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2015天津市十二区县重点学校2015届高三毕业班联考(二)数学(理)试题


2015 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二)


钟. 祝各位考生考试顺利!

学(理)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分

第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题 卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.

参考公式:
·如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A B) ? P( A) ? P( B) ? 柱体的体积公式 V ? Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 1 ? 锥体的体积公式 V ? Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.己知

a?i 1 1 ? b ? i ( a , b ? R) .其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? 2i 4 2
B. 1 C. 2 D.3

( )

A.-1

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 2.已知实数 x , y 满足 ? x ? 2 ,则 z ? 2 x ? 2 y ? 3 的取值范围是( ) ?x ? y ?1 ? 0 ? 1 1 11 A. [- ,3] B. [-2,3] C. [- ,3) D. [ ? ,3) 3 3 3
3.若 如下框图所给的程序运行结果为 S ? 1 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件可以是 ( )

A. k ? 7

B. k ? 6

C. k ? 6

D. k ? 6

4.设 Sn 为公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 7a4 ,则 A.15 B.17 C.19 D.21

3S7 ?( a3



? 5.已知点 P 的极坐标是 (1, ) ,则过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( 3 1 1 A. ? ? 1 B. ? ? cos? C. ? ? ? D. ? ? cos ? 2cos ?
6.下列四个命题:



①“ a x ? a y ( 0 ? a ? 1 ) ”成立的充要条件是“ ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1) ” ; ②命题“若 x ? y,则 ? x ? ? y ”的逆否命题是“若 ? x ? ? y ,则 x ? y ” ; ③设 a, b 是任意两个向量,则“ a ? b ?| a || b | ”是“ a // b ”的充分不必要条件; ④把函数 y ? sin ? ?2x ? ?x ? R ? 的图像上所有的点向右平移

? 个单位即可得到函数 8

?? ? y ? sin ? ?2 x ? ? ?x ? R ? 的图像. 4? ?
其中正确命题的个数是 A.0 B.1 7.已知双曲线 M : ( C.2 D.4 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 两个焦点为分别为 F1 (? 3, 0), F2 ( 3,0) ,过 a 2 b2 点 F2 的直线 l 与该双曲线的右支交于 M , N 两点, 且 ?F 则以点 F2 为圆 1MN 是等边三角形, 心,与双曲线 M 的渐近线相切的圆的方程为 ( ) 2 2 2 2 A. ( x ? 3) ? y ? 2 B. ( x ? 3) ? y ? 4 3 2 2 C. ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 D. ( x ? 3) ? y ? 5
8.设 x, y ? R ,满足 A.0 B.2

{

(x ?1)5 ? 2 x ?sin( x ?1) ?3, , 则x? y ? ( y ?1) 5 ? 2 y ?sin( y ?1) ?1
C.4 D.6





第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 9.设集合 A ? {x ? Z |

1 ? 2 x ? 6} , B ? {x ? R | x ? 2 | ? | x ? 3|? 3} ,则集合 A B 中的 2

所有元素之积等于_______;

(x ? 10.已知
2

2 n ) 的展开式的二项式系 x

数之和为 32 ,则其展开式中常数项等于_____; 11.由曲线 ?

? x?t ( t 为参数)和 y ? x ? 2 2 ?y ? t

围成的封闭图形的面积等于_________; 12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球体积为________; 13.如图, BC 是圆 O 的一条弦,延长 BC 至点 E , 使得 BC ? 2CE ,过 E 作圆 O 的切线, A 为切点,

?BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D , DE ? 3 , 则 BE 的长为_________; 14.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 9,sin B ? cos Asin C,

S?ABC ? 6 , P 为线段 AB 上的点,且 CP ? x
则 CP ? BP 的最小值为__________.

CA CA

?y

CB CB



三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? 图象如图所示. (Ⅰ)写出 ? 及图中 x0 的值; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) , 求函数 g ( x) 在区间 [? , ] 上 的最大值和最小值.

π ) 的部分 2

1 3

1 1 2 3

16.(本小题满分 13 分)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的固定顺序的 5 个问题中, 选手若能正确回答出三个问题,即停止答题,晋级下一轮;否则不能晋级。假设某选手正确 回答每个问题的概率都是

2 ,且每个问题回答的正确与否都相互独立. 3

(Ⅰ)求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率; (Ⅱ)记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量 X ,求随机变量 X 的分布列和期望.

