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2013届高考数学二轮复习精品教学案专题02 函数与导数(教师版)


【2013 考纲解读】 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念;在实 际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;了解简单的分段函数,并能简单应 用. 2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单 调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力. 3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用;掌握函数的单调性、奇偶性的 综合应用. 4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质 的关系,理解“三个二次”的内在联系,讨论二次方程区间根的分布问题.

7.了解幂函数的概念;结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

1 1 , y ? x 2 的图象,了解它们的变化 x

情况. 8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法;掌握图象变换的规律,能利用 图象研究函数的性质. 9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性 及根的个数;根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征,知道直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义;了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则,求简单函数的导数. 12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求 函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次),会求在闭区间函数的最大值、最小 值(多项式函数一般不超过三次);会用导数解决某些实际问题。 【知识络构建】

【重点知识整合】 一、函数、基本初等函数的图象与性质 1.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质,是函数中最常涉及的性质,特别 注意定义中的符号语言; (2)奇偶性:偶函数其图象关于 y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相

反的单调性; 奇函数其图象关于坐标原点对称, 在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相 同的单调性.特别注意定义域含 0 的奇函数 f(0)=0; (3)周期性:f(x+T)=f(x)(T≠0),则称 f(x)为周期函数,T 是它的一个周期. 2.对称性与周期性的关系 (1)若函数 f(x)的图象有两条对称轴 x=a,x=b(a≠b),则函数 f(x)是周期函数,2|b-a| 是它的一个正周期,特别地若偶函数 f(x)的图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则函数 f(x)是周期 函数,2|a|是它的一个正周期;

3.函数的图象 (1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点; (2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换. 4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质) 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两种情况;对数函数 y= logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两种情况;幂函数 y=xα 的图象和性质,分 幂指数 α>0,α=0,α<0 三种情况. 二、函数与方程、函数的应用 1.函数的零点 方程的根与函数的零点的关系:由函数的零点的定义可知,函数 y=f(x)的零点就是方 程 f(x)=0 的实数根,也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标.所以,方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 2.二分法 用二分法求函数零点的一般步骤: 第一步:确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; 第二步:求区间[a,b]的中点 c; 第三步:计算 f(c): (1)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (2)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (3)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b));

(4)判断是否达到精确度 ε: 即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复(2)~(4). 3.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题 步骤是:(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题; (2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用 数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转译成实际问题 作出解答. 三、导数在研究函数性质中的应用及定积分 1.导数的几何意义

4.闭区间上函数的最值 在闭区间上连续的函数,一定有最大值和最小值,其最大值是区间的端点处的函数值和 在这个区间内函数的所有极大值中的最大者, 最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内 函数的所有极小值的最小者. 5.定积分与曲边形面积 (1)曲边为 y=f(x)的曲边梯形的面积:在区间[a,b]上的连续的曲线 y=f(x),和直线 x=
b |f?x?|dx a,x=b(a≠b),y=0 所围成的曲边梯形的面积 S= ? .当 f(x)≥0 时,S=?bf(x)dx;当 ? a

?a

f(x)<0 时,S=-?bf(x)dx.

?a

(2)曲边为 y=f(x), y=g(x)的曲边形的面积: 在区间[a, b]上连续的曲线 y=f(x), y=g(x), 和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所围成的曲边梯形的面积 S=?b|f(x)-g(x)|dx.当 f(x)≥g(x)时,

?a

S=?b[f(x)-g(x)]dx;当 f(x)<g(x)时,S=?b[g(x)-f(x)]dx.

?a

?a

【高频考点突破】 考点一、函数及其表示 函数的三要素:定义域、值域、对应关系.

两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数, 定义域和对应关系相同 的两个函数是同一函数. 1.求函数定义域的类型和相应方法 (1)若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围, 只需构建并解不等式(组)即可. (2)对于复合函数求定义域问题,若已知 f(x)的定义域[a,b],其复合函数 f(g(x))的定义 域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出. (3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义. 2.求 f(g(x))类型的函数值 应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值、图像、解不等式等问题,必须依据条 件准确地找出利用哪一段求解;特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性. 1 例 1、函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是 1-x A.(-∞,-1) C.(-1,1)∪(1,+∞) B.(1,+∞) D.(-∞,+∞) ( )

? ?g?x?+x+4,x<g?x?, 【 变 式 探 究 】 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x∈R) , f(x) = ? 则 f(x) 的 值 域 是 ?g?x?-x,x≥g?x?. ?

(

) 9 A.[- ,0]∪(1,+∞) 4 9 C.[- ,+∞) 4 解得 x<-1 或 x>2. 令 x≥g(x),即 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.
? 2 ?x +x+2?x<-1或x>2?, 故函数 f(x)=? 2 ?x -x-2?-1≤x≤2?. ?

B.[0,+∞) 9 D.[- ,0]∪(2,+∞) 4

解析:令 x<g(x),即 x2-x-2>0,

当 x<-1 或 x>2 时,函数 f(x)>f(-1)=2; 1 当-1≤x≤2 时,函数 f( )≤f(x)≤f(-1), 2 9 即- ≤f(x)≤0. 4

9 故函数 f(x)的值域是[- ,0]∪(2,+∞). 4 答案:D 考点二、函数的图像 作函数图像有两种基本方法: 一是描点法; 二是图像变换法, 其中图像变换有平移变换、 伸缩变换、对称变换. x 例 2、函数 y= -2sinx 的图像大致是 2 ( )

【变式探究】函数 y=xln(-x)与 y=xlnx 的图像关于 A.直线 y=x 对称 C.y 轴对称 B.x 轴对称 D.原点对称

(

)

考点三、函数的性质 1.单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判 定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法.对于选择题和填空题,也可用一些命题,如 两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数等. 2.函数的奇偶性反映了函数图像的对称性,是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可 以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是简化问题的一种途 径.

例 3、对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计 算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是 A.4 和 6 C.2 和 4 B.3 和 1 D.1 和 2 ( )

考点四 二次函数的图像与性质: (1)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线 ①过定点(0,c);
2 b b 4ac-b ②对称轴为 x=- ,顶点坐标为(- , ). 2a 2a 4a

b b (2)当 a>0 时,图像开口向上,在(-∞,- ]上单调递减,在[- ,+∞)上单调递增, 2a 2a 4ac-b2 有最小值 ; 4a b b 当 a<0 时,图像开口向下,在(-∞,- ]上单调递增,[- ,+∞)上单调递减,有 2a 2a 4ac-b2 最大值 . 4a 例 4、已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解:(1)当 a=-1 时, f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5], ∴x=1 时,f(x)取得最小值 1; x=-5 时,f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 的图像的对称轴为直线 x=-a, ∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, ∴-a≤-5 或-a≥5.

