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省哈三中2014届高三下学期第三次模拟考试数学文试题 Word版含解析


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黑龙江省哈尔滨市第三中学 2013-2014 年高三下学期第三次 高考模拟考试数学试卷(文史类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写,字体工整,字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效, 在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 【试卷综析】本试卷是高三考前模拟文史类数学试卷,采取了与高考真题一致的命题模式, 紧扣考纲,考查了高考考纲上的诸多热点问题,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生基 本数学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规,也有综合性较强的问题。试题重点考查: 函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量、极坐标与参数 方程、推理与证明等,涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论等,试 题题目新颖,导向性强,非常适合备战高考的高三学生使用。

第I卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.
2 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? {x x ? 2x ? 3 ? 0} , B ? {x 2 ? x ? 4} , 那 么 集 合

(CU A) ? B ?
(A) {x ? 1 ? x ? 4} (C) {x 2 ? x ? 3} 【知识点】几何的运算 【 答 案 解 析 】 B 解 析 : A ? {x x ? 2x ? 3 ? 0} = {x x ? ?1或x ? 3} , 所 以
2

(B) {x 2 ? x ? 3} (D) {x ? 1 ? x ? 4}

CU A ? ? x ?1 ? x ? 3? ,所以 (CU A) ? B ? {x 2 ? x ? 3} ,
故选:B 【思路点拨】解出集合 A ,再求出 CU A ,然后借助数轴求出 (CU A)

B 即可。

2.

复数 1 ? i ? i ? ?i 等于
2 10

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(A) i 【知识点】复数的运算 【 答 案 解 析 】 A

(B) ? i

(C) 2 i

(D) ? 2i

n 解 析 : i 4n ? 1 , i 4?

1

? n 4 2 ? n 4 3 ? i, i ? ?1 , i ? ?i( n, ? 所 N ) 以

2 2 10 2 i 4n ? i 4?n 1 ? i ?n4 ? i ?n 4 0, ?3 所以 1 ? i ? i ? ?i ? 1 ? i ? i ? i ,

故选:A 【思路点拨】 由 i ? ?1 可得 i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i(n ? N ) , 按此规律化简原式,
2

即可得到答案。 3. 已知 a ? 0.2
0.3

, b ? log0.2 3 , c ? log0.2 4 ,则 (B) a ? c ? b (C) b ? c ? a (D) c ? b ? a

(A) a ? b ? c

【知识点】对数函数的单调性;指数函数的性质 【答案解析】A 解析:因为 0.2 ? 1 , 函数 y ? 0.2 是单调减函数,所以 0 ? a ? 0.2
x
0.3

? 1,

函数 y ? log0.2 x 也是减函数,所以 c ? log0.2 4 ? b ? log0.2 3 ? 0,所以 a ? b ? c , 故选:A 【思路点拨】利用指数函数和对数函数的性质,通过比较三个数和 0、1 的大小关系,结合单 调性,即可得到它们的大小关系。 4. 已知直线 m, n 和平面 ? ,则 m // n 的一个必要条件是 (A) m // ? , n // ? (C) m // ? , n ? ? (B) m ? ? , n ? ? (D) m, n 与 ? 成等角

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断;空 间中直线与平面之间的位置关系 【答案解析】D 解析:A:m、n 可以都和平面垂直,不必要 B:m、n 可以都和平面平行,不必要 C:n 不一定要在平面内,不必要 D.平行所以成的角一定相等,但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行,所以是必 要非充分 故选 D 【思路点拨】m、n 可以都和平面垂直,推断 A 是不必要条件;m、n 可以都和平面平行,可 推断 B 是不必要条件;n 不一定要在平面内,可推断出 C 是不必要条件;最后平行所以成的 角一定相等,但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行,所以推断 D 是必要非充分。

5.

