大值为

3? 5 2

在结合圆心坐标 ( ,

3 3 3 ) 可以算得最小值为 ? 2 2 2 2
3? 5 ? ? 2 ?

所以取值范围为 ? ? 2 ,

?3 ?2

三、解答题
15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x ? (1)若 sin x ?

? ?

p p? x ? [ ,p ] . x ? 2cos , 2 6? ?

4 ,求函数 f(x)的值; 5

(2)求函数 f(x)的值域和对称轴 解析: 解:(1)

? p p p? f ( x) ? 2sin ? x ? ? ? 2cosx ? 2sin x cos ? 2cos x sin ? 2cosx 6 6 6? ? ? 3sin x ? cos x ? 2cosx ? 3 sin x ? cos x
4 p 3 4 3?3 sin x ? , x ?[ , p ] \ cos x ? ? , 故 f ( x) ? 5 2 5 5

(2)

? p? p f ( x) ? 2sin ? x ? ? ? 2cosx ? 2sin( x ? ) 6? 6 ?

4

p 1 p p p 5p x ?[ , p ],\ x ? ?[ , ], sin( x ? ) ?[ ,1] 故 f ( x) ?[1,2] 2 6 2 6 3 6
值域为[1,2];对称轴 x ?

2p p p ? kp ? , x ? kp ? 3 6 2

点评:本题作为大题的第一道题,比较简单,主要考查了三角函数化简求值,两角和公式的应用,同角三 角函数的基本关系的应用,解题时要注意角的范围,正确判断出三角函数的正负。灵活利用三角函数 恒等变形把函数解析式进行变形是本题的突破点。 16、(本小题满分 13 分) 一个箱中原来装有大小相同的 5 个球,其中 3 个红球,2 个白球。规定:进行一次操作是指“从箱中随即 取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白球,则球不放回,并另补一个红球放 回箱中。” (1) 求进行第二次操作后,箱中红球个数为 4 的概率 (2) 求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望。 解析:(1)设 A1 表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”, B1 表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”, A2 表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”, B2 表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”。 则 A1B2 表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球,第二次操作从箱中取出的是白球”。由条件 概 率计算公式得 P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=

3 2 6 ? = 5 5 25
由条

B1A2 表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球,第二次操作从箱中取出的是红球”。 件概 率计算公式得 P(B1A2)=P(B1)P(A2|B1)=

2 4 8 ? = 5 5 25

A1B2+B1A2 表示“进行第二次操作后,箱中红球个数为 4”,又 A1B2 与 B1A2 是互斥事件。

\ P(A1B2+B1A2)=P(A1B2)+P(B1A2)=

6 25

(2)设进行第二次操作后,箱中红球个数为 X,则 X=3,4,5.

3 3 9 ? ? 5 5 25 14 P(X=4)= 25
P(X=3)=
5

P(X=5)=

2 1 2 ? ? 5 5 25

进行第二次操作后,箱中红球个数 X 的分布列为: X P(X) 3 4 5

9 25

14 25

2 25

进行第二次操作后,箱中红球个数 X 的数学期望 EX= 3 ?

9 14 2 93 ?4? ?5? ? 25 25 25 25

点评:本题考察离散型随机变量及其分布列,以及期望问题。属于简单题。

17. 如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ?

2

,M 为 DC 中点,将 ?ADM 沿

AM 折起,是的平面 ADM ? 平面 ABCM。 (1)求证: AD ? BM . (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

2 5 5

解析: (1) 由已知得: AM ? BM ? 2, AB ? 2 2

\ AM 2 ? BM 2 ? AB 2 MB ? AM 又 ? 平面ADM ? 平面ABCM 平面ADM ? 平面ABCM ? AM \ BM ? 平面ADM 又 ? AD ? 平面ADM
(2)设 AM 中点 O,如图建立空间直角坐标系 O-xyz

\ BM ? AD

D (0,0,1), B (?1,2,0), A(1,0,0), M (?1,0,0)

6

设 DE ? ? DB ,由 DB ? ( ?1,2,?1) ? DE ? ( ?? ,2? ,?? ) , 从而 E ? ( ?? ,2? ,1 ? ? ) 由已知,平面 ADM 的一个法向量 ?1 ? (0, 1, 0) 设平面 AME 的法向量为 ? 2 ? ( x , y , z) ME ? (1 ? ? ,2? ,1 ? ? ), MA ? (2,0,0)

\ ME ?? 2 ? 0, MA ?? 2 ? 0, 即? 2 ? (0,1 ? ? ,?2? ) \ COS? ?|
解得: ? ?

? 2 ? MB 1? ? 2 5 ? |? 5 | ? 2 | ? | MB | (1 ? ? ) 2 ? 4?2 ? 5
1 5
故 E (? ,

1 2 4 1 , ), 点E在BD的 处 5 5 5 5

点评:本题考查线面垂直、二面角,正确运用面面垂直的性质,掌握线面垂直的判定方法, 正确的运用向量法是解决本题的关键。 18. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1, an ?1 ? 2 S n ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ,点 P (bn , bn ?1 ) 在直线

x ? y ? 2 ? 0 上, n ? N * ,
(1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (2)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn an