故 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 【变式探究】设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,如果 f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则 f(x1+x2)= ( ) A.- C.c b 2a b B.- a 4ac-b2 D. 4a

【方法技巧】求二次函数在某段区间上的最值时,要利用好数形结合,特别是含参数的两 种类型:“定轴动区间,定区间动轴”的问题,抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和 区间中点,一轴指的是对称轴. 考点五 指数函数、对数函数及幂函数 指数函数与对数函数的性质:
x

指数函数 y=a (a>0 且 a≠1) 定义域 值域 不变性 (-∞,+∞) (0,+∞) 恒过定点(0,1)

对数函数 y=log x(a>0 且 a≠1)
a

(0,+∞) (-∞,+∞) 恒过定点(1,0)

1.对于两个数都为指数或对数的大小比较:如果底数相同, 直接应用指数函数或对数 函数的单调性比较;如果底数与指数(或真数)皆不同,则要增加一个变量进行过渡比较,或 利用换底公式统一底数进行比较. 2.对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论,解决对 数问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求解. 例 5、已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图像与 函数 y=|lgx|的图像的交点共有 A.10 个 C.8 个 B.9 个 D.1 个 ( )

解析:画出两个函数图像可看出交点有 10 个.

答案:A 考点六 函数的零点 1.函数的零点与方程根的关系: 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根, 即函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x) 的图像交点的横坐标. 2.零点存在性定理: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,且有 f(a)· f(b)<0,那么, 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x) =0 的根. 例 6、 函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内 A.没有零点 C.有且仅有两个零点 ( )

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

【变式探究】在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 1 A.(- ,0) 4 1 1 C.( , ) 4 2 1 B.(0, ) 4 1 3 D.( , ) 2 4

(

)

1 解析:因为 f( )=e 4

1 4

1 +4× -3=e 4

1 4

1 -2<0,f( )=e 2

1 2

1 +4× -3=e 2

1 2

-1>0,所以 f(x)

1 1 =ex+4x-3 的零点所在的区间为( , ). 4 2 答案:C 【方法技巧】函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①数值的确定;②所在区间

的确定;③个数的确定.解决这类问题的常用方法有解方程、根据区间端点函数值的符号数 形结合,尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解. 考点七 函数的应用 例 7、如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度为 v(v >0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:

(1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|× 成正比,比例系数 S 1 为 ; 10 1 (2)其他面的淋雨量之和, 其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量. 当移动距离 d=100, 2 3 面积 S= 时, 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5, 试根据 c 的不同取值范围, 确定移动速度 v, 使总淋雨量 y 最少.

10 ①当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数. 3 3c 故当 v=10 时,ymin=20- . 2 10 ②当 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数, 3

故当 v=c 时,ymin=

50 . c

【变式探究】某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、 乙两地间运输货物,运输成本由 燃料费用和其他费用组成,已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例 系数为 0.5),其他费用为每小时 800 元,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时. (1)请将从甲地到乙地的运输成本 y(元)表示为航行速度 x(海里/小时)的函数; (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

故当货轮航行速度为 40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. 1 600 法二:由(1)y=150?x+ x ?(0<x≤50) ? ? 1 600 1 600 令 f(x)=x+ (0<x≤50),f′(x)=1- 2 , x x 则 x∈(0,40)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 则 x∈(40,50)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ∴x=40 时,f(x)取最小值 80, ymin=12 000. 故当货轮航行速度为 40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. 【方法技巧】应用函数知识解应用题的步骤 (1)正确地将实际问题转化为函数模型,这是解应用题的关键,转化来源于对已知条件 的综合分析、归纳与抽象,并与熟知的函数模型相比较,以确定函数模型的种类. (2)用相关的函数知识,进行合理设计,确定最佳解题方案, 进行数学上的计算求解. (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答. 考点八 利用导数求切线

导数的几何意义: (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线的斜率, 即 k=f′(x0). (2)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)= f′(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s′(t)=v(t),v′(t)=a(t). 例 8、曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 ( A.-9 C.9 B.-3 D.15 )

【方法技巧】求曲线 y=f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点 P(x0,y0),求切线方程:求出切线的斜率 f′(x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率 k,求切线方程: 设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f′(x0)解得 x0,再 由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点), 求切线方程: 设切点 P(x0,0), y 利用导数求得切线斜率 f′(x0), 再由斜率公式求得切线斜率.列方程(组)解得 x0,再由点斜式或两点式写出方程. 考点九、利用导数研究函数的单调性 函数的单调性与导数的关系: 在区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 f(x)在区间(a, b)上单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减. 例 9、设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性. 解:由题知 a>0,x>0, f ′(x)= 2a?1-a?x2-2?1-a?x+1 , x

令 g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1, (1)当 a=1 时,g(x)=1>0,f ′(x)>0,

故 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 0<a<1 时,g(x)的图像为开口方向向上的抛物线, Δ=[-2(1-a)]2-8a(1-a)=4(1-a)(1-3a) 1 1 3 若 ≤a<1,Δ≤0,g(x)≥0,f ′(x)≥0,仅当 a= ,x= 时取等号, 3 3 2 ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;

1 综上,当 0<a< 时,f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减; 3 1 当 ≤a≤1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 3 当 a>1 时,f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减. ?1-a?- ?1-a??1-3a? ?1-a?+ ?1-a??1-3a? 其中 x1= ,x2= . 2a?1-a? 2a?1-a? 考点 10、利用函数单调性求极值 1.若在 x0 附近左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在 x0 附近左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值. 2.设函数 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b]上必有最大值和最 小值且在极值点或端点处取得. 1 1 例 10、设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 (1)若 f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3

16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 1 1 解:(1)由 f′(x)=-x2+x+2a=-(x- )2+ +2a, 2 4 2 2 2 当 x∈[ ,+∞)时,f′(x)的最大值为 f′( )= +2a; 3 3 9 2 1 令 +2a>0,得 a>- . 9 9 1 2 所以,当 a>- 时,f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间. 9 3

【方法技巧】 1.利用导数研究函数的极值的一般步骤 (1)确定定义域. (2)求导数 f′(x). (3)①若求极值,则先求方程 f′(x)=0 的根,再检验 f′(x)在方程根左、右值的符号, 求出极值.(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内) ②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程 f′(x)=0 根的大小或存在情况,从 而求解. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较, 其中最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值. 【难点探究】 难点一 函数的性质的应用

例 1、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x) = 2x2-x,则 f(1)=( A.-3 B.-1 C.1 D.3

)

1 (2)设奇函数 y=f(x)(x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈?0,2?时,f(x)= ? ? 3 -x2,则 f(3)+f?-2?的值等于________. ? ?

