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[首发]江苏省淮安市淮海中学2017届高三12月考试数学(文)试题


淮海中学 2017 届高三第二次阶段性测试

数学试题(文科)
参考公式:样本数据 x1 , x2 ,…, x n 的方差 s 2 ?

2016.12.15

1 n 1 n ( xi ? x) 2 ,其中 x = ? xi ? n i ?1 n i ?1 ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填写在答题卡相应位置上.

1.设集合 U ? ?1, 2,3 , 4?,A ? ?13 ,, , , 4? ,则 A ? (CU B) ? ? B ? ?13 2.函数 f





? ? x? ? ? s i n x

c o? s x 的最小正周期是 ▲ .
2

3.已知复数 z 满足 ( 1 ? iz) ?

,则 z 的模为 ▲ . 3 ? (ii 是虚数单位) ▲ .

4 设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1 ,若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) ? 5.矩形 ABCD 由两个正方形拼成,则∠CAE 的正切值为 D E C

▲ .

A

F (第 5 题图)

B .

6. 若直线 l1:x+2y-4=0 与 l2:mx+(2-m)y-3=0 平行,则实数 m 的值为 ▲ 7.等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, ak ? 243 , q ? 3 ,则数列 ?an ? 前 k 项的和 ▲ 8. 已知点 P 是函数 f ( x) ? cos x(0 ? x ? .

?
3

) 图象上的一点, 则曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线斜

率取得最大值时切线的方程是 ▲ .
9.若 cos(

?
6

?? ) ?

3 5? ? , 则 cos( ? ? ) ? sin 2 (? ? ) = ▲ . 3 6 6

10 .在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE ?

??? ?

? ???? 1 ???? ? ??? ? ??? ? 2 ??? BC , DF ? DC ,则 AE ? AF 的值为 ▲ . 3 6 1 2 1 4 ? 的 n m

11. 等比数列 {an } 的首项为 2,公比为 3,前 n 项的和为 Sn ,若 log[ an ( S 4 m ? 1)] ? 9, 则 最小值为 ▲ .

12. 在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(1,0) , B(4,0) ,若直线 x-y+m=0 上存在点 P,使得 2PA=PB, 则实数 m 的取值范围为 ▲ .

?e x , x ? 1 , g ( x) ? kx ? 1, 若方程f ( x) ? g ( x) ? 0 有两个不同的实根, 13.已知函数 f ( x ) ? ? 则实 ? f ( x ? 1), x ? 1
数 k 的取值范围是 ▲ .
? x(1 ? mx) x ? 0, 14. 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x ) ? f ( x ? m) 的 解 集 为 M , 且 ? x(1 ? mx) x ? 0

? ?1,1? ? M ,则实数 m 的取值范围是
证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)





........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、

在三角形 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a.b .c ,且 (1)求角 A 的值; (2)若三角形面积为

2b - c cosC = a cos A

3 ,且 a = 5 ,求三角形 ABC 的周长. 2

16. (本小题 满分 14 分)

??? ? ??? ? 如图已知四边形 AOCB 中, | OA |? 5 , OC ? (5,0) ,点 B 位于第一象
限,若△BOC 为正三角形.

A

B

O

C

x

3 , 求点 A 的坐标; 5 ??? ? ??? ? (2)记向量 OA 与 BC 的夹角为 ? ,求 cos 2? 的值.
(1)若 cos ?AOB ?

17.(本小题满分 14 分) 如图,在半径为 30cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料 ABCD(点 A、B 在直径上,点 C、D

在半圆周上) ,并将其卷成一个以 AD 为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗) , (1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取? (2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取?

D

C

A

O
(第 17 题图)

B

[来源:学科网][来源:学.科.网]

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系中,已知 A 、 B 、 C 是椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上不同的三点, a2 b 2

A ( 10,
OA 上。

10 ), B (- 2, - 2) ,C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标; (3) 设动点 P 在椭圆上 (异于点 A、 B、 C) 且直线 PB, PC 分 别

ON 为定值并求出该定值. 交直线 OA 于 M、N 两点,证明 OM ×

???? ? ???? ?

19.(本小题满分 16 分) 已 知 数 列 an 和 bn 满 足 a1 鬃 a2 a3 ?an = ( 2)bn (n ? N + ). 若 an 为 等 比 数 列 , 且

a1 = 2,b3 = 6 +b2
(1)求 an 和 bn ; (2)设 c n =
[来源:学.科.网 ]

1 1 ,记数列 c n 的前 n 项和为 S n an b n

①求 S n ; ②求正整数 k,使得对任意 n ? N 均有 S k ? S n .
+

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f

(x ) =x

2

- 2a ln x (a ? R ).g (x ) 2ax

(1)求函数 f

( x ) 的极值;

(2)若 a > 0 时,函数 h (x ) = f (x ) - g (x ) 有且只有一个零点,求实数 a 的值; ( 3 若 0 < a < 1 , 对 于 区 间 1, 2 上 的 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 x 1 , x 2 , 都 有

[ ]

f (x 1 ) - f (x 2 ) > g (x 1 ) - g (x 2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

淮海中学 2017 届高三第二次阶段性测试文科参考答案
一、填空题: 1. {1, 2, 3} 10. 2. ?