已知 x 与 y 之间的一组数据:

x
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0

1
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2

3
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y

m

3

5.5

7

? =2.1 x +0.85,则 m 的值为 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y
(A) 1 (B) 0.85 【知识点】回归直线;回归分析 【答案解析】D 解析: x ? 1.5 , y ? (C) 0.7 (D) 0.5

m ? 3 ? 5.5 ? 7 m ? 15.5 ? , 4 4

因为回归直线过点 ( x , y ) , 所以 2.1?1.5 ? 0.85 ? 解得: m ? 0.5 故选:D 【思路点拨】求出 x , y ,由回归直线过 ( x , y ) ,可列出关于 m 的方程,解出方程即可。 6.
2 2 在数列 ?a n ? 中,已知 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 n ? 1 ,则 a12 ? a2 等于 ? ? ? an

m ? 15.5 , 4

(A) 2 n ? 1

?

?

2

(A) 2 n ? 1

?

?

2

(B)

?2

n

? 1? 3

2

(C)4 n ? 1

(D)

4n ?1 3

【知识点】数列的通项公式;等比数列的性质、前 n 项和公式 【答案解析】D 解析:

a1 ? a2 ?
? a1 ? a2 ?

? an?1 ? an ? 2n ?1 ? an?1 ? 2n?1 ?1




①-②得: an ? 2n ?1 ? (2n?1 ?1) ? 2n?1

??an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,
? ?an 2 ? 也是等比数列,首项为 1,公比为 4,

1 ? 4n 4 n ? 1 ? 则 a ? a ??? a ? , 3 1? 4
2 1 2 2 2 n

故选:D 【思路点拨】由已知可求出 an ,根据 an 可判断出 ?an ? 是等比数列,所
2 以 an 也是等比数列,求出其首项和公比,代入等比数列的前 n

? ?

S=0,n=1

项和公式中即可。

S ? S?n
n ? 2n

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7.

执行如图所示的程序框图,若输出 S ? 15 ,则框图中①处 可以填入

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是 输出 S
结束

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(A) n ? 4 (C) n ? 16

(B) n ? 8 (D) n ? 16

【知识点】程序框图 【答案解析】B 解析:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S n 循环前 / 0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 4 第三圈 是 7 8 第四圈 是 15 16, 因为输出:S=15. 所以判断框内可填写“n>8” , 故选:B. 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是累加变量 k 的平方到 S 并输出 S,模拟程序的执行过程,分析出进行循环的条件, 可得答案.

8.

? y?x ? 已知 z ? 2 x ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的 ? x?a ?
值是

2 11 1 (B) (C)4 (D) 4 11 2 【知识点】线性规划 【答案解析】B 解析:由题意可得,B(1,1)∴a<1,不等式组表示的平面区域为如图所 示的△ABC 及其内部,
(A)

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由 z ? 2 x ? y 可得 y ? 2 x ? z , 则 z 表示直线 y ? 2 x ? z 在 y 轴上的截距, 截距越大,z 越大。 作直线 L:y=-2x,把直线向可行域平移,当直线经过 C 时 z 最小,当直线经过点 B 时, z 最 大,由 ?

?x ? a 得 C : (a, a) ,此时 z ? 3a , ?y ? x

由?

?y ? x 得 B : (1,1) ,此时 z ? 3 , x ? y ? 2 ? 0 ?
1 , 4

所以 3 ? 4 ? 3a , a ? 故选:B

【思路点拨】 由题意可得先作出不等式表示的 平面区域, 由 z ? 2 x ? y 可得 y ? 2 x ? z , 则z 表示直线 y ? 2 x ? z 在 y 轴上的截距,截距越大, z 越大,可求 z 的最大值与最小值,即可求 解a. 9.

x2 y2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线的渐近线于 a b

A, B 两点,且与其中一条渐近线垂直,若 AF ? 4FB ,则该双曲线的离心率是
(A) 5 (B) 2 5 (C)

10 5

(D)

2 10 5

【知识点】双曲线的简单几何性质 【答案解析】D 解析:由题意得右焦点 F(c,0) ,设一渐近线 OA 的方程为 y ? 渐近线 OB 的方程为 y ? ?

