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北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编:立体几何


北京市各地 2015 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 立体几何
一、选择题 1、(昌平区 2015 届高三上学期期末)某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三 角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是

A. 8

B.

8 3

C. 4

D.

4 3

2、(昌平区 2015 届高三上学期期末)已知直线 m 和平面 α,β,则下列四个命题中正确的是 A. 若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? C. 若 ? / / ? , m ? ? ,则 m ? ? B. 若 ? / / ? , m / /? ,则 m / / ? D. 若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ?

3、 (朝阳区 2015 届高三上学期期末)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是

A. 4 ? 2 6

B. 8

C.

4? 2 3

D. 4 3

4、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下列四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ;

②若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;③若 l ∥ m ,则 ? ? ? ;④若 l ? m学科网 ,则 ? ∥ ? . 以上命题中,正确命题的序号是 (A)①② (C)②④ (B)①③ (D)③④

5、 (东城区 2015 届高三上学期期末)在空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标为分别 为 (0, 0, 2) , (2, 2, 0) , (0, 2, 0) , (2, 2, 2) .画该四面体三视图中的正视图时,以 xOz 平面为 投影面,则得到正视图可以为

(A)

(B)

(C)

(D)

6、(丰台区 2015 届高三上学期期末)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱 锥的侧视图和俯视图,则该三棱锥的正视图可能是

7、(海淀区 2015 届高三上学期期末)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥四个面的面积中最大 的是( )

4

正(主)视图

侧(左)视图

3 4 俯视图

(A) 2 34

(B) 12

(C) 8 3

(D) 6 2

8、(石景山区 2015 届高三上学期期末)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的 是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

A. 2 2

B. 6

C. 2 3

D. 3

9、(西城区 2015 届高三上学期期末)6.一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下 列说法中正确的是( )

(A)最长棱的棱长为 6 2 (B)最长棱的棱长为 3 (C)侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 (D)侧面四个三角形都是直角三角形 1 1 俯视图 锥 1 1 正(主)视图 1 侧(左)视图 2

二、填空题 1、 (东城区 2015 届高三上学期期末)如图,在四棱

P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形, PD ? AD ? 2 , M , N 分别
为线段 AC 上的点.若 ?MBN ? 30 ,则三棱锥
?

M ? PNB 体积的最小值为

.
P

D M A N B

C

2、(海淀区 2015 届高三上学期期末)如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是边 BC 的 中点. 动点 P 在直线 BD1 (除 B, D1 两点)上运动的过程中,平面 DEP 可能经过的该正方体

的顶点是

. (写出满足条件的所有顶点)

3、(东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的 弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位: cm ),可得这个几何体的体积是__________ cm 。
3

三、解答题 1 、 ( 昌 平 区 2015 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 如 图 , PD 垂 直 于 梯 形 ABCD 所 在 的 平 面 ,

1 ?ADC ? ?BAD ? 90? . F 为 PA 中点, PD ? 2 , AB ? AD ? CD ? 1. 四边形 PDCE 为矩形, 2 线段 PC 交 DE 于点 N . (I) 求证: AC // 平面 DEF ; P E (II) 求二面角 A ? BC ? P 的大小; N (III)在线段 EF 上是否存在一点 Q ,使得 BQ 与
平面 BCP 所成角的大小为 若不存在,请说明理由.

? ? 若存在,请求出 FQ 的长; 6
A

F D B C

2、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点,点 F 在边 BC 上移动. (Ⅰ)若 F 为 BC 中点,求证: EF //平面 PAC ; (Ⅱ)求证: AE ? PF ; (Ⅲ)若 PB ?

2 AB ,二面角 E ? AF ? B 的余弦值等于

11 ,试判断点 F 在边 BC 上的位置, 11
P E A F

并说明理由.