【点评】 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性,在解 题中根据问题的实际通过变换函数的解析式或者已知的函数关系, 推证函数的性质, 根据函 数的性质解决问题.本题第(2)小题中,实际上就是用已知条件给出了这个函数,解决问题 的基本思路有两条: 一条是把这个函数在整个定义域上的解析式求出, 然后再求解具体的函 数值; 一条是推证函数的性质, 把求解的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值. 本 1 题根据对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t)还可以推证函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称, 函数 2 1 3 又是奇函数,其图象关于坐标原点对称,这样就可以画出这个函数在?-2,2?上的图象,再 ? ? 根据周期性可以把这个函数的图象拓展到整个定义域上, 进而通过函数的图象解决求指定的 函数值,研究这个函数的零点等问题,在复习中要注意这种函数图象的拓展. 1 【变式探究】 设偶函数 f(x)对任意 x∈R, 都有 f(x+3)=- , 且当 x∈[-3, -2]时, f(x) f?x? =4x,则 f(107.5)=( A.10 【答案】B 1 1 1 【解析】 根据 f(x+3)=- ,可得 f(x+6)=- =- =f(x),所以函数 y=f(x)的 f?x? 1 f?x+3? - f?x? B. 1 10 ) C.-10 D.- 1 10

1 1 一个周期为 6.所以 f(107.5)=f(108-0.5)=f(-0.5)=f(0.5)=f(-2.5+3)=- = . f?-2.5? 10 难点二 函数的图象的分析判断 例 2、 函数 f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图象如图 2-1 所示, m, 的值可能是( 则 n )

图 2-1 A.m=1,n=1 B.m=1,n=2 C.m=2,n=1 D.m=3,n=1 【答案】B

【点评】 函数图象分析类试题,主要就是推证函数的性质,然后根据函数的性质、特殊点 的函数值以及图象的实际作出判断, 这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性 质、用函数性质分析问题和解决问题的能力.利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分 析判断类的试题,已经逐渐成为高考的一个命题热点。 x 【变式探究】函数 y= -2sinx 的图象大致是( 2 )

图 2-2 【答案】C 1 【解析】 由 f(-x)=-f(x)知函数 f(x)为奇函数,所以排除 A;又 f′(x)= -2cosx,当 x 2 在 x 轴右侧,趋向 0 时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在 x 轴右边接近原点处为减函数,当 x=2π 1 3 时,f′(2π)= -2cos2π=- <0,所以 x=2π 应在函数的减区间上,所以选 C. 2 2 难点三 基本初等函数性质及其应用
? 1 x ?2 ,x≤1, 例 3、设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ?1-log2x,x>1, ?


)

A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞)

【点评】 本题要注意在分段函数上分段处理的方法,另外就是要注意在解对数方程或者不 等式时一定要注意其真数大于零的隐含条件. 高考对指数函数、 对数函数和幂函数的性质的 考查主要是应用,应用这些函数的性质分析函数图象、解不等式、比较数值的大小等,如下 面的变式. 1 【变式探究】已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=?5?log30.3,则( ? ? A.a>b>c 【答案】C 10 【解析】 令 m=log23.4,n=log43.6,l=log3 ,在同一坐标系下作出三个函数的图象, 3 由图象可得 m>l>n, B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b )

又∵y=5x 为单调递增函数, ∴a>c>b. 难点四 函数的零点和方程根的分布
? ?a,a-b≤1, 例 4、 (1)对实数 a 和 b,定义运算“? ”:a? ? b= 设函数 f(x)=(x2-2)? (x ? ?b,a-b>1.

-x2), x∈R, 若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则实数 c 的取值范围是( 3 A.(-∞,-2]∪?-1,2? ? ? 3 B.(-∞,-2]∪?-1,-4? ? ? 1 1 C.?-1,4?∪?4,+∞? ? ? ? ? 3 1 D.?-1,-4?∪?4,+∞? ? ? ? ?

)

(2)已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N,则 n=________. 【答案】(1)B (2)2

2 ?x2-2,x2-2-(x-x )≤1, 【解析】 (1)f(x)=? 2 ?x-x2,x2-2-(x-x )>1

?x -2,-1≤x≤2, =? 3 ?x-x ,x<-1,或x>2,
2

3

2

则 f(x)的图象如图.

∵y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,

∴y=f(x)与 y=c 的图象恰有两个公共点, 3 由图象知 c≤-2,或-1<c<- . 4 (2)本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用.因为 2<a<3,所以 loga2<1= logaa<loga3,因为 3<b<4,所以 b-2>1>loga2,b-3<1<loga3,所以 f(2)· f(3)=(loga2+2- b)(loga3+3-b)<0,所以函数的零点在(2,3)上,所以 n=2. 【点评】 函数的零点、方程的根,都可以转化为函数图象与 x 轴的交点,数形结合法是 解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点 问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在定理、函数的性质等进行 相关的计算,把数与形紧密结合起来. 难点五 二分法求方程的近似解 1 例 5、用二分法求方程 lnx= 在[1,2]上的近似解,取中点 c=1.5,则下一个有根区间是 x ________.

难点六 函数模型及其应用 例 6、如图所示,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度 为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部 .... 分:(1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|× 成正比,比例系数 S 1 1 为 ;(2)其他面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 d= 10 2 3 100,面积 S= 时, 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少.