b x ,另一 a

b bm bn x ,设 A(m, ), B (n, ? ) , a a a

?c ? m ? 4(n ? c) bm bn ? AF ? 4 FB,? (c? m, ? ) ? 4(n ? c, ? ) ,? ? bm bn , a a ? ? ? 4 ? a ? a
5c 5c 5c 5bc , n ? ,? B( , ? ), 2 8 8 8a 5bc 5bc ? ?0 ? ? 8a ? ?1,化简得: 5b2 ? 3a 2 , 由 FB⊥OB 可得,斜率之积等于-1,即 8a 5c 5c ?c 8 8
解之得: m ?
2 2 2 即 5(c ? a ) ? 3a , 解之可得 5c ? 8a ,所以 e ?
2 2

c 2 10 ? , 5 a

故选:D
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【思路点拨】由题意设出右焦点 F 的坐标和两条渐进性方程,设出 A,B 两点的坐标,根据

AF ? 4FB 解出 A,B 两点的坐标,再由 FB⊥OB 可得 a,b 的关系式,进而解出离心率。
10. 已知函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) ,则下列结论正确的是
f ( x)

(A)若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) (B)函数 f ? x ? 的图象与 g ( x) ? 3 cos( 2 x ? (C)函数 f ? x ? 的图象关于 (?

?
4

) 的图象相同

,0) 对称 8 1 3 (D)函数 f ? x ? 在区间 [? ? , ? ] 上是增函数 8 8
【知识点】三角函数的性质 【答案解析】D 解 析 : 令 f ' ( x) ? 0 , 得 2 x ?

?

?
4

? k? , k ? z , 则 x ?

?

x1 ?

?
8

?

k1 ? k k ? , x2 ? ? 2 ? , x1 ? x2 ? ? (k ? Z ) ,故 A 错误; 2 8 2 2

k ? ? ,所以 8 2

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) ? 3(

2 2 sin 2 x ? cos2 x) , 2 2 2 2 cos2 x ? sin 2 x) ,所以 f ( x) ? ? g ( x) ,故 B 错误; 2 2

g ( x) ? 3 cos( 2 x ?
将 f (?

?
4

) ? 3(

) ? 3 sin( ? ) ? ?3 ? 0 ,所以 (? ,0) 不是函数的对称中心,故 C 错误; 8 8 2 ? 3? ? ? ? ? k? , , 由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , 得 ? ? k? ? x ? 所以函数的单调递增区间为 8 8 2 4 2 ? 3? 1 3 [ ? ? k? , ? k? ] (k ? Z ) ,当 k ? 0 时,即可得到递增区间 [? ? , ? ] ,所以 D 正确。 8 8 8 8
故选:D 【思路点拨】利用正弦函数的性质对 A,B,C,D 四个选项逐一分析即可求得答案. 11. 已知一个正四面体的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 3 2 的正方形,则该 正四面体的内切球的表面积为 (A) 6? (C) 12? (B) 54? (D) 48? C B

?

?

?

D
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A
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【知识点】几何体和球的关系 【答案解析】A 解析:这个正四面体的位置是 AC 放在桌面上,BD 平行桌面,如图:

正四面体的棱长就是俯视图正方形的对角线的长,所以正四面体的棱长为 6, 设正四面体的内切球的半径为 r ,由正四面体的体积得:

6 1 1 3 1 1 3 2 , ? ? 6? 6? ? r ? 4 ? ? ? 6? 6? ? 62 ? ( ? 3 3 ) 2 ,解得 r ? 2 3 2 2 3 2 2 3
所以正四面体的内切球的表面积为 4? ? (

6 2 ) ? 6? , 2

故选:A 【思路点拨】根据三视图想象正四面体的放置方式,再由题中数据求出正四面体的棱长为 6, 设正四面体的内切球的半径为 r ,则此正四面体可分割成四个边长为 6 的等边三角形为底面, 以 r 为高的小三棱锥,由体积相等法可列出关于 r 的方程,解出 r ,代入球的表面积公式即可 解得球的表面积。 12. 定 义 在 (1,?? ) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 下 列 两 个 条 件 : ( 1 ) 对 任 意 的 x ? (1,??) 恒 有

f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; (2)当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 2 ? x .记函数 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,
若函数 g ( x) 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是 (A) ?1, 2 ?

