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广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中数学理试卷 Word版含答案

2013-2014 学年度第一学期高三期中考联考

理科数学试题
命题 人:潮州金山 中学 本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。 2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 3、答案一律写在答题区域内,不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无 效。 一、 选择题(满分 40 分) 1.已知命题 p : 对任意x ? R,有 cos x ? 1 ,则( A. ?p:存在x ? R,使 cos x ? 1 C. ?p:存在x ? R,使 cos x ? 1 2.已知 a ? R 且 a ? 0 ,则“ ) B. ?p:对任意x ? R,有 cos x ? 1 D. ?p:对任意x ? R,有 cos x ? 1 )

1 ? 1 ”是 “ a >1”的( a
B.必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 3.设全集 U=R,A= {x | 2

D.既不充分也不必要条件
x ( x ? 2)

? 1}, B ? {x | y ? ln(1? x )},则
) C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1}
'



图中阴影部分表示的集合为( A. {x | x ? 1}

B. {x |1 ? x ? 2}
2

4.若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ( x) 的图象是(

) 5. 若

x, y
满 足 约

? 2 x ? y ? 10 ? 束条件 ? 0 ? x ? 4 ,则 z ? 4 x ? 3 y 的最小值为( ? 0? y?8 ?
A.20 B.22 C.24 D.28

)

6. 将函数 y ? sin( x ?

(纵坐标不变) , 再 ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 3 ? 将所得的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的解析式是( ) 3 1 1 ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) 2 2 2 1 ? ? C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 6 6 2 7. 已知定义在 R 上的周期为 2 的偶函数 f (x) , x ? ?0,1? 时, f ( x) ? x ? 2 x ,则 当 f (x) 在区间 ?0,2014 ? 内零点的个数为( A.3019 B.2020 ) C.3021 D.3022

?

8.在△ ABC 中,E、F 分别为 AB,AC 中点.P 为 EF 上任一点,实数 x,y 满足

? ??? ??? ??? ? ? 设△ ABC, PBC, PCA, PAB 的面积分别为 S,S1 ,S 2 ,S3 , △ △ △ PA +x PB +y PC = 0 .


S S1 S ? ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则当 ? 2· 3 取最大值时,2x+y 的值为( S S S 3 3 A.-1 B.1 C.- D. 2 2



二、填空题(满分 30 分) (一)必做题: 第 9 至 13 题为必做题, 每道试题考生都必须作答. 9.在 ?ABC中,若?A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7, 则AC ?
0

10.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为 11.设数列 ?an ? , ?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? _____ 12.若函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? 4 的图象关于直线 y ? x 对称,则函数 y ? f ( x) 的
x

解析式为__________________

13.定义:如果函数 y ? f (x) 在定义域内给定区间 [a,b] 上存在 x 0 (a ? x 0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f (x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”, x 0 是它的一个均 b?a
4

值点。例如 y ? x 是 [?1, 1] 上的平均值函数,0 就是它的均值点。现有函数

f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是
(二)选做题: 第 14、15 题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的 得分。

?? ? 14.以极坐标系中的点 ? 1 , ? 为圆心,1 为半径的圆的方程 6? ?


C

B

O

E

A

P

D

15.如图, PC 切⊙ O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O , 弦 CD ⊥ AB 于点 E , PC ? 4 , PB ? 8 ,则 CD ? _______.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分) 16. (本题满分 12 分)
?? ?? ?? ??

2 已知 a ? ( 2 cos x, 3 ) , b ? (1, sin 2 x ) ,函数 f ( x ) ? a ? b ? 1 , g ( x) ? b ? 1 .

?? 2

(Ⅰ)求函数 g (x) 的零点的集合; (Ⅱ)求函数 f (x) 的最小正周期及其单调增区间.

17. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知内角 A ?

?
3

,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x , ?ABC 的面积为 y .

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的值域.