【点评】 本题考查函数建模、分段函数模拟的应用.解决函数建模问题,首要的问题是弄 清楚实际问题的意义,其中变量是什么,求解目标是什么,为了表达求解目标需要解决什么 问题,这些问题清楚了就可以把求解目标使用一个变量表达出来.在函数模型中,含有绝对 值的函数本质上是分段函数,解决分段函数问题时,要先解决函数在各个段上的性质,然后 把各段上的性质整合为函数在其整个定义域上的性质. 【方法技巧】 1.根据方程的解和函数零点的关系,可以把方程和函数联系起来,通过函数的零点研究 方程根的分布以及采用逐步缩小方程根所在区间的方法求方程的近似解(二分法),但在实际 中我们一般是求方程解的个数、 或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围, 这时数形结 合是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都是我们所熟悉的函数的解析式, 然后构造两个函数 f(x),g(x),即把方程写成 f(x)=g(x)的形式,这时方程根的个数就是两个 函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 2.二分法求方程的近似解的依据是函数的零点存在定理,当把方程的一个根锁定在区 a+b 间(a,b)上时,取区间的中点 x= ,则下一个有根的区间就是根据函数的零点存在定理 2 进行判断的,即在 f? a+b? ? 2 ?的符号与 f(a),f(b)的值异号的区间内.

3.函数模型是一种重要的数学模型,解决函数建模的关键是找到一个影响求解目标的

变量,使用这个变量把求解目标需要的量表达出来,这样就建立起了函数模型,然后通过研 究这个函数的性质(单调性、最值、特殊点的函数值)等,对实际问题作出解释,其中研究函 数的性质可以采用导数的方法. 在解决实际应用问题的函数建模时, 要注意根据问题的实际 意义确定函数的定义域. 难点七 导数的几何意义的应用 例 7、曲线 y= 1 A.- 2 C.- 2 2 π sinx 1 - 在点 M?4,0?处的切线的斜率为( ? ? 2 sinx+cosx )

1 B. 2 D. 2 2

【变式探究】(1)直线 y=2x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 1 (2)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=-(x-1)2+1,满足 f[f(a)]= 的实数 a 的个数 2 为________.

当 f(a)=-1- 当 f(a)=-1+ 当 f(a)=1-

2 时,a 有 2 个值对应; 2 2 时,a 有 2 个值对应; 2

2 时,a 有 4 个值对应, 2

1 综上可知满足 f[f(a)]= 的实数 a 有 8 个. 2 难点八 导数在研究函数中的应用 例 8、已知函数 f(x)=(x-k)2ek. (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)若对于任意的 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围. e 1 x 【解答】 (1)f′(x)= (x2-k2)e . k k 令 f′(x)=0,得 x=± k. 当 k>0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下:
x

x f′(x) f(x)

(-∞,-k) + ?

-k 0 4k2e
-1

(-k,k) - ?

k 0 0

(k,+∞) + ?

所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,-k)和(k,+∞);单调递减区间是(-k,k). 当 k<0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,k) - ? k 0 0 (k,-k) + ? -k 0 4k2e
-1

(-k,+∞) - ?

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k)和(-k,+∞);单调递增区间是(k,-k). k+1 1 1 (2)当 k>0 时,因为 f(k+1)=e > ,所以不会有?x∈(0,+∞),f(x)≤ . k e e

4k2 当 k<0 时,由(1)知 f(x)在(0,+∞)上的最大值是 f(-k)= . e 1 4k2 1 所以?x∈(0,+∞),f(x)≤ ,等价于 f(-k)= ≤ . e e e 1 解得- ≤k<0. 2 1 1 故当?x∈(0,+∞),f(x)≤ 时,k 的取值范围是?-2,0?. ? ? e 【点评】 单调性是函数的最重要的性质,函数的极值、最值等问题的解决都离不开函 数的单调性, 含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、 分类讨论的良好素 材. 函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点. 函数单调性的讨论 往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论,对一元二次不等式,在二次项系数 的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论, 即分类讨论的标准 是先二次项系数、再根的大小.对于在指定区间上不等式的恒成立问题,一般是转化为函数 最值问题加以解决, 如果函数在这个指定的区间上没有最值, 则可转化为求函数在这个区间 上的值域,通过值域的端点值确定问题的答案. 1 1 【变式探究】设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 (1)若 f(x)在?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ? ? 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3

难点九 定积分

例 9 、(1) ?1(ex+2x)dx 等于( ?
0

)

A.1 B.e-1 C.e D.e+1 (2)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 10 A. 3 16 B.4 C. 3 D.6 )

【点评】 计算定积分的基本方法就是根据微积分基本定理,其关键是找到一个函数使得这 个函数的导数是被积函数, 这实际上是导数运算的逆运算; 使用定积分的方法求曲边形面积 时, 要根据围成这个曲边形的直线和曲线的相对位置确定是哪个函数的、 在什么区间上的定 积分,求曲边形面积可以使用 x 为积分变量,也可以使用 y 为积分变量,本例第(2)问如果 使用 y 为积分变量,所求的面积由两部分组成,一个是下方的等腰直角三角形,一个是定积 分?2(y+2-y2)dy.

?0

【方法技巧】 1.求解切线问题时要注意求的是曲线上某点处的切线问题,还是曲线的过某个点的切 线问题. 2.函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本,函数的单调递增区间和单调递减区 间的分界点就是函数的极值点, 在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的 极值点把函数的定义域区间进行分段, 在各个段上研究函数的导数的符号, 确定函数的单调 性,也确定了函数的极值点,这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则.

3.使用导数的方法研究不等式问题的基本方法是构造函数,通过导数的方法研究这个 函数的单调性、极值,利用特殊点的函数值和整个区间上的函数值的比较得到不等式,注意 在一些问题中对函数的解析式进行适当的变换再构造函数. 4.使用导数的方法研究方程的根的分布,其基本思想是构造函数后,使用数形结合方 法,即先通过“数”的计算得到函数的单调区间和极值,再使用“形”的直观得到方程根的分布 情况. 【历届高考真题】 【2012 高考】 1.【2012 高考真题重庆理 8】设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ( x) ,且函数
,

y ? (1 ? x) f ' ( x) 的 图 像 如 题 ( 8 ) 图 所 示 , 则 下 列 结 论 中 一 定 成 立 的 是

(A)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)

2. 【2012 高考真题新课标理 12】 设点 P 在曲线 y ? 最小值为( )

1 x e 上, Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上, PQ 点 则 2

( A) 1 ? ln 2

(B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)

3.【2012 高考真题陕西理 7】设函数 f ( x) ? xe ,则(
x



A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 【答案】D.