?4 ? (B) ? , 2 ? ?3 ?

?4 ? (C) ? ,2 ? ?3 ?

?4 ? (D) ? ,2 ? ?3 ?

【知识点】函数的零点;数形结合法 【答案解析】D 条一条的射线, 函数 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) 恰有两个零点,即 f ( x) ? k ( x ? 1) 有两个不等的实根, 即函数 y ? ? x ? 2b, x ? (b,2b] 与函数 y ? k ( x ? 1) 的图像有两个交点, 函数 y ? k ( x ? 1) 的图像是恒过点 M (1,0) 的一条直线,在同一个坐标系内作出两个函数的图 像, 解析:由题意知, f ( x) ? ? x ? 2b, x ? (b,2b] , x ? (1,??) 时,其图像是一

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只 有 所 示 红 色 的 直 线 ( y ? k ( x ? 1) 的 部 分 图 像 ) 与 线 段 AB 相 交 时 , 函 数

y ? ? x ? 2b, x ? (b,2b] 与函数 y ? k ( x ? 1) 的图像有两个交点 P,Q (可以与 B 点重合但不能与
A 点重合) ,又 A(2,2), B(4,4) ,所以 k MA ? 故选:D 【思路点拨】根据题中的条件得到函数的解析式为 f ( x) ? ? x ? 2b, x ? (b,2b] : ,又因为

4 ?4 ? , k MB ? 2 ,所以实数 k 的取值范围是: ? ,2 ? , 3 ?3 ?

y ? k ( x ? 1) 的函数图象是过定点(1,0)的直线,再结合函数的图象根据题意求出参数 k 的
范围即可.

2014 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试 数学试卷(文史类) 第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13. 从 1,2,3,4,5,6 这六个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的和为偶数的概率 是
.

【知识点】古典概型的概率 【答案解析】

2 5

解析:从 1,2,3,4,5,6 这六个数中,随机抽取 2 个不同的数,基本事件有:

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(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6) ,共 15 个,其中“和为偶数”包括的基本事件有: (1,3) (1,5) (2,4) (2,6) (3,5) (4,6) ,共 6 个,所以其概率为: 故答案为:

6 2 ? , 15 5

2 5

【思路点拨】用列举法列出所有的基本事件以及“和为偶数”包括的基本事件,用古典概型 的概率计算公式计算即可。 14. 若 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ?

1 1 CB ? CA , 则 3 2

MA ? MB ?
【知识点】向量的运算 【答案解析】 ? 解析:

.

9 8

故答案为: ?

9 8

【思路点拨】先利用向量的运算法则将 MA, MB 分别用等边三角形的边对应的向量表示, 利用向量的运算法则展开,根据三角形的边长及边边的夹角已知,求出两个向量的数量积。

10 ? ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? 4 10 2 3 【知识点】三角恒等变换
15. 已知 cos(? ?

?

)?

.

【答案解析】

4?3 3 10

解析:由 cos(? ?

?
4

)?

? ? 3? 10 ? ), , ? ? (0, ) ,得 ? ? ? ( , 10 2 4 4 4

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则 sin(? ?

?
4

)?

? ? 4 3 10 2 ,所以 sin 2? ? ? cos(2? ? ) ? 1 ? 2 cos (? ? ) ? , 2 4 5 10

? ? ? 3 cos 2? ? sin(2? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ? , 2 4 4 5
所以 sin(2? ?

?
3

) ? sin 2? cos

?
3

? cos 2? sin

?
3

?

