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江西省新余市第四中学、宜春中学2017届高三下学期开学联考数学(文)试题Word版含答案.doc


2017 届宜春中学新余四中高三开学联考文科数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1.已知全集 U ? R, A ? x | x ? 3x ? 4 ? 0 , B ? ? x | ?2 ? x ? 2? ,集

?

?

合,则如图所示的阴影部分所表示的集合为( A. C.



?x | ?2 ? x ? 4? ?x | ?2 ? x ? ?1?

B. D.

?x | x ? 2或x ? 4?
?x | ?1 ? x ? 2?
) C. 2 ? 3i
2

2.若复数 z 满足 zi ? 2 ? 3i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数为 ( A. ?3 ? 2i B. ?3 ? 2i D. 3 ? 2 i

3.等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,且 a3 与 a2015 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则

S 2017 ? a1009 ? ( 2017
A.10 B.15

) C. 20 D.40

4.某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗

y (吨)的几组对应数据如下表所示:
x
3
2.5

4 3

5 4

6

y

a


若根据表中数据得出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ,则表中 a 的值为( A. 3 5.已知命题 p : B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5

1 1 ? ,命题 q : ?x ? R, ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,则 p 成立是 q 成立的( a 4
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



A.充分不必要条件 C.充要条件

6.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 3 AB ? AC , AB ? AC ? 3 ,则 CB ? CA ? ( A.3 B.-3 C.

??? ? ????

??? ? ???? ??? ?

????

??? ? ??? ?



9 2

D. ?

9 2
)

7.某程序框图如图所示,该程序运行结束时输出的 S 的值为 ( A. 1007 B. 1008 C.2016 D. 3024 )

8.某几何体的三视图如下图所示,则其体积为(

A.207

B. 216 ?

9? 2

C. 216 ? 36?

D. 216 ? 18?

9.已知函数 f ? x ? ? ? ( ) A. ?1, 2?
?

? ?? a ? 1? x ? 4 ? 2a, x ? 1 ,若 f ? x ? 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 1 ? log x , x ? 1 ? ? 2

B.

? ??, 2?

C.

? 0, 2?

D. ? 2, ??? )

10.已知 a, b ? R ,且 a ? b ? A. ?1, 4?

1 1 ? ? 5 ,则 a ? b 的取值范围是( a b
C.

B. ?2, ???

? 2, 4 ?

D. ? 4, ???

11.已知点 F1、F2 是双曲线 C: 双曲线 C 的右支上,且满足 为 ( )

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 为坐标原点,点 P 在

|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线 C 的离心率的取值范围

A.(1,+∞) B.[

10 ,+∞) 2

C.(1,

10 ] 2

D.(1,

5 ] 2

x ? ?e ? 1, ? x ? 1? f ?x ? ? ? 3 2 12.已知函数 ? ? x ? 9 x ? 24x ? 16, ? x ? 1? ,则关于 x 的方程 f ?x? ? a ( a 为实数)

根个数不可能为( A.2 B.3

) C. 4 D.5

二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上. 13.某人午睡醒来,发现手表停了,他打开收音机,想听电台报时(假设电台是整点报时) , 则他等待时间不多于 10 分钟的概率为 .

14.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理 (祖暅原理) : “幂势既同,则积不容异” . “势”即是高, “幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处 截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等,类比祖暅原理,如图所示,在

平面直角坐标系中,图 1 是一个形状不规则的封闭图形,图 2 是一个矩形,且当实数 t 取[0, 4] 上的任意值时,直线 y=t 被图 1 和图 2 所截得的线段长始终相等,则图 1 的面积 为 .

?x ? 0 ? 15.已知点 M (?2, 2) ,点 N ( x, y) 的坐标满足不等式组 ? y ? 0 ,则 | MN | 的取值范围 ?y ? x ? 2 ?
是 .

16.已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在某球面上,PC 为该球的直径, ?ABC 是边长为 4 的等边三角形, 三棱锥 P ? ABC 的体积为

16 , 则该三棱锥的外接球的表面积____________. 3

三、解答题 :本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列

?an ? 是公差为 2 的等差数列,数列 ?b ? 满足 b ? 1 ,b ? 1 ,若 n ? N 2
n

*

1

2

时,

anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn .
(Ⅰ)求

?bn ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 cn ?

1 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . an an ?1

18. 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面梯形 ABCD 中, AD / / BC ,平面 SAB ? 平面

ABCD, ?SAB 是等边三角形,已知 AC ? 2 AB ? 4, BC ? 2 AD ? 2CD ? 2 5 , M 是 SD
上任意一点, SM ? mMD ,且 m ? 0 . (1)求证:平面 SAB ? 平面 MAC ; (2)试确定 m 的值,使三棱锥 S ? ABC 体积为三棱锥

????