17.(本小题满分 13 分)如(图 1),直角梯形 ABCD 中,

AB // CD, ?BAD ? 900 , AB ? AD ? 2 ,CD ? 4 ,点 E 为线段 AB 的中点, 且 EF // AD , 沿 EF 将面 EBCF 折起, 使平面 EBCF ? 平面 AEFD ,如(图 2). (Ⅰ)求证: DF ? BC ; (Ⅱ)求平面 ABC 与平面 AEFD 所成的锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱 AC 上是否存在一点 M ,使直线 FM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 在求出点 M 的一个坐标,否则说明理由.

42 ,若存 7

x2 y 2 18. (本小题满分 13 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点是 F (c, 0) ,左右顶点 a b 分别为 A, B ,上下顶点分别是 C , D ,且点 P (2a, b) 满足 PF ? CF , (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率,并证明 P, B, D 三点共线; (Ⅱ)对于给定的椭圆 E ,若点 R (2a,3c) ,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 相交于另一点 Q ,当 ?OQR 的面积最大等于 9,求直线 l 的方程.

19. (本小题满分 14 分)已知 A(

,

),B(

,

1 ? 2x ,x ? ? 1? 2x 2 的图象上 )是函数 f ( x ) ? ? ? ? ?1, x ? 1 ? ? 2

的任意两点(可以重合) ,点 M 在直线 (Ⅰ)求 x1 ? x2 的值及 y1 ? y2 的值 (Ⅱ)已知 S1 ? 0 ,当 时, = ,

上,且 AM ? MB .

+ 为数列{

+

+

,求



(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 , 使得不等式

}的前 项和,若存在正整数 、

成立,求 和

的值.

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x. ( 1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (1, e) 的有零点,求正数 ..a 的取值范围;
n

? 2 (Ⅲ)求证不等式 e i?1 i ? n 对任意的正整数 n 都成立

i ?1

(其中 e 是自然对数的底数).

2015 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二) 数学理科参考答案 一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 B D D A D C A B 答案 二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 ; 10. 80 ; 11.

9 4 ; 12. ? ; 2 3

13. 3 ;

14. ?

64 25

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? 的部分图象如图所示. (Ⅰ)写出 ? 及图中 x0 的值; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) , 求函数 g ( x) 在区间 [? , ] 上的 最大值和最小值. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由图得 f (0) ?

π ) 2

1 3

1 1 2 3

3 3 ,所以 cos ? ? , ???1 分 2 2 π π 因为 0 ? ? ? ,故 ? ? ??????2 分 2 6 由于 f ( x ) 的最小正周期等于 2, 所以由图可 1 ? x0 ? 2 ??????3 分 7? ? 13? ? ? x0 ? ? , 故 ??????4 分 6 6 6 3 cos(? x ? ? ) ? 3 由 f ( x0 ) ? 得, 0 6 2 2 ? 11? , 得 x0 ? 5 . 因此 ? x0 ? ? ??????5 分 6 6 3 1 1 π π (Ⅱ)由题意可得: f ( x ? ) ? cos( π(x ? ) ? ) ? cos( πx ? ) ? ? sin πx . 3 3 6 2
??????7 分 所以 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) ? cos( πx ?

1 3

π ) ? sin πx 6

π π ?cos πx c o s ? s iπn x s i n ? s iπn x ??????8 分 6 6 3 1 3 3 ? cos πx ? sin πx ? sin πx ? cos πx ? sin πx ??9 分 2 2 2 2 π ? 3 s i n (? πx) . ??????10 分 6 1 1 1 1 法一: 函数 g ( x) 在区间 [? , ? ] 单调递增, 在区间 [? , ] 单调递减?????12 分 2 3 3 3 1 3 1 1 3 , g (? ) ? 3, g ( ) ? ? 又 g (? ) ? , 2 2 3 3 2

故函数 g ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值是 3 ,最小值是 ? 法二: 因为 x ? [?

1 1 2 3

3 . ??????13 分 2

1 1 π π 2π , ] ,所以 ? ? ? πx ? . 2 3 6 6 3 1 π 所以 ? ? sin( ? πx) ? 1 , ??????11 分 2 6 , 1 π π 故 ? πx ? ,即 x ? ? 时, g ( x) 取得最大值 3 ; ??????12 分 3 6 2 1 π π 3 当 ? πx ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 取得最小值 ? . ??????13 分 3 6 6 2

16.(本小题满分 13 分)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的固定顺序的 5 个问题中, 选手若能正确回答出三个问题,即停止答题,晋级下一轮;否则不能晋级。假设某选手正确 回答每个问题的概率都是

2 ,且每个问题回答的正确与否都相互独立. 3

(Ⅰ)求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率; (Ⅱ)记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量 X ,求随机变量 X 的分布列和期望. 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设“该选手是连续答对三道题晋级下一轮”的事件为 A, ??????1 分 则 P( A) ? ( ) ? ? ( ) ? ( ) ? ( ) ?
3 3 2 3

2 3

1 3

2 3

1 3

2 3

104 ??????5 分 243
?????6 分

(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.