2 3 3 4?3 3 , ? ? 10 5 10

故答案为:

4?3 3 10

【思路点拨】由题意可得 sin(? ? 再用差角公式求出 sin(2? ?

?
4

) ,再利用诱导公式、二倍角公式求得 sin 2? ,cos 2? 的值,

?
3

) 即可。

16. 若在由正整数构成的无穷数列 {an } 中,对任意的正整数 n ,都有 an ? an?1 ,且对任意的 正整数 k ,该数列中恰有 2k ? 1 个 k ,则 a2014 =
.

【知识点】数列的通项;等差数列的前 n 项和 【答案解析】45 解析:∵对任意的正整数 k,该数列中恰有 2k-1 个 k, ∴数列是 1;2,2,2;3,3,3,3,3,? 设 a2014 在第 n+1 组中,由 1+3+5+?+(2n-1)=n2<2014,解得 n<45 ∴, a2014 在第 45 组中, 所以 a2014 ? 45 , 故答案为:45 【思路点拨】利用已知条件,判断出数列中各项的特点,求出第 2014 项所在的组,即可求出 第 2014 项的值. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,满足

2a sin A ? (2b ? 3c) sin B ? (2c ? 3b) sin C .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. 【知识点】正、余弦定理;三角形的面积公式 【答案解析】
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解: (Ⅰ)由已知及正弦定理可得 2a 2 ? (2b ? 3c)b ? (2c ? 3b)c , 整理得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc , 所以 cos A ?

3 . 2

又 A ? (0, ? ) ,故 A ?

?
6



(Ⅱ)由正弦定理可知 所以 sin B ? 又 B ? (0, 若B?

? a b ,又 a ? 2 , b ? 2 3 , A ? , ? 6 sin A sin B

3 . 2

? 2? 5? . ) ,故 B ? 或 3 3 6 ?
,于是 S ?ABC ?

?

3 2 2? ? 若B? ,则 C ? ,于是 S?ABC 3 6

,则 C ?

1 ab ? 2 3 ; 2 1 ? ab sin C ? 3 . 2

【思路点拨】 (Ⅰ)用正弦定理将已知条件中的角化成边,观察边之间的关系,不难求出

cos A ?

3 ,进而求出角 A; 2 3 ,因为 B 有两个值,需要分类讨论,不同的 B 的 2

(Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)可求得 sin B ? 值对应不同的三角形面积。 18. (本小题满分 12 分)

某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成 [40,50) , [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 六组后,得到部分频率分布直 方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题. (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (Ⅲ)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对值 大于 10 的概率.

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【知识点】频率分布直方图;中位数;古典概型的概率 【答案解析】 解: (Ⅰ)设分数在[70,80)内的频率为 x ,根据频率分布直方图,则有

(0.01? 0.015? 2 ? 0.025? 0.005) ?10 ? x ? 1 ,可得 x ? 0.3 ,所以频率分布直方图为:

(Ⅱ)以中位数为准做一条垂直于横轴的直线,这条直线把频率分步直方图分成面积相等的 两个部分,由频率分步直方图知中位数要把最高的小长方形三等分, ∴ 中位数是 70 ? 10 ?

1 1 ? 73 ? 73 3 3

(Ⅲ)第 1 组学生数: 60 ? 0.1 ? 6 人(设为 1,2,3,4,5,6) 第 6 组学生数: 60 ? 0.1 ? 3 人(设为 A,B,C) 从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,共有 36 个基本事件,所抽取 2 人成绩 之差的绝对值大于 10,即 2 人一个来自第 1 组,一个来自第 6 组,所以包括的基本事件有 18 个,所以概率为

1 2

【思路点拨】 (I)由题意及频率分布直方图,设分数在[70,80)内的频率为 x ,建立方程解 出即可; (Ⅱ)将频率分布直方图分成相等的两个部分这就是面积平分,就可得到答案 (Ⅲ)计算出第 1 组和第 6 组两组学生数,列举出随机抽取 2 人基本事件和所抽取 2 人成绩 之差的绝对值大于 10 包含的基本事件,代入古典概型的公式中计算即可。 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1 B ? B1 A ? AB ? BC ? 2 , B

A1

1

C1

?B1 BC ? 90? , D 为 AC 的中点, AB ? B1 D .
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A D

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(Ⅰ)求证:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BB1 D 的体积.