???? ?

S? MAC 体积的 3 倍.

19.雾霾天气对人体健康有害,应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制 PM2.5,要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取 重大举措,聚焦重点领域,严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管,派遣四个不 同的专家组对 A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.

(1)若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同, 且每个城市都必须由专家组选取,求 A 城市恰有两有专家组选取的概率; (2)在检查的过程中专家组从 A 城市的居民中随机抽取出 400 人进行是否户外作业人 员与是否患有呼吸道疾病进行了统计,统计结果如下:

根据上述的统计结果,我们是否有超过 99%的把握认为“户外作业”与“患有呼吸道疾病” 有关?

20.已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (? 2,0), F2 ( 2,0) ,直线 a 2 b2

x ? 2 y ? 0 与椭圆 E 的一个交点为 (? 2,1) ,点 A 是椭圆 E 上的任意一点,延长 AF1 交
椭圆 E 于点 B,连接 BF2 , AF2 . (1)求椭圆 E 的方程; . (2)求 ?ABF2 的内切圆的最大周长.

21.设函数 f ? x ? ? ln x . (1)证明: f ? x ? ? x ?1; (2)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ? x ? ? ax ?

a ?1 ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围. x

考生注意:请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,只能做所选定的题目,如果多做,则

按所做的第一个题目计分.作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑. 22.在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的参

? 2 t ?x ? ? 2 数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 . ?y ? 2? 2 t ? ? 2
(1)若 l 的参数方程中的 t ? ? 2 时,得到 M 点,求 M 的极坐标和曲线 C 直角坐标方程; (2)若点 P(0, 2) , l 和曲线 C 交于 A, B 两点,求

1 1 . ? PA PB

23. 已知函数 f ?x? ? x ? a ? x ? 1 ,且 f ?x ? 不恒为 0. (1)若 f ?x ? 为奇函数,求 a 值; (2)若当 x ? ?? 1,2? 时, f ?x ? ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2017 届高三模拟考试文科数学试卷参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,总分 60 分)

题号 答案

1 D

2 B

3 A

4 D

5 A

6 C

7 B

8 B

9 A

10 A

11 C

12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,总分 20 分)

13、

1 ; 6

14、8 ;

15、 [ 2, 2 2] ;

16、

80? 。 3

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17、(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , b2 ?

1 , anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn , 2

1 3 当 n ? 1 时, a1b2 ? b2 ? b1 ,即 a1 ? ? a1 ? 3 , 2 2
又因为数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,所以 an ? 2n ? 1 ......... 3 分

?1? 所以 bn ? ? ? ?2?

n ?1

. .......... 6 分

(Ⅱ) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,.........8 分 an ? an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 2n ? 1 2n ? 3

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? … ? cn ?1 ? cn ,

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ?…? ? , 3? 5 5? 7 7 ? 9 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? ? 2n ? 1?? 2n ? 3?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 整理 Tn ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? )?( ? )] (裂项) 2 3 5 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 n ∴ Tn ? ( ? )? 2 3 2n ? 3 6n ? 9
18.(本小题满分 12 分)

......... 12 分

(Ⅰ)证明:在 ?ABC 中,由于 AB ? 2, AC ? 4, BC ? 2 5 ,

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,故 AB ? AC ..........2 分
又 平面SAD ? 平面ABCD, 平面SAB ? 平面ABCD ? AB,

AC ? 平面ABCD ,? AC ? 平面SAB ,.........4 分
又 AC ? 平面MAC , 故平面 SAB ? 平面 MAC. .........5 分 (Ⅱ) VS ?MAC ? VM ?SAC ?

m m VD ? SAC ? VS ? ADC , .........8 分 m ?1 m ?1

?

VS ? ABC m ? 1 VS ? ABC m ? 1 S?ABC m ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? m ? 2, .........12 分 VS ? AMC m VS ? ACD m S?ACD m

19.(本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 12 分)

解: (1)由题意,椭圆 C 的半焦距 c ? 2 . 因为椭圆 C 过点 ? 2,1 ,所以 2a ? 1 ?

?

?

??

2? 2

?

2

? 12 ? 4 ,解得 a ? 2 .

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 22 ?

? 2?

2

? 2. 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2 .........5 分

1 设 ?ABF2 的内切圆的半径为 r .则 ? AB ? AF2 ? BF2 ? ? r ? S ?ABF 2 2 (2) .........7 分
由 椭 圆 的 定 义 , 得 AF , 1 ? AF 2 ? 2a ? 4, BF 1 ? BF 2 ? 2a ? 4 所以 . 即

AB ? AF 2 ? BF 2 ?
4r ? S?ABF2 .........9 分

AF 1 ?