解析:(1)由已知 an ?1 ? 2 S n ? 1 得 an ? 2 S n ?1 ? 1 , ( n ? 2) 两式做差得, an ?1 ? an ? 2an , 即

an ?1 ? 3 ,所以数列 ?an ? 是以 a1 ? 1 为首项,以 3 为公比的等比数列. an

\ an ? 3n ?1,n ? 2 , 当 n ? 1时,a1 ? 1与已知a1一致 ,
所以

an ? 3n ?1 .
*

因为 P (bn , bn ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, n ? N ,所以有,

bn ? bn ?1 ? 2 ? 0 ? bn ?1 ? bn ? 2 ,
所以数列 ?bn ?是以 b1 ? 1 为首项,2 为公差的等差数列, 所以 bn ? 2n ? 1
7

(2)? cn ?

bn 2n ? 1 ,所以由(1)可得 cn ? n ?1 3 an

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ?1 ? cn Tn ? 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2 ? 3 ? 1 2(n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? ? ?? ? ? n ?1 0 1 2 3 3 3 3n ? 2 3

1 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2 ? 3 ? 1 2(n ? 1) ? 1 2n ? 1 Tn ? ? ? ?? ? ? n 1 2 3 3 3 3 3 3n ?1 3
1 1 (1 ? n ?1 ) n 2n ? 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ? ? ? 3 做差得 Tn ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? 1? 2 3 n 0 1 3n 3 3 3 3 3 3 1? 3
整理得 Tn ? 3 ?

n ?1 3n ?1

点评:此题考察了已知 S n 求an ,并且根据错位相减法求差比数列前 n 项和.属于基础简单题. 19 .已知椭圆 C:

2 x2 y2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个顶点为 ? 0, ?1? ,离心率 e ? 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程 (2)过 M(0,m)(-1<m<0)的直线 L 交椭圆 C 于 A,B 两点,试问:在椭圆 C 上是否存在定点 T,使 得无论直线 L 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若存在,求出 m 的值及定点 T 的坐标;若不存在, 请说明理由。 解析:

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? x2 c 2 ?a ? 2 ? ? y2 ? 1 (1)由题意得 ?e ? ? ,解得 ? ,因此椭圆方程为 2 a 2 ? ?b ? 1 ? ? b 1 ? ?
(2)?当直线斜率不存在时,直线方程为 x ? 0 ,圆方程是 x ? y ? 1 ,此时与椭圆交点为 (0,1) ,
2 2

(0, ?1)
?当直线斜率为 0 时,直线方程为 y ? m ,圆心是 ? 0, m ? ,半径为 r ? 圆方程为: x ? ? y ? m ? ? 2 ? 2m
2 2 2

2 ? 2m 2

当定点为 (0,1) 时,解得 m ? ?

1 1 , 当定点为 (0, ?1) 时,解得 m ? ? ? ? ? 1, 0 ? ,舍去。 3 3 1 故定点有可能是 T(0,1) ,此时 m ? ? 3
8

?当直线斜率存在且不为 0 时,设斜率为 k,此时直线方程为 y ? kx ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 坐标满足

1 3

4k ? ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? ? y ?1 3 ? 2 k 2 ? 1? ? 4 16 ?2 ? 2 2 即 ? 2k ? 1? x ? kx ? ? 0 ,则有 ? ? 16 3 9 ? y ? kx ? 1 ?x ? x ? ? 1 2 ? ? 3 9 ? 2 k 2 ? 1? ? ? ??? ??? TA ? TB ? ? x1 , y1 ? 1? ? ? x2 , y 2 ? 1 ? ? x1x2 ? ? y1 ? 1 ??y 2 ? 1 ? 4 16 ????????????? ? k 2 ? 1? x1x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 3 9 2 2 ?16 ? 32 k ? 16 ? 32 k ????????????? ?0 9 ? 2 k 2 ? 1? ??? ??? \ TA ? TB 即存在点 T(0,1) 在以 AB 为直径的圆上。
点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆方程的运用,联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理, 同时考查直线和圆的位置关系,考查运算能力,属于较难题目。 20. 已知函数 f(x)=lnx-a(x-1),a∈R (1)、讨论函数 f(x)的单调性 (2)当 x≥1 时,f(x)≤ ln x 恒成立,求 a 的取值范围

x ?1

解析: (1)定义域是(0, ∵f’(x)=

1 ? ax x

+?)

∴a≤0 时,f(x)在(0,+

? )上单调递增
? )单调递减

a>0 时,f(x)在(0,1/a)上单调递增,在(1/a,+ (2)

f ( x) ?

ln x x ln x ? a( x 2 ?1) ? x ?1 x ?1

另 g(x)=xlinx-a(x?-1)(x≥1) ∴g’(x)=lnx+1-2ax,另 F(x)=g’(x)=lnx+1-2ax

1 ? 2 ax x ∴F’(x)=
①a≤0 时,F’(x)>0,g’(x)递增,
9

∴g(x)≥g(1)=0 ∴不合题意 ②0<a<?时 当 x∈(1,1/2a),F’(X)>0 ∴g’(x)在(1,1/2a)递增,所以 g’(x)≥g’(1)=1-2a ∴g(x)在[1,+递增,g(x)≥g(1)=0 所以不合题意 ③a≥?,F’(x)≤0 在[1,+恒成立 ∴g’(x)在[1,+无穷]递减,g’(x)≤g’(1)=1-2a≤0 ∴g(x)在[1,+无穷]递减 综上,a∈[?,+ ? ] 点评:本题第一问属于简单的含参单调性讨论问题,属于基础题;第二问是含参恒成立问题,需要进行分 类讨论,属于难题 ∴g(x)≤g(1)=0

10


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