【知识点】线线、线面、面面垂直的转化;锥体的体积 【答案解析】 解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O ,连接 OD , OB1 . 因为 B1 B ? B1 A ,所以 OB1 ? AB . 又 AB ? B1 D , OB1 ? B1 D ? B1 , 所以 AB ? 平面 B1OD , 因为 OD ? 平面 B1OD ,所以 AB ? OD .?3 分 由已知, BC ? BB1 ,又 OD // BC , 所以 OD ? BB1 ,因为 AB ? BB1 ? B , 所以 OD ? 平面 ABB1 A1 . 又 OD ? 平面 ABC ,所以平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 . (Ⅱ)三棱锥 C ? BB1 D 的体积=三棱锥 B1 ? BCD 的体积 由(Ⅰ)知,平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 ,平面 ABC ? 平面 ABB 1A 1 ? AB ,

A1

B1
O

C1

A D B

C

OB1 ? AB ,

OB1 ? 平面 ABB1 A1

所以 OB1 ? 平面ABC ,即 OB1 ? 平面BCD ,

B1O 即点 B1 到 平面BCD 的距离,
S ?BCD ? 1 S ?ABC ? 1 2

B1O ? 3

所以 VC ? BB1D ? VB1 ? BCD ?

1 3 ? 1? 3 ? 3 3

【思路点拨】 (Ⅰ)根据面面垂直的判定定理,要证平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ,只需证明平面

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ABC 过平面 ABB1 A1 的一条垂线,根据已知条件,做出辅助线 OD ,利用线线,线面垂直的
相互转化,证明 OD ? 平面 ABB1 A 1 即可; (Ⅱ)将三棱锥 C ? BB1 D 的体积转化成三棱锥 B1 ? BCD 的体积,可证 B1O 是点 B1 到

平面BCD 的距离, 即三棱锥的高, 求出 B1O 和 S ?BCD , 代入锥体的体积公式即可计算出体积。
20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 B . Q 为抛 a2 b2

物线 y 2 ? 12x 的焦点,且 F1 B ? QB ? 0 , 2F1 F2 ? QF1 ? 0. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过定点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点( M 在 P, N 之间) ,设直线 l 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,在 x 轴上是否存在点 A(m,0) ,使得以 AM , AN 为邻边的平行 四边形为菱形?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

y
P B


N

F1

O



x

【知识点】椭圆的性质和标准方程;直线和椭圆的综合问题 【答案解析】 解: (Ⅰ)由已知 Q(3,0) , F1 B ? QB , | QF1 |? 4c ? 3 ? c ,所以 c ? 1 . 在 Rt?F1 BQ 中, F2 为线段 F1 Q 的中点, 故 | BF2 |? 2c ? 2 ,所以 a ? 2 . 于是椭圆 C 的标准方程为

y
P

M

B

x2 y2 ? ?1. 4 3
N

(Ⅱ)设 l : y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) ,

F1



O

F2



x

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,取 MN 的中点为 E ( x 0 , y 0 ) .

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假设存在点 A(m,0) 使得以 AM , AN 为邻边的平行四边形为菱形,则 AE ? MN .

? y ? kx ? 2 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0 , ?x y2 ? ? 1 ? 3 ?4

1 1 ,又 k ? 0 ,所以 k ? . 2 4 6 16k 8k 因为 x1 ? x2 ? ? 2 ,所以 x0 ? ? 2 , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 . 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 6 ?0 2 1 1 ?? , 因为 AE ? MN ,所以 k AE ? ? ,即 4k ? 3 ? 8k k k ?m 2 4k ? 3

? ?0?k2 ?