1 1 10 2 1 40 1 2 1 1 4 P( X ? 0) ? ( )5 ? , P( X ? 1) ? C5 ( )( ) ? , P( X ? 2) ? C52 ( ) 2 ( )3 ? , 3 243 3 3 243 3 3 243 2 2 2 2 21 2 2 2 2 1 2 192 64 P( X ? 3) ? ( )3 ? [C3 ( ) ] ? [C4 ( ) ( ) ]? ? , 3 3 3 3 3 3 3 243 81 192 64 ? ) (或 P( X ? 3) ? 1 ? [ P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P ( X ? 2)] ? (每个一分)?10 分 243 81 随机变量 X 的分布列为 0 1 2 3 X P 1 10 40 192 243 243 243 243
?????11 分

1 10 40 192 74 ? 1? ? 2? ? 3? ? (个)??13 分 243 243 243 243 27 0 17. (本小题满分 13 分)如 ( 图 1) ,直角梯形 ABCD 中, AB // CD, ?BAD ? 90 , AB ? AD ? 2 ,CD ? 4 , 点 E 为线段 AB 的中点, 且 EF // AD , 沿 EF 将面 EBCF 折起, 使平面 EBCF ? 平面 AEFD ,如(图 2). (Ⅰ)求证: DF ? BC ; (Ⅱ)求平面 ABC 与平面 AEFD 所成的锐二面角的余弦值;
随机变量 X 的期望 E ( X ) ? 0 ? (Ⅲ)在棱 AC 上是否存在一点 M ,使直线 FM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 在求出点 M 的一个坐标,否则说明理由. 17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)∵面 EBCF ? 面 AEFD ,又 DF ? EF ,

42 ,若存 7

面 EBCF ? 面 AEFD ? EF , DF ? 面 AEFD , ∴ DF ? 面 EBCF , -----------3 分 DC ? 面 EBCF ,? DF ? BC . ---------------4 分 (Ⅱ)以 FE 所在直线为 x 轴, FD 所在直线为 y 轴, FC 所在直线为 z 轴,建立 空间直角坐标系 F ? xyz , ------------5 分

A(2,1,0), B(2,0,1), C(0,0,3), D(0,1,0)

CB ? (2,0,?2),CA ? (2,1,?3)
? ? ? ?CB ? m ? 0 设平面 ABC 的法向量 m ? ( x0 , y0 , z 0 ) ,有 ? , ? ? CA ? m ? 0 ? ? x0 ? z 0 ? 0 ? ∴? , 令 x0 ? 1 ,得平面 CBA 的一个法向量 m ? (1,1,1) , ----7 分 2 x ? y ? 3 z ? 0 0 0 ? 0
面 AEFD 的一个法向量为 FE ? (0,0,2) ,

? m ? FE 2 3 ? ∴ cos ? m, FE ?? , ? ? ? 3 3?2 m ? FE
∴平面 ABC 与平面 AEFD 所成锐二面角的余弦是

--------------------8 分

3 . -------------------9 分 3 (Ⅲ)设存在满足条件的点 M ,则 CM ? ?CA(0 ? ? ? 1) ,
有 FM ? ? FA ? (1 ? ? ) FC ? (2?, ?,3 ? 3? ) 所以 cos ? m, FM ?? ------10 分

m ? FM 2? ? ? ? 3 ? 3? 3 ? ? ,-------11 分 | m || FM | 5? 2 ? (3 ? 3? ) 2 ? 3 14? 2 ? 18? ? 9

依题有

3 14? 2 ? 18? ? 9

?