18. (本小题满分 12 分) 设 a1 ,d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足

S5 S6 ? 15 ? 0, S5 ? 5 , (Ⅰ)求通项 an 及 S n ;
(Ⅱ)设 ?bn ? 2an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 和 Tn . 19. (本小题满分 14 分) 在一般情况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米) 的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 0; 0 ? x ? 20 当 时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时) f ?x ? ? x ? v?x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) 20.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? ae , g ( x) ? ln x ? ln a ,其中 a 为常数,e ? 2.718?,函数 y ? f ( x) 和
x

y ? g ( x) 的图像在它们与坐标轴交点处的切线分别为 l1 , l 2 ,且 l1 // l2
(Ⅰ)求常数 a 的值及 l1 , l 2 的方程; (Ⅱ)求证:对于函数 f ( x) 和 g ( x) 公共定义域内的任意实数 x ,有 | f ( x) ? g ( x) |? 2 ;

(Ⅲ)若存在 x 使不等式 21. (本小题满分 14 分)

x?m ? x 成立,求实数 m 的取值范围。 f ( x)

设函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x .(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间
2

(Ⅱ)若函数 f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求证: f '(

x1 ? x2 )?0 2

2013-2014 学年度第一学期高三期中考联考 理科数学试题参考答案
一、选择题:

题号 答案

1 C

2 B

3 B

4 A

5 B

6 C
y ? l o gx 4

7 D

8 D
13、 ?0,2 ?

二、填空题: 9、 3 10、 2 11、 35 12、

?? ? 14、 ? ? 2cos ? ? ? ? 6? ?

15、 4.8

三、解答题: 16(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? b ? 1 ? sin 2 2 x 由 g ( x) ? 0 得 sin 2 x ? 0 ? 2 x ? k? ?k ? Z ? 即 x ? 故函数 g (x) 的零点的集合为 x x ?
?? ??

?? 2

…………3 分

?

k? ?k ? Z ? 2

k? ?k ? Z ? 2

…………5 分 …………6 分

?

2 2 (Ⅱ) f ( x) ? a ? b ? 1 ? ( 2 cos x, 3 ) ? (1, sin 2 x ) ? 1 ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1

? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 6 2? ∴函数 f (x) 的最小周期 T ? ?? 2
由?

?

…………8 分 …………9 分

?

2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

?

?

2

? 2k? ?k ? Z ? 得 ?

?

3

? k? ? x ?

?
6

? k? ?k ? Z ?

……11 分

故函数 f (x) 的单调增区间为 ?? 17(本小题满分 14 分)

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?k ? Z ? 6 ? 3 ?

…………12 分

解: (Ⅰ) ?ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ? A ?

?
3

BC BC 2? s i n ? 4 s x n ? AB ? B i s i n ? 4 s i n (? x C sin A sin A 3 2? 1 2? ) ? y ? AB ? AC sin A ? 4 3 sin x sin( ? x) ( 0? x ? 3 2 3 ? AC ?

)

………5 分

……………7 分

(Ⅱ)? y ? 4 3 sin x sin(

2? 3 1 ? x) ? 4 3 sin x( cos x ? sin x) 3 2 2

? 6sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 2 3 sin(2 x ? ) ? 3 6 ? ? 7? ? ? ? 2x ? ? 6 6 6

?

………………………11 分 …………………12 分

??

1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 2 6? ?
即值域为

…………………13 分

?0 ? y ? 3 3

? 0, 3

3? ?

………………………14 分

18(本小题满分 12 分)

解: (1)由 S5 S6 ? 15 ? 0 及 S5 ? 5 ,有 S 6 ? ?3 有?

………………………1 分

?5a1 ? 10d ? 5 ?6a1 ? 15d ? ?3

解得 ?

? a1 ? 7 ? d ? ?3

………………………4 分

? an ? 7 ? (n ? 1)(?3) ? ?3n ? 10

……………………………5 分 …………………………6 分
n ?1

? Sn ?

7 ? (?3n ? 10) 3 17 n ? ? n2 ? n 2 2 2
n ?1

(2)由题意有 bn ? 2an ? 3

,又由(1)有 bn ? 3

? 20 ? 6 n

………8 分

? Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? 2a1 ) ? (3 ? 2a2 ) ? ? ? (3n ?1 ? 2an )
? 1 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ? 2(a1 ? a2 ? ? ? an ) ?
19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v?x ? ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v?x ? ? ax ? b , ……………2 分

1 ? 3n 3n ? 1 ? 2Sn ? ? 3n2 ? 17n 1? 3 2

…12 分

1 ? ?a ? ? 3 200 a ? b ? 0 ? ? 显然 v?x ? ? ax ? b 在 ?20,200 ?是减函数,由已知得 ? ,解得 ? ?20 a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v ? x ? 的表达式为 v ? x ? = ? 1 20 ? x ? 200 . ? 3 ?200 ? x ?, ?