AF 2 ?

BF 1 ?

BF ? . 所 以 2 8

1 ? 8 ? r ? S? ABF2 2

为此,求 ?ABF2 的内切圆的最大周长,可先求其最大半径,进一步转化为可先求 ?ABF2 的 最大面积。显然,当 AB ? x 轴时,?ABF2 取最大面积,此时,点 A ? 2,1 , B ? 2, ?1 ,

?

? ?

?

?ABF2
rmax ?













?S
2 ? 2

?ABF2

?

max

?

1 ? F1 F2 ? 2 ? 2 2. 2



1 S ?ABF2 4

?

?

max

?

2 ..........11 分 2
2? ..........12 分

故 ?ABF2 的内切圆的最大周长为 2? rmax ? 2? ? 21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)令 g ( x) ? f ( x) ? ( x ?1) ,则 g ?( x) ?

1 ? 1. x

当 x ? 1, g ?( x) ? 0. 所以 0 ? x ? 1时,g ?( x) ? 0, 即 g ( x) 在 ? 0,1? 递增;在 ?1, ?? ? 递减; 所以 g ( x) ? g (1) ? 0 , f ( x) ? x ? 1. .........4 分 (Ⅱ)记 h( x) ? ax ?

x ? 1时, g? ( x) ? 0,

a ?1 ? ln x, 则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 x

1? ? a ? x ? 1 ? ? ? x ? 1? 1 ? a 1 ax ? x ? 1 ? a a? h? ? x ? ? a ? 2 ? ? ? ? ? x ? 0 ? , .........5 分 2 x x x x2
2



若0 ? a ?
h( x ) ? h(1) ? 2a ? 1 ? 0 ,

1 1 ,? 1 ? ? 1 , x ? (0,1) 时, h' ( x ) ? 0 ,h( x ) 单调递增, 2 a

这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾;......... 6 分 ②
h(1) ? 2a ? 1 ? 1 ,



1 ? a ? 1 , 0 ? ?1 ? 1 ? 1 , (1,??) 上 h' ( x ) ? 0, h( x ) 递增,而 2 a

这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾;........7 分 ③若 a ? 1 ,? 1 ?
1 ?0, ? x ? ( 0,1) 时 h' ( x ) ? 0 ,h( x ) 单调递减;x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 ,h( x ) a

单调递增? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立.........9 分 ④若 a ? 0 , h?? x ? ?

? x ?1 , x ? ?0,1? 时, h??x ? ? 0 , h?x ? 单调递增; x ? ?1,??? 时, x2

h??x ? ? 0 , h?x ? 单调递减,? h?x ? ? h?1? ? ?1 ? 0 ,这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾........10 分
⑤若 a ? 0 ,? 1 ?

1 ? 0 ,x ? ?0,1? 时,h??x ? ? 0 ,h?x ? 单调递增;x ? ?1,??? 时,h??x ? ? 0 , a

h?x ? 单调递减,?h ? x ? ? h ?1? ? 2a ?1 ? 0, 这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾.........11 分
综上,实数 a 的取值范围是 [1, ??). .........12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
3 2 2 解: (1) M ( 2, 4 ? ) ,曲线 C 的直角坐标方程: x ? y ? 16

.........5 分
t1 ? t2 ? ?12

2 2 2 2 2 (2)由 ( 2 t ) ? (2 ? 2 t ) ? 16 得 t ? 2 2t ? 12 ? 0 , t1 ? t2 ? ?2 2,
(?2 2)2 ? 4 ? (?12) |t | ? | t2 | 1 1 14 ? ? 1 ? ? | PA | | PB | |t1 ? t2 | 12 6

........10 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (1)因为 x ? R ,若 f ?x ? 为奇函数,则由 f ?0? ? 0 ,得 a ? 1 , 又 f ? x ? 不恒为 0,得 a ? 1 . .........4 分 .........5 分

此时 f ?? x? ? ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? ? f ?x? ,符合 f ? x ? 为奇函数,所以 a ? 1 .

(2)当 x ? ?? 1,2? 时, f ?x ? ? 3 恒成立,即 x ? a ? 4 ? x 在 x ? ?? 1,2? 时恒成立 故 ? 4 ? x ? a ? x ? 4 ? x 在 x ? ?? 1,2? 时恒成立, 即 ? 4 ? a ? ?4 ? 2 x?min x ? ?? 1,2?. 而 x ? ?? 1,2? , ?4 ? 2x?min ? 2 ,所以 a ? ?? 4,2? . .........10 分 .........8 分


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