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17-18版 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例


第三节 平面向量的数量积与平面向 量应用举例 ———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的 数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量数量积的 运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问题. 1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积).规定:零向量与任一向量的数量积为 0. (2)几何意义:数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 2.平面向量数量积的运算律 (1)交换律:a· b=b· a; (2)数乘结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); (3)分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉. 结论 模 数量积 夹角 a⊥b 几何表示 |a|= a· a a· b=|a||b|cos θ a· b cos θ=|a||b| a· b=0 坐标表示 2 |a|= x1 +y2 1 a· b=x1x2+y1y2 cos θ= x1x2+y1y2 2 2 2 x1+y2 1· x2+y2 x1x2+y1y2=0 1 |a· b|与|a||b|的关系 |a· b|≤|a||b| 2 2 2 |x1x2+y1y2|≤ x1 +y2 1· x2+y2 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 两 个 向 量 的 数 量 积 是 一 个 实 数 , 向 量 的 数 乘 运 算 的 运 算 结 果 是 向 量.( ) ) ) ) (2)由 a· b=0,可得 a=0 或 b=0.( (3)由 a· b=a· c 及 a≠0 不能推出 b=c.( → → → → (4)在四边形 ABCD 中, AB=DC且AC· BD=0, 则四边形 ABCD 为矩形. ( [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× → ?1 3? → ? 3 1? 2. (2016· 全国卷Ⅲ)已知向量BA=? , ?, BC=? , ?, 则∠ABC=( 2 2 ? ? ? 2 2? A.30° C.60° A B.45° D.120° ) 3 3 3 → ?1 → → 3? → ? 3 1? [因为BA=? , ?,BC=? , ?,所以BA· BC= 4 + 4 = 2 .又因为 ?2 2 ? ? 2 2? 3 → → → → BA· BC=|BA||BC|cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以 cos∠ABC= 2 .又 0° ≤∠ ABC≤180° ,所以∠ABC=30° .故选 A.] 3.(2015· 全国卷Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a= ( A.-1 C.1 C B.0 D.2 ) [法一:∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a· b=-3, 从而(2a+b)· a=2a2+a· b=4-3=1. 法二:∵a=(1,-1),b=(-1,2), ∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0), 从而

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