42 , 7

-----------------------12 分

1 11 ,或 ? ? ,都满足 0 ? ? ? 1 , 2 14 1 3 故存在满足条件的点 M ,其哟个坐标为 (1, , ) . ------------------------13 分 2 2
整理得 (2? ? 1)(14? ? 11) ? 0 ,故 ? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点是 F (c, 0) ,左右顶点 a 2 b2 分别为 A, B ,上下顶点分别是 C , D ,且点 P (2a, b) 满足 PF ? CF , (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率,并证明 P, B, D 三点共线; (Ⅱ)对于给定的椭圆 E ,若点 R (2a,3c) ,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 相交于另一点 Q ,当 ?OQR 的面积最大等于 9,求直线 l 的方程.
18. (本小题满分 13 分)已知椭圆 E : 解: (Ⅰ)依题可知点 C (0, b) , PF ? (c ? 2a, ?b), CF ? (c, ?b) , 因为 PF ? CF ,所以 PF CF ? 0 ,即 (c ? 2a )c ? ( ?b) ? 0 ,
2

????1 分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac ,故椭圆 E 的离心率 e ?

c 1 ? . ????2 分 a 2 此时 a ? 2c, b ? 3c ,所以点 P (4c, 3c) , B (2c, 0), D(0, ? 3c) ,
所以 k BP ?

3c ? 0 3 ? 3c ? 0 3 ? ? , k BD ? ,故 P, B, D 三点共线.???4 分 4c ? 2c 2 0 ? 2c 2

(Ⅱ)依题可知直线 AR 的方程为 y ? 0 ? 即 x ? 2 y ? 2c ? 0 ,且 | AR |? 3 5c ,

3c ? 0 ( x ? 2c ) , 2a ? (?2c)
??????5 分
2 2 2

可设直线 AQ 的方程为 y ? k ( x ? 2c) ,代入 E 方程 3 x ? 4 y ? 12c 整理得 ??????6 分 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16ck 2 x ? 16c 2 k 2 ? 12c 2 ? 0 , 由 于 ?2c 是 上 述 方 程 的 一 个 根 , 因 此 设 点 Q 的 坐 标 为 ( x1 , y1 ) , 有

16c 2 k 2 ? 12c 2 6c ? 8ck 2 12ck , y1 ? ??????7 分 ? x ? 1 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 | x ? 2 y1 ? 2c | 12c 2k ? 1 故点 Q 到直线 AR 的距离等于 d ? 1 ? | | ,???????8 分 2 5 5 3 ? 4k 1 2k ? 1 2 所以 S ?OQR ? | AR | ?d ? 18c | ??????9 分 |, 2 3 ? 4k 2 算法一:设 2k ? 1 ? t ,若 t ? 0 ,则 S ?OQR ? 0 , ?2cx1 ?
在 t ? 0 时 S ?OQR ? 18c |
2

若 t ? 0 ,则 S ?OQR

t 1 ??????10 分 |? 18c 2 4 t ? 2t ? 4 |t ? ?2| t 2 ? 3c ;若 t ? 0 ,则 S ?OQR ? 9c 2 (当且仅当 t ? ?2 取等号)
2
2

综上可知 S ?OQR 的最大值是 9c

??????12 分

1 ,故直线 l 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 .????13 分 2 2(3 ? 4k 2 ) ? (2k ? 1) ? 8k 2(3 ? 2k )(2k ? 1) 2k ? 1 ? ? 算法二:设 f (k ) ? ,则 f (k ) ? ,?10 分 3 ? 4k 2 (3 ? 4k 2 ) (3 ? 4k 2 ) 1 3 1 1 3 令 f ?(k ) ? 0 得,k ? ? , 或 k ? , 可知 f (k ) 在区间 (??, ? ) 内单调递减,在 (? , ) 内 2 2 2 2 2 3 单调递增,在 ( , ??) 内单调递减,又当 k 趋向于无穷大时 f (k ) 的值趋向于 0,并且在 2 1 1 ????11 分 (??, ) 内 f (k ) ? 0, 在 ( , ??) 内 f (k ) ? 0, 2 2 3 1 2 2 因此, f (k ) 的最大值是 f ( ) ? 3c , f (k ) 的最小值是 f (? ) ? ?9c ,???12 分 2 2 1 2 所以 S ?OQR 的最大值是 | f (? ) |? 9c ? 9 .由此可知 c ? 1, 直线 l 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?13 分 2 (注:还有其它解法,如设点 Q 的坐标为 (2c cos? , 3c sin ? ) , 用点到直线的距离公式;或
由 S ?OQR 的最大值是 9 可知 c ? 1, k ? ? 数形结合求出与直线 AR 平行且与椭圆相切的直线等. 请老师们参照给分)

19. (本小题满分 14 分)已知 A(

,

),B(

,

1 ? 2x ,x ? ? 1? 2x 2 的图象上 )是函数 f ( x ) ? ? ? 1 ? ?1, x ? ? ? 2
.

的任意两点(可以重合) ,点 M 在直线 (Ⅰ)求 + 的值及 + 的值

上,且

(Ⅱ)已知

,当

时, = ,

+ 为数列{ 的值.