整理得 m ? ?

2k ?? 4k 2 ? 3

2 3 4k ? k



因为 k ?

3 1 3 1 3 ,0 ) . 时, 4k ? ? 4 3 , ? (0, ] ,所以 m ? [ ? 3 6 12 2 k 4k ? k

【思路点拨】 (Ⅰ)根据已知条件,分析各个量之间的关系,得到关于椭圆的 a , b, c 中的任意
2 2 两个的方程,再结合 a ? b ? c ,求出 a , b 的值即可得椭圆的方程;
2 2 2

(Ⅱ)设出直线 l 的方程,假设存在点 A(m,0) 使得以 AM , AN 为邻边的平行四边形为菱形, 则根据菱形的性质,可得点 A 与 MN 的中点 E 的连线垂直于 MN ,设出 M , N 及其中点 E 的 坐标,联立直线方程和椭圆方程,得到关于 x 的含参数 k 的一元二次方程,利用韦达定理表示 出 AE ? MN 的充要条件,得到 m和 k 的一个关系式,根据此关系式即可求出 m 的范围。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 ( a ? 0 ). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若 a ?

1 1 ,且关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在 ?1, 4 ? 上恰有两个不等的实根, 2 6 求实数 b 的取值范围;

(Ⅲ)设各项为正数的数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ln an ? an ? 2 ( n ? N ? ) , 求证: an ? 2 n ? 1 . 【知识点】用导数求最值;函数的极值与导数;迭乘法

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【答案解析】 21.解: (Ⅰ)函数的定义域为 ?0,??? ,

f ?( x) ? ?

ax ? 1 ( x ? 0) , x

? 1? x ? ? 0, ?, f ?( x) ? 0, f ( x)单调递增, ? a? ?1 ? x ?? , ? ? ?, f ?( x) ? 0, f ( x)单调递减 ?a ?
1 1 时, f ( x) 取最大值 f ( ) ? ? ln a a a 1 1 x (Ⅱ) a ? ,由 f ( x ) ? ? x ? b 得 ln x ? ? 1 ? b 在 ?1, 4 ?上有两个不同的实根, 2 6 3 x 设 g ( x) ? ln x ? ? 1, x ? ?1,4? 3 3? x g ?( x) ? , x ? ?1,3? 时, g ?( x) ? 0 , x ? ?3,4? 时, g ?( x) ? 0 3x
当x ?

g ( x) max ? g (3) ? ln 3 ,
g (1) ? 2 1 , g (4) ? 2 ln 2 ? 3 3 2 1 g (1) ? g (4) ? ? 2 ln 2 ? ? 1 ? 2 ln 2 ? 0 ,得 g (1) ? g (4) 3 3

则 b ? ?2 ln 2 ?

? ?

1 ? , ln 3 ? 3 ?

(Ⅲ)由(1)知当 a ? 1 时, ln x ? x ? 1 。 由已知条件 an ? 0, an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ? 1 ? an ? 2 ? 2an ? 1 , 故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), 所以当 n ? 2 时, 0 ?

an ? 1 a ?1 ? 2, 0 ? n ?1 ? 2, ? ? ? , an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1

0?

a ?1 a2 ? 1 ? 2, 相乘得 0 ? n ? 2n?1 , a1 ? 1 a1 ? 1

n n 又 a1 ? 1, 故 an ? 1 ? 2 ,即 an ? 2 ? 1

【思路点拨】 (Ⅰ)求出函数的导数,用导数判断单调性,求出极值点,若极值点只有一个, 则此极值点也是最值点,代入求最值即可; (Ⅱ)将 a 的值代入整理成方程的形式,然后转化为函数,考虑其图象与 x 轴的交点的问题; (Ⅲ)利用当 x ? 0 且 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 ,
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得 到 an?1 ? l n an ? an ? 2 ? an ? 1

? an 2 ?