B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点[学

x x x 【解析】 ? f ( x) ? xe ,? f ' ( x) ? e ? xe ,令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? ?1 ,当 x ? ?1 时

f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ?1 时 f ' ( x) ? 0 ,所以 x ? ?1 为 f (x) 极小值点,故选 D.
4.【2012 高考真题辽宁理 12】若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒成立的是

(A) e ? 1 ? x ? x
x

2

(B)

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x
1 2 x 8

1 (C) cos x… ?

1 2 x 2

x (D) ln(1 ? x )… ?

5.【2012 高考真题湖北理 3】已知二次函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形

的面积为

A. C.

2π 5 3 2

B. D.

4 3 π 2

6.【2012 高考真题全国卷理 10】已知函数 y=x? -3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c= (A)-2 或 2 (B)-9 或 3 (C)-1 或 1 (D)-3 或 1 【答案】A 【解析】若函数 y ? x ? 3x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极
3 2 2 值中有一个为 0,函数的导数为 y' ? 3x ? 3 ,令 y' ? 3x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 ,可知当极

大值为 f (?1) ? 2 ? c ,极小值为 f (1) ? c ? 2 .由 f (?1) ? 2 ? c ? 0 ,解得 c ? ?2 ,由

f (1) ? c ? 2 ? 0 ,解得 c ? 2 ,所以 c ? ?2 或 c ? 2 ,选 A.
3.【2012 高考真题安徽理 2】下列函数中,不满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 的是( )

( A) f ( x) ? x
【答案】C

( B ) f ( x) ? x ? x

(C ) f ( x) ? x ??

( D ) f ( x) ? ? x

【解析】 f ( x) ? kx 与 f ( x) ? k x 均满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 得: A, B, D 满足条件. 4.【2012 高考真题天津理 4】函数 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是 (A)0 (C)2 (B)1 (D)3

5.【2012 高考真题全国卷理 9】已知 x=lnπ,y=log52, z ? e (A)x<y<z 【答案】D 【解析】 x ? ln ? ? 1 , y ? log5 2 ? 以 y ? z ? x ,选 D. 6.【2012 高考真题新课标理 10】 已知函数 f ( x) ? 大致为( ) (B)z<x<y (C)z<y<x

?

1 2

,则

(D)y<z<x

? 1 1 1 1 1 ? 1 ,所 , ? ? ,z ?e 2 ? log2 5 2 e e 2

1

1 ;则 y ? f ( x) 的图像 ln( x ? 1) ? x

【答案】B 【解析】排除法,因为 f (2) ?

1 1 ? 0 ,排除 A. f (? ) ? ln 2 ? 2 2

1 1 ? ?0, 1 1 e ln ? ln 2 2 2

排除 C,D,选 B. 7.【2012 高考真题陕西理 2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2



C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

8.【2012 高考真题重庆理 10】设平面点集

? 1 ? A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,则 A ? B 所表示的平 x ? ?

?

?

面图形的面积为 (A)

3 ? 4

(B) ?

3 5

(C)

4 ? 7

(D)

? 2

【答案】D

?y ? x ? 0 ?y ? x ? 0 1 ? ? 【解析】由 ( y ? x)( y ? ) ? 0 可知 ? 或者 ? ,在同一坐标系中做出 1 1 x ?y ? x ? 0 ?y ? x ? 0 ? ?

平面区域如图:

,由图象可知 A ? B 的区域为阴影部分,根据对

称性可知,两部分阴影面积之和为圆面积的一半,所以面积为

? ,选 D. 2

9.【2012 高考真题山东理 3】设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a x 在 R 上是减函数 ”, 是“函数 g ( x) ? (2 ? a) x 3 在 R 上是增函数”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x2 ? 9 ,x ?3 ? 10.【2012 高考真题四川理 3】函数 f ( x) ? ? x ? 3 在 x ? 3 处的极限是( ?ln( x ? 2), x ? 3 ?
A、不存在 【答案】A. B、等于 6 C、等于 3 D、等于 0



? x2 ? 9 ? x ? 3, x ? 3 ,x ?3 ? 【解析】 f ( x) ? ? x ? 3 即为 f ( x) ? ? ,故其在 x ? 3 处的极 ?ln( x ? 2), x ? 3 ?ln( x ? 2), x ? 3 ?
限不存在,选 A.
x 11.【2012 高考真题四川理 5】函数 y ? a ?

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( a



【答案】D 【解析】当 a ? 1 时单调递增, ?
x 因为 y ? a ?

1 ? 0 ,故 A 不正确; a

1 恒不过点 (1,1) ,所以 B 不正确; a 1 当 0 ? a ? 1 时单调递减, ? ? 0 ,故 C 不正确 ;D 正确. a
12.【 2012 高考真题山 东理 8】定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x ). 当

?3 ? x ? ?1 时 ,

2 f ( x? ? ( x ? , )当 ?1 ? x ? 3 时 , ) 2

f ( x) ? x 。 则

f( 1 ) f ?
(A)335

? 2f ) ? ?( ?3 ? ) ( f
(B)338

( ?2 0 1 2 )
(C)1678 (D)2012

13.【2012 高考真题山东理 9】函数 y ?

cos 6 x 的图像大致为 2 x ? 2? x

【答案】D 【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,令 y ? 0 得 cos 6 x ? 0 ,所以

6x ?

?
2

? k? , x ?

k ? ? ,函数零点有无穷多个,排除 C,且 y 轴右侧第一个零点为 12 6

?

(

?
12

,0 ) , 又函数 y ? 2 x ? 2 ? x 为增函数, 0 ? x ? 当

?
12

时,y ? 2 x ? 2 ?x ? 0 ,cos 6 x ? 0 ,

cos 6 x ? 0 ,排除 B,选 D. 所以函数 y ? x 2 ? 2?x
15.【2012 高考真题辽宁理 11】设函数 f(x) ( x ? R) 满足 f( ?x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当

1 3 x ? [0,1] 时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [? , ] 上的零点个数 2 2
为 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

16.【2012 高考真题江西理 2】下列函数中,与函数 y ? A. y ?

3

1 定义域相同的函数为 x
sin x x

1 sin x

B. y ?

ln x x

C.y=xex

D. y ?

【答案】D 【解析】函数 y ?

