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3.1.1 不等关系与不等式的性质


第三章

不等式

数学· 必修 5(人教 A 版)







本章概述
课标导读
1.不等关系 通过具体情境感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关 系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式 (1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求 解的程序框图. 3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次 不等式组. (3)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以 解决.

第三章 4.基本不等式

不等式

(1)探索并了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

要点点击
1.在一元二次不等式的学习中,应了解一元二次不等式的实际背 景.求解一元二次不等式,首先可求出相应方程的根,然后根据相应 函数的图象求出不等式的解; 也可以运用代数的方法求解. 力求设计 求解一元二次不等式的程序框图. 2.不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.刻画区域 是解决线性规划问题的一个基本步骤, 要学会从实际背景中抽象出二 元一次不等式组. 3.线性规划是优化的具体模型之一.在本模块的学习中,要体会 线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.

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第三章

不等式

3.1
3.1.1

不等关系与不等式
不等关系与不等式的性质

?基础达标 1.判断下列结论是否正确(对的打“√”,错的打“×”): (1)a>b,c=d?ac>bd( ) a b (2) 2> 2?a>b( ) c c 1 1 (3)a>b,ab<0?a<b( ) (4)a<b<0,c<d<0?ac>bd( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√

2.若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是( A.a+c≥b-c B.ac>bc 2 c C. >0 D.(a-b)c2≥0 a-b

)

解析:当 c<0 时,A、B 选项都错;当 c=0 时,C 错.故选 D. 事实上,a>b?a-b>0,又 c2≥0, ∴(a-b)· c2≥0. 答案:D

3.若 a>b,则一定有( a A.a2>b2 B.b>1 C.2a>2b 1 1 D.a<b

)

第三章

不等式

解析:∵a>b,又 y=2x 是 R 上增函数,∴2a>2b.选 C.取 a=1, b=-2,否定 A,B,D. 答案:C

4.若 x>1,y>2,则 (1)2x+y>______;(2)xy>______. 解析:(1)x>1?2x>2,∴2x+y>2+2=4; (2)xy>2. 答案:(1)4 (2)2 5. 下列不等式: ①a2+3>2a; ②a2+b2>2(a-b-1); ③x2+y2>xy. 其中恒成立的不等式的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0, ∴a2+3>2a,即①正确. ∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,即②错误. ∵x +y -xy= 答案:B
2 2

? y ? +3 ? x? ? y ? 2? 4

2

2

≥0,即③错误,选 B.

6.△ABC 的三边长分别为 a,b,1,则 a,b 满足的不等关系是 ________________. 解析:由三边长的关系得,a+b>1,且 b+1>a, 且 a+1>b. a+b>1, ? ? 答案:?b+1>a, ? ?a+1>b

第三章

不等式

?巩固提高 7.用“>”“<”或“=”填空: c c (1)已知 a<b<c<0,则 ac______bc;a______b; |a|______ |b|. (2)已知 x∈R,则 x2+2______2x. 解析:(1)∵a<b,c<0,∴ac>bc. 1 1 c c 又 a<b<0?0>a>b,c<0,∴a<b. 再由 a<b<0?-a>-b>0? -a> -b? |a|> |b|. (2)∵x2+2-2x=(x-1)2+1>0,∴x2+2>2x. 答案:(1)> < > (2)> 1 1 1 1 8.已知 a>b,则不等式①a2>b2;②a<b;③ >a中不能成 a-b 立的有________(填序号). 解析:由 a>b?a2>b2,反例:a=1,b=-2 时有 a2<b2,①错; 1 1 1 1 由 a>b?a<b,反例:a=1,b=-2 时有a>b,②错; 1 1 1 1 由 a>b? >a,反例:a=1,b=-2 时有 <a,③错. a-b a-b 答案:①②③ 9.(1)比较 x2+3 与 3x 的大小;

? 3? 解析:(x2+3)-3x=x2-3x+3= ? x ? ? ? 2?
∴x2+3>3x.

2

3 3 + ≥ >0, 4 4

(2)已知 a、b 为正数,且 a≠b,比较 a3+b3 与 a2b+ab2 的大小. 解析:(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2

第三章 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且 a≠b, ∴(a-b)2>0,a+b>0, ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 即 a3+b3>a2b+ab2.

不等式

10.设 a>0,且 a≠1,比较 loga(a3+1)与 loga(a2+1)的大小. 解析:(a3+1)-(a2+1 )=a2(a-1), (1)当 0<a<1 时 a3+1<a2+1. ∴loga(a3+1)>loga(a2+1). (2)当 a>1 时 a3+1>a2+1, ∴loga(a3+1)>loga(a2+1). ∴总有 loga(a3+1)>loga(a2+1).

1.用不等式(组)来描述不等关系,是研究不等关系的数学工具, 要能从不等关系中正确列不等式. 2.不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的理论依据,要 注意同向不等式可相加,也可相乘,但相乘时,两个不等式都需大于 零. 3.处理分式不等式时,不要随便将不等式两边乘以含有字母的 式子,如果需要去分母,需要考虑所乘的代数式的正负.


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