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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(11)


高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题: 1.若复数 z ? (1 ? i)2 ? A.1 答案:B 2. f ( x) 和 g ( x) 是 R 上的两个可导函数,若 f ?( x) ? g ?( x) ,则有( A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) 是常数函数 C. f ( x) ? g ( x) ? 0 D. f ( x) ? g ( x) 是常数函数 答案:D 3.一个物体的运动方程是 s ? 3t cos t ? x ( x 为常数),则其速度方程为( A. v ? 3cos t ? 3t sin t ? 1 B. v ? 3cos t ? 3t sin t C. v ? ?3sin t D. v ? 3cos t ? 3t sin t 答案:B 4.《论语·学路》篇中说“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴; 礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.” 上述推理用的是( ) A.一次三段论 B.复合三段论 C.不是三段论 D.某个部分是三段论 答案:B 5.如右图,阴影部分面积为( A. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a b

2 ,则 z 的虚部等于( ) 1? i B.3 C. i D. 3i







B. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a c

c

b

C. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a c

c

b

D. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a

b

答案:B
? ab ? ? a 2 ? bc ab ? bd ? ? ?12 ? 6.已知 ? ? ? ? ,则 ? ? ?( 2 ? ? c c ? ? ac ? cd bc ? d ? ?3 0?
2 2


? ?2 7 ? D. ? ? ? 6 ?3 ?

? 7 ?2 ? A. ? ? ? ?36 ?

? 7 ?2 ? B. ? ? ? 6 ?3 ?

? ?27 ? C. ? ? ? ?36 ?

答案:A

6x ,则函数( x ?1 A.有极小值 ?3 ,极大值 3 B.有极小值 ?6 ,极大值 6 C.仅有极大值 6 D.无极值
7.若函数 y ?
2



答案:A 8.已知复数 z 的模等于 1,则 z ? i 的最大值等于( A.1 B.2 C. 5 D.3



答案:B

9.证明: A. 1

n?2 1 1 1 1 ?1? ? ? ??? ? n ? 1(n ? 1) ,当 n ? 2 时,中间式子等于( 2 2 3 4 2n
B. 1 ?



1 2

C. 1 ?

1 1 ? 2 3

D. 1 ?

1 1 1 ? ? 2 3 4

答案:D

10.设 a ? 0 , f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0,f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围
? π? 是 ? 0, ? ,则 P 到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围为( ? 4?
? 1? A. ? 0, ? ? a? ? 1 ? B. ? 0, ? ? 2a ?



? b ? C. ?0, ? ? 2a ?

? b?a ? D. ?0, 2a ? ? ?

答案:B

, 11.若函数 f ( x) ? x3 ? 12 x 在 区间 (k ? 1 k ? 1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是





A. k ≤ ?3 或 ?1≤ k ≤1 或 k ≥ 3 B. ?3 ? k ? ?1 或 1 ? k ? 3 C. ?2 ? k ? 2 D.不存在这样的实数 k 答案:B
z1 ? z2 2

12.定义复数的一种运算 z1 ? z2 ?

等式右边为普通运算) 若复数 z ? a ? bi , , 且实数 a , ) D.

b 满足 a ? b ? 3 ,则 z ? z 的最小值为(

A.

9 2

B.

3 2 2

C.

3 2

9 4

答案:B 二、填空题 13.设复数 z1 ? 1 ? i,z2 ? 3 ? i ,则 z ?
z1 在复平面内对应的点位于第 z2

象限.

答案:四

14.设 a ≥ 0,b ≥ 0,a2 ?

b2 ? 1 ,则 a 1 ? b2 的最大值为 2



答案:

3 2 4

2] 15.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , x ? [?2, 表示的曲线过原点,且在 x ? ?1 处的切线斜

率均为 ?1 ,有以下命题:
2] ① f ( x) 的解析式为: f ( x) ? x3 ? 4 x,x ?[?2,

② f ( x) 的极值点有且仅有一个; ③ f ( x) 的最大值与最小值之和等于零. 其中正确的命题是 答案:①③ .

16.仔细观察下面 4 个数字所表示的图形:

请问:数字 100 所代表的图形中有 答案:20201 三、解答题:

小方格.

, 17.已知函数 y ? x3 ? ax ? 6 的一个单调增区间为 (1 ? ∞) ,求 a 的值及函数的其他单调区间.

解: y? ? 3x 2 ? a .
, ∵函数的一个递增区间为 (1 ? ∞) , ∴1 是方程 y ? ? 0 的一个根. ∴3 ? 12 ? a ? 0 , a ? 3 .∴ y? ? 3x2 ? 3 .

由 3x 2 ? 3 ? 0 得 x ? 1 或 x ? ?1 , ∴ (?∞, 1) 是函数的一个递增区间. ? 由 3x 2 ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 1 . ∴ ( ?11) 是函数的一个递减区间. , ? , , 综上所述, a 的值为 3,函数的递增区间为 (?∞, 1) 和 (1 ? ∞) ,递减区间为 ( ?11) .