3

1 1 的定义域为 {x x ? 0} 。 y ? 的定义域为 sin x x
ln x sin x 的定义域为 {x x ? 0} ,函数 y ? 的定 x x

{x sin x ? 0} ? {x x ? k? , k ? Z} , y ?

义域为 {x x ? 0} ,所以定义域相同的是 D,选 D. 17.【2012 高考真题江西理 3】若函数 f ( x ) ? ? A.lg101 【答案】B B.2 C.1 D.0

? x 2 ? 1, x ? 1 ,则 f(f(10)= ?lg x, x ? 1

【解析】 f (10) ? lg10 ? 1 ,所以 f ( f (10)) ? f (1) ? 12 ? 1 ? 2 ,选 B. 7.【2012 高考真题浙江理 16】定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直 线 l:y=x 的距离,则实数 a=_______。

8.【2012 高考真题江西理 11】计算定积分 【答案】 【解析】

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? ___________。

2 3

?

1

?1

1 2 ( x 2 ? sin x)dx ? ( x 3 ? cos x) 1 1 ? 。 ? 3 3

9.【2012 高考真题山东理 15】设 a ? 0 .若曲线 y ? 图形的面积为 a ,则 a ? ______.
2

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭

【答案】 a ?

4 9

【解析】由已知得 S ?

?

a

0

x?

4 2 2 a 2 2 2 x |0 ? a ? a 2 ,所以 a 2 ? ,所以 a ? 。 9 3 3 3


3

3

1

10.【2012 高考真题广东理 12】曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0

2 【解析】y? ? 3x ? 1 , x ? 1 时,y? ? 2 , 当 此时 k ? 2 , 故切线方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,

即 2x ? y ? 1 ? 0 。

32.【2012 高考江苏 17】 (14 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地 20

点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ? 基本不等式求解。

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用 20

(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。

33. 【2012 高考真题湖南理 20】 (本小题满分 13 分) 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部 件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件, 或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的 人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间 最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.

(1)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 此时

?1000 1500 ? f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ?, ? x 200 ? 3x ?
由函数 T1 ( x), T3 ( x) 的单调性知,当

1000 1500 ? 时 f ( x ) 取得最小值,解得 x 200 ? 3x

400 .由于 9 400 250 300 44 ? ? 45, 而f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? , f (44) ? f (45) . 9 11 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? . 11 x?
( 2 ) 当 k ? 2 时 , T1 ( x) ? T2 ( x), 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?3 , 此 时

T ( x) ?

375 , ? ( x) ? max ?T1 ( x), T ( x)? 易知 T ( x) 为增函数,则 50 ? x

f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ?T1 ( x), T ( x)?
?1000 375 ? ? ? ( x) ? max ? , ?. ? x 50 ? x ?
1000 375 400 ? 时 ? ( x) 取得最小值,解得 x ? . x 50 ? x 11 400 250 250 375 250 ? 37, 而? (36) ? T1 (36) ? ? , ? (37) ? T (37) ? ? , 由于 36 ? 11 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 . 11
由函数 T1 ( x), T ( x) 的单调性知,当

【2011 年高考试题】 一、选择题: 1. (2011 年高考山东卷理科 5)对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对 称”是“ y = f ( x ) 是奇函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 【答案】B 【解析】由奇函数定义,容易得选项 B 正确. 2. (2011 年高考山东卷理科 9)函数 y ? (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要

x ? 2sin x 的图象大致是 2

【答案】C

1 1 1 ? 2 cos x ,所以令 y ' ? ? 2 cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是 2 2 4 1 1 ' 增函数;令 y ? ? 2 cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得 2 4
【解析】因为 y ?
'

选 C 正确. 3. (2011 年高考山东卷理科 10)已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当

0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x3 ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

6.(2011 年高考辽宁卷理科 9)设函数 f(x)= ? 值范围是( ) (A)[-1,2] 答案: D 解析:不等式等价于 ? 即 x ? 0 ,故选 D. (B)[0,2]

?21-x ,x ? 1, 则满足 f(x)≤2 的 x 的取 1 - log2 x,x>1, ?

(C)[1,+ ? )

(D)[0,+ ? )

? x ? 1, ?2
1? x

?2

或?

? x ? 1, 解不等式组,可得 0 ? x ? 1 或 x ? 1 , ?1 ? log 2 x ? 2,

7.(2011 年高考辽宁卷理科 11)函数 f (x) 的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f’(x) >2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) (A) (-1,1) 答案: B (B) (-1,+ ? ) (C) ? ,-1) ((D) ? ,+ ? ) (-

解析:设 g(x)= f(x)-(2x+4), g’(x)= f’(x)-2.因为对任意 x ? R ,f’(x)>2,所以对任意

x ? R ,g’(x)>0,则函数 g(x)在 R 上单调递增.又因为 g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0,故 g(x)>0,即 f(x)
>2x+4 的解集为(-1,+ ? ). 8.(2011 年高考浙江卷理科 1)设函数 f ( x) ? ? (A)-4 或-2 (B)-4 或 2

?? x, x ? 0,
2 ? x , x ? 0.

若f (? ) ? 4 ,则实数 ? =

(C)-2 或 4

(D)-2 或 2

10. (2011 年高考全国新课标卷理科 9)由曲线 y ? 的面积为 (A)

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形

10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)6

【答案】C 【解析】因为 ?

?y ? x ?y ? x ? 2
4

的解为 ?

?x ? 4 ,所以两图像交点为 ( 4,2) ,于是面积 ?y ? 2

S ??

4

0

xdx ? ? ( x ? 2)dx ?
0

3 4 16 2 24 1 2 x ? ( x ? 2 x) ? 故选 C 0 3 3 0 2

14. (2011 年高考江西卷理科 3)若 f ( x) ?

? ,则 f ( x ) 的定义域为 log ? (? x ??)
?

A. (? D. (?, ??)

? , ?) ?

B. (? , ?]

? ?

C. (?

? , ??) ?

【答案】A

【解析】要使原函数有意义,只须 log1 (2x ? 1) ? 0,即 0 ? 2 x ? 1 ? 1 ,解得 ?
2

? ? x ? ?, ?

故选 A. 15. (2011 年高考江西卷理科 4)若 f ( x) ? x? ? ? x ? ? ln x ,则 f '( x) ? ? 的解集为 A. (?, ??)