3.

2

4.-9

5. 13. (

1 3

6.

2 . 3

7.364

8. y ? 1

9. ?

3 2 ? 3 3

29 18

11.

5 2

12. [?2 2 ,2 2 ]

e ?1 ,1) ? (1, e ? 1] 2

14. 1 ? 2 ? m ? 0

二、解答题: 15. (本小题满分 14 分) 解:(1)因为

2b ? c cos C ? a cos A

(2 b ? c ) c oA s ?

a c ,由正弦定理得 o Cs

(2sin B ? sin C ) cos A ? sin A cos C ,

即 2sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A =sin(A+C)
[来源:学科网 ZXXK]



… … … … 4



因为 B=π-A-C,所以 sinB=sin(A+C),所以 2sin B cos A ? sin B . 因为 B∈(0,π),所以 sinB≠0,

1 ? 所以 cos A ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 2 3
(2)△ABC 的面积为

………………7 分

3 ,且 a ? 5 2

? 3 1 3 1 ? ? bc ? ? S ? bc sin A ? ? 2 2 由? , ?? 2 2 1 2 2 2 ?a ? b ? c ? 2bc cos A ?5 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? ? ? 2 ?

?bc ? 2 ? (b ? c) 2 ? 7 ? 4 ? 11.所以 b ? c ? 11 ……………12 分 ? 2 2 ?b ? c ? 7
周长 a ? b ? c ? 5 ? 11 16.解: (1 )? cos ?AOB ? ………………14 分

3 4 ,? sin ?AOB ? ………………2 分 5 5

? cos ?AOC ? cos(?AOB ? 600 ) ?

3? 4 3 . 10 4?3 3 . ………………5 分 10

sin ?AOC ? sin(?AOB ? 600 ) ?

? A 点坐标为 (

3? 4 3 4?3 3 , ). ………………7 分 2 2

15 ? ? 10 3 ??? ? ??? ? 5 5 3 3 2 3 (2)向量 OA ? (?3, 4), BC ? ( , ? ……12 分 ) …9 分? cos ? ? 2 ?? ? 2 2 5? 5 10 5
因此, cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ?

7 ? 24 3 ………………14 分 50

17.解: (1)如图,设圆心为 O,连结 OC ,设 BC ? x , 法 一 易 得 A B ?2
0 , x?( , 9 ?0 2 0 x 3 故 0 ) , 所 求 矩 形 A B C的D面

积 为

S ( x) ? 2x 900 ? x2

………3 分

? 2 x 2 ? 900 ? x 2 ? ≤x2 ? 900 ? x2 ? 900 ( cm 2 )

?

?

(当且仅当 x 2 ? 900 ? x 2 , x ? 15 2 ( cm )时等号成立) 此时 BC ? 15 2 cm ; ……6 分

? ; 则 BC ? 30sin ? , OB ? 30 cos ? , ? ? , ? ? 0, 法二 设 ?C O B ?
所以矩形 ABCD 的面积为 S (? ) ? 2 ? 30sin ? ? 30cos? ? 900sin 2? , 当 sin 2? ? 1 ,即 ? ? ? 时, S (? )max ? 900 ( cm 2 )此时 BC ? 15 2 cm ; ? ………3 分 ………6 分

? ?

2 (2)设圆柱的底面半径为 r ,体积为 V ,由 AB ? 2 900 ? x2 ? 2?r 得, r ? 900 ? x , ?

, 3, 0) 所以 V ? ?r 2 x ? 1 ? 900 x ? x3 ? ,其中 x ? ( 0 ?

………9 分

10 3 上单调递增, 30 由 V ? ? 1 ? 900 ? 3x 2 ? ? 0 得 x ? 10 3 , 此时,V ? 1 ? 900 x ? x3 ? 在 0, 在 10 3, ? ?

?

?

?

?