……………6 分

0 ? x ? 20, ?60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ?x ? ? ? 1 20 ? x ? 200 . ? 3 x?200 ? x ?, ?
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;
2

……………9 分

1 1 ? x ? ?200 ? x ?? 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ? x?200 ? x ? ? ? ? ? 3 , 3 3? 2 ?
当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?20,200 ?上取得最大值

10000 ? 3333 3

…………13 分

综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200 ?上取得最大值约为 3333 辆/小时.…………14 分 20(本小题满分 14 分) (Ⅰ) f ( x) 与坐标轴的交点为 (0, a) , f '(0) ? a ,g ( x) 与坐标轴交点为 (a, 0) ,g '(a) ?

1 a

?a ?

1 ,解得 a ? ?1 ,又 a ? 0 ,故 a ? 1 a

…………………………………3 分 …………………………………5 分 …………………………………6 分

? l1 方程: y ? x ? 1 , l 2 方程: y ? x ? 1
(Ⅱ)函数 f ( x) 和 g ( x) 公共定义域为 (0, ??) ,

| f ( x) ? g ( x) |?| e x ? ln x |? e x ? ln x .令 h( x) ? e x ? x ? 1 ,则 h '( x) ? e x ? 1 ? 0

? h( x) 在 (0, ??) 上是增函数.故 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 e x ? 1 ? x
令 m( x) ? ln x ? x ? 1 ,则 m '( x) ?



……………8 分

1 ?1 x

当 x ? 1 时, m '( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, m '( x) ? 0

? m( x) 有最大值 m(1) ? 0 ,因此 ln x ? 1 ? x
由①②,得 e ? 1 ? ln x ? 1 ,即 e ? ln x ? 2
x x



? | f ( x) ? g ( x) |? 2
(Ⅲ)

……………………………… 10 分 ……………………………… 11 分

x?m ? x 可化为 m ? x ? xe x f ( x)
x

令 h( x) ? x ? xe ,则 h '( x) ? 1 ? (

1 2 x

? x )e x

? x ? 0 ,?

1 2 x

? x ? 2 且 e x ? 1 ,故 h '( x) ? 0

? h( x) 在 (0, ??) 是减函数,因此 h( x) ? h(0) ? 0 ?实数 m 的取值范围是 (??, 0)
21(本小题满分 14 分) …………………………………………14 分

(Ⅰ) f '( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a)( x ? 1) ? ( x ? 0) ……2 分 ? x x x

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) 当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? …………………………4 分

a a ;由 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2 2 a a 所以函数的单调增区间为 ( , ??) ,单调减区间为 (0, ) …………… 2 2
……6 分 (Ⅱ)因为 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,有 0 ? x1 ? x2 , a ? 0 则 x1 ? (a ? 2) x1 ? a ln x1 ? 0 , x2 ? (a ? 2) x2 ? a ln x2 ? 0
2 2

两式相减得 x1 ? (a ? 2) x1 ? a ln x1 ? x2 ? (a ? 2) x2 ? a ln x2 ? 0
2 2

即 x1 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x2 ? ax1 ? a ln x1 ? ax2 ? a ln x2 ? a( x1 ? ln x1 ? x2 ? ln x2 )
2 2

x12 ? 2 x1 ? x2 2 ? 2 x2 所以 a ? x1 ? ln x1 ? x2 ? ln x2

……………………………8 分

又因为 f '( ) ? 0 ,当 x ? (0, ) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0

a 2

a 2

a 2

故只要证

x 2 ? 2 x1 ? x2 2 ? 2 x2 x1 ? x2 a ? 即可,即证明 x1 ? x2 ? 1 x1 ? ln x1 ? x2 ? ln x2 2 2

…………………10 分

即证明 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(ln x1 ? ln x2 ) ? x1 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x2 ,
2 2 2 2

即证明 ln

x1 2 x1 ? 2 x2 ? , x2 x1 ? x2

……………………………………12 分

设t ?

x1 2t ? 2 , (0 ? t ? 1) .令 g (t ) ? ln t ? x2 t ?1

则 g '(t ) ? ?

(t ? 1) 2 1 4 ? ,因为 t ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 ,当且仅当 t ? 1 时, g '(t ) ? 0 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

所以 g (t ) 在 (0, ??) 是增函数;又因为 g (1) ? 0 ,所以当 t ? (0,1) 时, g (t ) ? 0 总成立. 所以原题得证. ……………………………………14 分


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