-, ( + ) B. ( ? ? ? ?,?)

C.

(?, ??)

D.

(-?, ?)
【答案】C 【解析】因为 f '( x) ? ? x ? ? ?

? ? x? ? ? x ? ? ? ,原函数的定义域为 (0, ??) ,所以由 x x

f '( x) ? ? 可得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 C.
16. (2011 年高考湖南卷理科 6)由直线 x ? ? 封闭图形的面积为

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的

A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D.

3

17. (2011 年高考湖南卷理科 8)设直线 x ? t 与函数 f ?x ? ? x , g ?x ? ? ln x 的图像分别交于点
2

M , N ,则当 MN 达到最小时的 t 值为
1 2

A. 1 答案:D 解析:将

B.

C.

5 2

D.

2 2

x ? t 代入 f ?x? ? x 2 , g ?x? ? ln x 中,得到点 M , N

的坐标分别为 t ,t

? ?,
2

?t, ln t ? ,从而

MN ? t 2 ? ln t ?t ? 0?, 对其求导,可知当且仅当 t ?

2 时取到最小。故选 D 2

18.(2011 年高考广东卷理科 4)设函数 f ( x ) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则 下列结论恒成立的是( ) B. f ( x ) -|g(x)|是奇函数 D.| f ( x ) |- g(x)是奇函数 析 】 A. 设

A. f ( x ) +|g(x)|是偶函数 C.| f ( x ) | +g(x)是偶函数 【 解

h( x) ? f ( x)? | g ( x) | ? h(? x) ? f (? x)? | g (? x) |? f ( x)? | ? g ( x) |? f ( x)? | g ( x) | ? h(x) ,所以 h(x) 是偶函数,所以选 A.
【答案】A 19.(2011 年高考湖北卷理科 6)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 和偶函数 g ( x ) 满足
f ( x) ? g( x) ? a x ? a ? x ? 2(a ? 0, 且 a ? 1) ,若 g (2) ? a ,则 f (2) ?

A.2

B.

15 4

C.

17 4

D. a 2

20. (2011 年高考湖北卷理科 10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素, 其含量不断减少,这种现象称为衰变,假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M (单位:太贝克)与时间 t(单位年)满足函数关系: M ( t ) ? M 0 2
? t 30

,其中 M 0 为 t=0 时铯

137 的含量,已知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是—10ln2(太贝克/年) ,则 M(60)= A.5 太贝克 答案:D 解 析 : 因 为 M (t ) ? M 0 ? 2
? t 30

B.75ln2 太贝克

C.150ln2 太贝克

D.150 太贝克

, 故 其 变 化 率 为 M ?(t ) ? ?
? 60 30

t ? M0 ? 2 30 ln 2 , 又 由 30

M ?(30) ? ?10ln 2, 故 M 0 ? 600 ,则 M (60) ? 600 ? 2

? 150 ,所以选 D.

23.(2011 年高考重庆卷理科 5)下列区间中,函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ,在其上为增函数的 是 (A) (??,1] (B) ? ?1, ? 3

? ?

4? ?

(C)

3 [0, ) 2

(D) [1, 2)

26. (2011 年高考全国卷理科 8)曲线 y= e 的三角形的面积为 (A)

?2 x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)1

27 . (2011 年 高考 全国卷 理科 9) 设 f ( x ) 是 周期 为 2 的 奇函 数,当 0≤x≤1 时 ,

5 f ( x) = 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) = 2 1 1 1 (A) (B) ? (C) 4 2 4
【答案】A 【解析】? f (? ) ? f (?

(D)

1 2

5 2

5 1 1 1 1 1 ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2 ? ( )(1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2 2

故选 A

28.(2011 年高考福建卷理科 5)

? 0 (e +2x)dx 等于
2

1

A.1

B.e-1

C.e

D.e+1

【答案】C 【解析】由定积分的定义容易求得答案. 30.(2011 年高考上海卷理科 16)下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调 递减的函数为 A. y ? ln 【答案】A 【解析】由偶函数,排除 B;由减函数,又排除 B、D,故选 A. 二、填空题: 1. (2011 年高考山东卷理科 16)已知函数 f(x) loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a = <3<b<4 时,函数 f(x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= . ( ) B. y ? x3 C. y ? 2| x| D. y ? cos x

1 | x|

2.(2011 年高考浙江卷理科 11)若函数 f ( x) ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a ?
2



【答案】0 【解析】 f (?x) ? f ( x),即(-x) ? ?x ? a ? x ? x ? a ,
2 2

则 x ? a ? x ? a ,? x ? R,?a ? 0 3. (2011 年高考广东卷理科 12)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在 x ?
3 2

处取得极小值.

【答案】2 【解析】2. f ( x) ? 3x ? 6x ? 3x( x ? 2)
1 2

令f 1 ( x) ? 0得x ? 2或x ? 0, 令f 1 ( x) ? 0

得 0 ? x ? 2 。所以函数的单调递增区间为 (??,0), (2,??) ,减区间为 (0,2) ,所以函数在

x=2 处取得极小值。 4.(2011 年高考陕西卷理科 11)设 f ( x) ? ? 【答案】1
a a 【解析】 f ( f (1)) ? f (lg1) ? f (0) ? 0 ? ? 0 3t 2dt ? t 3 |0 ? a3 ? 1 ? a ? 1
1 ? 1 5. (2011 年高考四川卷理科 13)计算 (lg ? lg 25) ?100 2 = 4

?lg x, x ? 0 ,若 f ( f (1)) ? ,则 a ? 1 a 2 ? x ? ? 0 3t dx, x ? 0

.

答案: ?20 解析: (lg
1 ? 1 1 1 ? lg 25) ?100 2 ? lg ? ? ?20 . 4 100 10

6. (2011 年 高 考 四 川 卷 理 科 16) 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 A , 若 为单函数.例如,函数 f(x) =2x+1 x1, x 2 且 (f )x( =)2 x x1 =x 2,则称f(x) ? A f时总有 1 ( x ? R )是单函数.下列命题: 函数 f(x) x (x ? R)是单函数; =
2

若 f(x) 为单函数, x1,x 2 ? A且x1 ? x 2,则f(x1) f(x 2); ? 若 f:A ?B 为单函数,则对于任意 b ? B,它至多有一个原象; 函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)

7.(2011 年高考江苏卷 2)函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 【答案】 (?