上单调递减, 故当 x ? 10 3 cm 时,体积最大为 6000 3 cm 3 ,………13 分 ? 答: (1)当截取的矩形铁皮的一边 BC 为 15 2 cm 为时,圆柱体罐子的侧面积最大. (2)当截取的矩形铁皮的一边 BC 为 10 3 cm 为时,圆柱体罐子的体积最大.………14 分
10 ? ? 10 4 ? 1, ? ? 18.解: (1)由已知,得 ? a 2 b 2 ?4 4 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

?a 2 ? 2 0 , 解得 ? 2 ? b ? 5.

x2 y 2 ………4 分 ? ? 1. 20 5 m?2 n?2 (2)设点 C (m, n) (m ? 0, n ? 0) ,则 BC 中点为 ( , ). 2 2
所以椭圆的标准方程为 由已知,求得直线 OA 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,从而 m ? 2n ? 2 .① 又∵点 C 在椭圆上,∴ m2 ? 4n 2 ? 20 .②

由①②,解得 n ? 2 (舍) , n ? ?1 ,从而 m ? ?4 . 所以点 C 的坐标为 (?4, ?1) .…8 分 (3)设 P( x0 , y0 ) , M (2 y1 , y1 ) , N (2 y2 , y2 ) . ∵ P, B, M 三点共线,∴ ∵ P, C , N 三点共线,∴
y ?2 2( x0 ? y0 ) y1 ? 2 ,整理,得 y1 ? .………………10 分 ? 0 2 y1 ? 2 x0 ? 2 2 y0 ? 2 ? x0 y ?1 x ? 4 y0 y2 ? 1 ,整理,得 y2 ? 0 .………………12 分 ? 0 2 y2 ? 4 x0 ? 4 2 y0 ? 2 ? x0

∵点 C 在椭圆上,∴ x02 ? 4 y02 ? 20 , x02 ? 20 ? 4 y02 . 从而 y1 y2 ?
2( x02 ? 4 y02 ? 5 x0 y0 ) 2(20 ? 5 x0 y0 ) 5 5 ? ? 2? ? . 2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 16 ? 4 x0 y0 4 2

…………………14 分

???? ? ???? ???? ? ???? 25 25 所以 OM ? ON ? 5 y1 y2 ? .∴ OM ? ON 为定值,定值为 . 2 2

………………16 分
- b2

19.解:(1)由题意 a1a2a3…an= ( 2)bn ,b3-b2= 6,知 a3=( 2)b3 又由 a1=2,得 q ?
2

=8. 设数列{an}的公比为 q,

a3 ? 4 ,q=2(q=-2 舍去),所以数列{an}的通项为 an=2n(n∈N*).…3 分 a1
n(n+1) 2

所以,a1a2a3…an=2

=( 2)n(n

+1).

故数列{bn}的通项为 bn=n(n+1)(n∈N*).

…………6 分

1 1 1 1 1 1 1 (2)(i)由(1)知 cn= - = n-?n-n+1?(n∈N*).所以 Sn= - n(n∈N*). …10 分 an b n 2 ? ? n+1 2 1) ? 1 ?n(n+ (ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当 n≥5 时,cn= -1 , 2n ? n(n+1)? n(n+1) (n+1)(n+2) (n+1)(n-2) 而 - = >0, + + 2n 2n 1 2n 1 n(n+1) 5×(5+1) 得 ≤ <1,所以,当 n≥5 时,cn<0. 2n 25 综上,若对任意 n∈N*恒有 Sk≥Sn,则 k=4. 20. (1) f ' ( x) ? 2 x ? …………16 分

2a 2 x 2 ? 2 a ? x x
………2 分

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,f (x)在 (0,??) 上递增,f (x )无极值 当 a ? 0 时, x ? (0, a ) 时, f ' ( x) ? 0 ,f (x)递减;

x ? ( a ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,f (x)递增,所以 f (x)有极小值 f ( a ) ? a ? a ln a
综上,当 a ? 0 时,f (x)无极值;当 a ? 0 时,f (x) 有极小值 f ( a ) ? a ? a ln a ,无极大值…4 分

(2) h( x) ? x 2 ? 2a ln x ? 2ax ,则 h' ( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2ax ? 2a ? 2a ? x x

因为 a ? 0 ,令 h' ( x) ? 0 ,得 x0 ? 所以 h (x)有极小值 h( x0 ) ? 0 且 2x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0
2 2

a ? a 2 ? 4a ,故 h (x)在 (0, x0 ) 上递减,在 ( x0 ,??) 上递增, 2
…………6 分

x0 ? 2a ln x0 ? 2ax0 ? 0

联立可得 2 ln x0 ? x0 ? 1 ? 0

令 m( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,得 m' ( x) ?

2 ? 1 ? 1 ,故 m (x)在 (0,??) 上递增 x
…………10 分

又 m (1 ) = 0,所以 x0 ? 1 ,即

a ? a 2 ? 4a 1 ?1? a ? 2 2

(3)不妨令 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,因为 0 < a < 1,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 由(1)可 知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 )
[来源 :学科网 ZXXK]

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) 所以 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? 2a ln x ? 2ax 在[1,2]上递增 所以 h' ( x) ? 2 x ?

2a ? 2a ? 0 在[1,2]上恒成立, x

…………12 分

x2 即a ? 在[1,2]上恒成立 x ?1
所以 a ? (0, ]

x2 1 1 ? t ? ? 2 ? , ……14 分 令 t ? x ? 1?[2,3] ,则 x ?1 t 2
…………16 分

1 2


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