18.已知 x ? 1 ,求证: x ? ln(1 ? x) . 证明:设 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) .

1 x ,且 x ? 1 ,∵ f ?( x) ? 0 , ? 1? x 1? x ∴ f ( x) 在 (1 ? ∞) 上是增函数. , 又 f (1) ? 1 ? ln 2 ? 1 ? ln e ? 0 , 即 f (1) ? 0 , ∴ f ( x) ? 0 ,即 x ? ln(1 ? x)( x ? 1) . ∵ f ?( x) ? 1 ?
19.观察给出的下列各式: (1) tan10° · tan 20° ? tan 20° · tan 60° ? tan 60° · tan10° ? 1 ; (2) tan 5° · tan15° ? tan15° · tan 70° ? tan 70° · tan 5° ? 1 .由以上两式成立,你能得到一

个什么的推广?证明你的结论. 解:可以观察到 10° ? 20° ? 60° ? 90° , 5° ? 15° ? 70° ? 90° ,

π π ,且 ?,?,? 都不等于 kπ ? (k ? Z) , 2 2 · · 则有 tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ?· tan ? ? 1 .
故可以猜想此推广式为:若 ? ? ? ? ? ? 证明如下:由 ? ? ? ? ? ?

π π 得? ? ? ? ? ? , 2 2

?π ? 所以 tan(? ? ? ) ? tan ? ? ? ? ? cot ? , 2 ? ? tan ? ? tan ? 又因为 tan(? ? ? ) ? , 1 ? tan ? tan ?

所以 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? cot ? (1 ? tan ? tan ? )cot ? ? tan ? tan ? ? 1 .

20.直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,并且与抛物线相交于 A( x1,y1 ) 和 B( x2,y2 ) 两点
( x1 ? x2 ) .求证:对于此抛物线的任意给定的一条弦 CD ,直线 l 不是 CD 的垂直平分线.用反

证法证明.
p? ? 证明:假设直线 l 是 CD 的垂直平分线,设 l 的斜率为 k (k ? 0) ,则 l 的方程是 y ? k ? x ? ? . 2? ?

1 0) 设直线 CD 与 x 轴的交点坐标为 (q, ,则 CD 的方程是 y ? ? ( x ? q) . k 1 ?1 ? (x 设 C, D 的坐标分别为 ( xc,yc ), d,yd ) ,则 CD 的中点坐标是 ? ( xc ? d d ), ( yc ? yd ) ? . 2 ?2 ?
? y 2 ? 2 px, ? 可知 ( xc,yc ) , ( xd,yd ) 是方程组 ? 的两组解. 1 ? y ? ? ( x ? q) k ?

方程组消去 x ,得 y 2 ? 2kpy ? 2 pq ? 0 .



显然, yc ? yd ,方程①有两个不等的实数根,故 ? ? 4k 2 p2 ? 8 pq ? 0 , 于是有 yc ? yd ? ?2kp , xc ? xd ? (?kyc ? q) ? (?kyd ? q) ? 2k 2 p ? 2q .
p? ? 但 CD 的中点坐标满足方程 y ? k ? x ? ? , 2? ? ∴ yc ? yd ? k ( xc ? xd ? p) ,

即 ?2kp ? k (2k 2 p ? 2q ? p) ,
?1 ? ∴q ? ? p ? ? k 2 ? . ?2 ? ?1 ? 因此有 ? ? 4k 2 p 2 ? 8 pq ? 4k 2 p 2 ? 8 p 2 ? ? k 2 ? ? ?4 p 2 (1 ? k 2 ) ? 0 , ?2 ?

这与①式中 ? ? 0 矛盾,原假定不成立. 所以,直线 l 不是 CD 的垂直平分线. 21.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索 赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x(元) 与年产量 (吨) t 满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元以下称 s 为赔付价格, (1)将乙方的年利润 ? (元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年 产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t 2 (元),在乙方按照获得最大年利 润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

解: (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 ? ? 2000 t ? st . 由 ?? ?
1000 t ?s? 1000 ? s t t

? 1000 ? , ? ? ? 0 ,得 t ? t0 ? ? ? . ? s ?

2

当 t ? t0 时, ? ? ? 0 ;当 t ? t0 时, ? ? ? 0 ,所以 t ? t0 时, ? 取得最大值.
? 1000 ? 因此乙方取得最大年利润的年产量 t0 ? ? . ? (吨) ? s ?
2

(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t 2 .
? 1000 ? 将 t ?? ? 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 ? s ?
2

v?

10002 2 ?10003 . ? s s4

10002 8 ?10003 10002 ? (8000 ? s3 ) , ? ? s2 s5 s5 令 v ? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, v ? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 ,所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 s ? 20 元/吨时,获得最大净收入.
又 v? ? ?


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