1 , ??) 2 1 , ??) ,由复合函数 2

【解析】考察函数性质,容易题。因为 2 x ? 1 ? 0 ,所以定义域为 (?

的单调性知:函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是 (?

1 , ??) . 2

8.(2011 年高考江苏卷 8)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数

f ( x) ?

2 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________ x

三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 21)(本小题满分 12 分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容器的建 3

造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 【解析】 (I)设容器的容积为 V, 由题意知 V ? ? r l ?
2

4 3 80? ? r , 又V ? , 3 3

4 V ? ? r3 80 4 4 20 3 故l ? ? 2 ? r ? ( 2 ? r) 2 ?r 3r 3 3 r
由于 l ? 2r 因此 0 ? r ? 2. 所以建造费用 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r c ? 2? r ?
2

因此 y ? 4? (c ? 2)r ?
2

160? , 0 ? r ? 2. r

4 20 ( ? r ) ? 3 ? 4? r 2c, 3 r2

(II)由(I)得 y ' ? 8? (c ? 2)r ? 由于 c ? 3, 所以c ? 2 ? 0, 当r ?
3

160? 8? (c ? 2) 3 20 ? (r ? ), 0 ? r ? 2. r2 r2 c?2

20 20 ? 0时, r ? 3 . c?2 c?2

令3

20 ? m, 则 m ? 0 c?2
8? (c ? 2) (r ? m)(r 2 ? rm ? m 2 ). 2 r

所以 y ' ?

2. (2011 年高考浙江卷理科 22) (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x(a ? R) (Ⅰ)
2

若 x ? e 为 y ? f ( x) 的极值点, 求实数 a(Ⅱ) 求实数 a 的取值范围, 使得对任意 x ? (0,3e] 恒有 f ( x) ? 4e 成立
2

注: e 为自然对数的底数 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 因 为

f ( x) ? ( x ? a)2 ln x





f ?( x) ? 2( x ? a) ln x ?
a e

( x ? a)2 a ? ( x ? a)(2ln x ? 1 ? ) 因为 x ? e 为 y ? f ( x) 的极值点所 x x

以 f ?(e) ? (e ? a )(3 ? ) ? 0 解得 a ? e 或 a ? 3e 经检验,符合题意,

所以 a ? e 或 a ? 3e

当 x ? (a, ??) 在 (a, ??)



f ?( x )? 0 f ( x) 在 (0, x0 ) 内单调递增,在 ( x0 , a) 内单调递减, 即

内单调递增。所以要使 f ( x) ? 4e2 对 x ? (1,3e] 恒成立,

? f ( x0 ) ? ( x0 ? a)2 ln x0 ? 4e2 , 只要 ? 2 2 ? f (3e) ? (3e ? a) ln(3e) ? 4e

(1) (2)

成立,由 h( x0 ) ? 2ln x0 ? 1 ?

a ? 0 ,知 x0

2 a ? 2 x0 ln x0 ? x0 (3) 将(3)代入(1)得 4x0 ln 3 x 0 ?4 e2. 又 x0 ? 1 。注意到函数 x2 ln3 x

在 [1, ??) 内单调递增,故 1 ? x0 ? e 再由(3)以及函数 2 x ln x ? x 在 (1, ??) 内单调递增,可得 1 ? a ? 3e , 由(2)解得 3e ?

2e 2e 2e ,所以 3e ? ? a ? 3e ? ? a ? 3e ln(3e) ln(3e) ln(3e) 2e ? a ? 3e . ln(3e)

综上, a 的取值范围为 3e ? 【2010 高考试题】

(2010 全国卷 2 理数) (10)若曲线 y ? x

?

1 2

在点 ? a , a

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标围成的 ?

三角形的面积为 18,则 a ? (A)64 (B)32 (C)16 (D)8

(2010 全国卷 2 理数) (2).函数 y ? A. y ? e
2 x ?1

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2

? 1( x ? 0)

B. y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0) D. y ? e2 x?1 ? 1( x ? R)

C. y ? e2 x?1 ?1( x ? R)

(2010 辽宁理数)(1O)已知点 P 在曲线 y= 则 a 的取值 范围是 (A)[0,

4 上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e ?1
x

? ) 4

(B) [

? ? , ) 4 2

(

? 3?
2 , 4

]

(D) [

3? ,? ) 4

【答案】D 【解析】因为 y ?
'

3? ?4e x ?4 ?? ?? ? x ? ?1 ,即 tan a≥-1,所以 x 2 x 4 (e ? 1) e ?2?e

(2010 江西理数)12.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水 面,记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S ? t ? S ? 0? ? 0 ,则导函数 y ? S ?t ? 的图
'

?

?

像大致为

(2010 江西理数)9.给出下列三个命题: ①函数 y ?

1 1 ? cos x x ln 与 y ? ln tan 是同一函数; 2 1 ? cos x 2

②若函数 y ? f ? x? 与 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称,则函数 y ? f ? 2 x? 与

y?

1 g ? x ? 的图像也关于直线 y ? x 对称; 2
③若奇函数 f ? x ? 对定义域内任意 x 都有 f ? x ? ? f (2 ? x) ,则 f ? x ? 为周期函数。 其中真命题是 A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②

4x ? 1 (2010 重庆理数)(5) 函数 f ? x ? ? 的图象 2x
A. 关于原点对称 解析: f (? x) ? 答案:D (2010 四川理数) (2)下列四个图像所表示的函数,在点 x ? 0 处连续的是 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) 2?x 2x

? f (x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:由图象及函数连续的性质知,D 正确. 答案:D (2010 天津理数) (16)设函数 f ( x) ? x ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? ,
2

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?

.

(2010 北京理数)(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x +

x 2 x ( k ≥0)。 2

(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。
2 解: (I)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , f '( x) ?

1 ?1 ? 2x 1? x

由于 f (1) ? ln 2 , f '(1) ?

3 , 2

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

y ? ln 2 ?


3 ( x ? 1) 2

3x ? 2y ? 2 l n?2 ? 3

0

x(kx ? k ? 1) , x ? (?1, ??) . 1? x x 当 k ? 0 时, f '( x) ? ? . 1? x
(II) f '( x) ?


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