+

+

,求

; ,

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 使得不等式

}的前 项和,若存在正整数 、

成立,求 和

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵点 M 在直线 x= 则 又 ①当 = ②当 = 时, = = ,∴ 时, = , + = + , 上,设 M . ,

=1. ????????????2 分 , + = + = ??????4 分 ; ????????????5 分

综合①②得 y1 ? y2 ? ?2

k n?k ? f ( )? f ( ) ? ?2, k ? 1,2,3,? n ? 1 . ????????????6 分 n n 1 2 3 n ?1 n ? 2时, S n ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ), ① n n n n n ?1 n?2 n?3 1 n ? 2时, S n ? f ( )? f ( )? f ( ) ? ? f ( ), ②??????7 分 n n n n ①+②得, 2Sn ? ?2(n ?1),则Sn ? 1 ? n ??????8 分
当 n=1 时, S1 ? 0, 满足Sn ? 1 ? n =0 ∴ Sn ? 1 ? n (Ⅲ) = = , =1+ + = . ??????9 分 ??????10 分 .??11 分 =2∴ , = -2+ =2, ??????12 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x1? x2 ? 1, y1 ? y2 ? ?2

, 、m 为正整数,∴c=1,??????13 分

当 c=1 时,



∴1<

<3,

∴m=1.???????14 分

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x. ( 1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (1, e) 的有零点,求正数 a 的取值范围;

?2 (Ⅲ)求证不等式 e i?1 i ? n 对任意的正整数 n 都成立
解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?2 x ? ln x, f ?( x) ? ?2 ?

n

i ?1

(其中 e 是自然对数的底数).

1 . ??????1 分 x 因为 k ? f '(1) ? ?1, f (1) ? ?2 .所以切线方程是 y ? 2 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 ??2 分
(Ⅱ)由 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x.

1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 ( x ? 0) 得 f '( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? ? ??????3 分 x x 1 1 因为 a ? 0 ,故令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? (舍去). ???????4 分 a 2 1 (1)当 0 ? ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在(1,e)上单调递增, a 所以 f (1) ? f ( x) ? f (e) ,而 f (1) ? ?2 ? 0 , f (e) ? (e2 ? e)a ? (2e ?1) ;???5 分 2e ? 1 要使 f ( x) 在区间 (1, e) 的有零点,应有 f (e) ? (e2 ? e)a ? (2e ?1) ? 0 ,解得 a ? 2 e ?e 2e ? 1 ? 1 ,故 a ? 1 适合题意; 由于 2 ????6 分 e ?e 1 1 1 1 ( 2 )当 1 ? ? e ,即 ? a ? 1 时,在 [1, ] 上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,在 [ , e] 上 a e a a ? f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, ????7 分 1 2e ? 1 故 f ( ) ? f (1) ? ?2 ? 0 ,与(1)同理有 a ? 2 , a e ?e 1 2e ? 1 2e ? 1 ? 2 ? 1 ,故 2 ? a ? 1 适合题意. ????8 分 e e ?e e ?e 1 1 (3)当 ? e 即 a ? 时, f ( x) 在(1,e)上单调递减, a e 所以,在(1,e)上 f ( x) ? f (1) ? ?2 ? 0 ,不合题意. 2e ? 1 , ?? ) . 综上(1)(2)(3)可知,正数 a 的取值范围是 ( 2 ??????9 分 e ?e

i ?1 1 1 ?2 (Ⅲ)证明:要证 i?1 i ,只要证 ? 2 ? ln n ,即证 ?( ? 2 )?ln n ???10 分 i i e ?n i ?1 i i?1
1 x(2 x ? 1) ?1? 2x ? ?0 x ?1 x ?1 1 1 2 故 g ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x (0 ? x ? ) 是增函数, 当0 ? x ? 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ??11 分 2 2 1 1 1 1 1 1 1 k ? 2 ? ln 当 k ? 2 时,取 x ? ? (0, ] ,有 ln(1 ? ) ? ? 2 ? 0 , ??12 分 k 2 k k k k k k ?1
设 g ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x (0 ? x ? ) ,则 g ?( x) ?
2

n

i ?1

n

n

1 2

在上述的不等式中分别令 k ? 2,3, 4,

, n 得:

? i2 ?ln n
i ?2

n

i ?1

, ??????13 分



i ?1 n i ?1 ?? 2 ? ln n , ? 2 i ?1 i i ?2 i
n

? 2 所以,不等式 i?1 n e ? n 对任意的正整数 n 都成立. ??????14 分

n

n ?1


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