, 2 ? a 1?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), , 所 以 n 即

0?

an ? 1 ? 2, ,用迭乘法可得 an ? 2n ?1这个结论。 an ?1 ? 1

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B ,

C G F
O

ADE , CFD , CGE 都是⊙ O 的割线, AC ? AB .
(Ⅰ)证明: AD ? AE ? AC ;
2

A D

(Ⅱ)证明: FG // AC .

E
【知识点】切割线定理;平行线的判定 【答案解析】

B

2 2 解: (Ⅰ)由切割线定理知 AB ? AD ? AE ,又 AC ? AB ,得 AC ? AD ? AE

2 (Ⅱ)由 AC ? AD ? AE 得 ?CDA ∽ ?ACE ,所以 ?ACD ? ?CEA

又四边形 GEDF 四点共圆,所以 ?CFG ? ?CED 故 ?CFG ? ?ACF ,所以 FG // AC 【思路点拨】 (Ⅰ)利用切线长与割线长的关系及 AB=AC 进行证明. (Ⅱ)利用成比例的线段证明角相等、三角形相似,得到同位角角相等,从而两直线平行.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的

? 3 t ? x ? ?3 ? ? 2 ( t 为参数). 极坐标方程是 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程是 ? ? y? 1t ? 2 ?
(Ⅰ)过极点作直线 l 的垂线,垂足为点 P ,求点 P 的极坐标; (Ⅱ)若点 M , N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点,求 MN 的最小值. 【知识点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程 【答案解析】 解: (Ⅰ)由直线的参数方程消去参数 t 得 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 , 则直线 l 的一个方向向量为:

a ? (3, 3) ,
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设点 P : (?3 ?

3 1 3 1 t , t ) ,则 OP ? (?3 ? t, t ) , 2 2 2 2
3 3 3 3, t) ? t ? 0 ,所以 t ? 2 2 2

又 op ? a ,则 3( ? 3 ?

代入直线 l 的参数方程,得 P : ?

? 3 2? , ?2 3

? ?, ?

所以点 P 的极坐标为 ?

? 3 2? ? , ? ?2 3 ?

(Ⅱ)因为曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2

则圆心 ( 2,0) 到直线 l 的距离为 d ?

5 , 2

MN 的最小值为 d ? r ?

1 5 ?2? 2 2

【思路点拨】 (Ⅰ)由直线的参数方程设出点 P 的坐标,得到向量 OP 的坐标,再利用它与 l 的 一个方向向量垂直得到一个关于参数 t 的方程,解得 t 值,最后将 P 的坐标化成极坐标即可; (Ⅱ)欲求 MN 的最小值,即求出圆上一点何时到直线的距离最小,先转化为圆心到直线的 距离最小值求解,结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 , g ( x) ? ? x ? 3 ? m . (Ⅰ)若关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 的解集为 {x ? 5 ? x ? ?1 } ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 对于任意的 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式;不等式恒成立问题 【答案解析】 解: (Ⅰ)因为 g ( x) ? ? x ? 3 ? m ? 0 ,所以 x ? 3 ? m ,所以 ? m ? 3 ? x ? m ? 3 ,由题意

?? m ? 3 ? ?5 ,所以 m ? 2 ; ? ? m ? 3 ? ?1
( Ⅱ ) 若 f ( x) ? g ( x) 恒 成 立 , 所 以 x ? 2 ? x ? 3 ? m 恒 成 立 , 因 为
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x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 当且仅当 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 时取等,所以 m ? 5 .
【思路点拨】 (Ⅰ)不等式 g ( x) ? 0 即 x ? 3 ? m ,所以 ? m ? 3 ? x ? m ? 3 ,根据已知比较 两个范围的左右端点值即可; (Ⅱ)由题知 x ? 2 ? x ? 3 ? m 恒成立,求出 x ? 2 ? x ? 3 的最小值, m 小于此最小值即 可。

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