B

D

C

3 、 ( 大 兴 区 2015 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形, EA ? 底面ABCD , EF / / AD ,且 AB ? 6 , AE ? 3 2 , EF ? 3 . (Ⅰ)若 AC 与 BD 交于点 O ,求证: EO / / 平面FCD ; (Ⅱ)求证: DE ? 平面ABF ; (Ⅲ)求二面角 A ? FD ? B 的余弦值.
A O B C D E F

4、 (东城区 2015 届高三上学期期末)如图, PA ? 平面 ABC , AB ? BC , AB ? PA ? 2 BC ? 2 ,

M 为 PB 的中点.
(Ⅰ)求证: AM ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC ,并求

PD 的值. PC
C

A M P

D B

5、(丰台区2015届高三上学期期末)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面ABCD为平行四边形, PA⊥ 底面ABCD,M是棱PD的中点,且PA =AB =AC =2, BC ? 2 2 . (I)求证:CD⊥平面PAC; (Ⅱ)求二面角 M ? AB ? C 的大小; (Ⅲ)如果N是棱AB上一点,且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为

AN 10 ,求 的值. NB 5

6、(海淀区 2015 届高三上学期期末)如图所示,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1B 1B 为正方形,

BB1C1C 为菱形, ?BB1C1 =60 ,平面 AA1B1B ? 平面 BB1C1C .
(Ⅰ)求证: B1C ? AC1 ; (Ⅱ)设点 E , F 分别是 B1C, AA1 的中点,试判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)求二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值.
C C1 E

B A F A1

B1

7 、 ( 石 景 山 区 2015 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 如 图 , 在 四 面 体 A ? B C D 中 , AD ? 平 面

B C D, BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 ABC ? 平面 ADC ; (Ⅱ)若点 Q 在线段 AC 上,且满足 AQ ? 3QC ,求证: PQ // 平面 BCD ; (Ⅲ)若 ?BDC ? 60? ,求二面角 C ? BM ? D 的大小.

8、 (西城区 2015 届高三上学期期末)如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 A ? 底面 ABCD ,

?BAD ? 90 , AD // BC ,且 A1 A ? AB ? AD ? 2BC ? 2 ,点 E 在棱 AB 上,平面 A1EC 与棱 C1D1 相
交于点 F. (Ⅰ)证明: A1F ∥平面 B1CE ; (Ⅱ) 若 E 是棱 AB 的中点, 求二面角 A1 ? EC ? D 的余弦值; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? A1EF 的体积的最大值. E B C B1 A1 C1 F D1

A

D

9、 (东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=∠BAD=90°,AD=2PA=2AB=2BC=2。

(I)求三棱锥 P ? ACD 的外接球的体积; (II)求二面角 B ? PC ? A 与二面角 A ? PC ? D 的正弦值之比。

参考答案
一、选择题 1、D 2、C 7、A 8、D 二、填空题 3、A 9、D 4、B 5、A 6、A

1、

2、 A1 , B1 , D

3、 8 ? ?

三、解答题 1、解:(Ⅰ)连接 FN , 在 ?PAC 中, F , N 分别为 PA, PC 中点,所以 FN / / AC , 因为 FN ? 平面DEF , AC ? 平面DEF , 所以 AC / / 平面DEF …………………4 分

(Ⅱ) 如 图 以 D 为 原 点 , 分 别 以 DA, DC , DP 所 在 直 线 为 x,y,z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系

D ? xyz.

…………………5 分

则 P(0,0, 2), B(1,1,0), C(0,2,0), 所以 PB ? (1,1, ? 2), BC ? (?1,1,0). 设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x, y, z ), 则 ?

? ?m ? PB ? ( x, y, z ) ? (1,1, ? 2) ? 0 ? ?m ? BC ? ( x, y, z ) ? (?1,1, 0) ? 0

,

即?

? ? ?x ? y ? 2z ? 0 ?x ? x , 解得 ? , ? ? ?? x ? y ? 0 ?z ? 2x

?x ? 1 ? 令 x ? 1 ,得 ? y ? 1 , 所以 m ? (1,1, 2). …………………7 分 ? ?z ? 2
因为平 面ABC的法向量 n ? (0,0,1), 所以 cos n, m ?

n?m n?m

?

2 学科网 , 2
? . 4

由图可知二面角 A ? BC ? P 为锐二面角, 所以二面角 A ? BC ? P 的大小为 (Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件. 由 F ( , 0, …………………9 分

1 2

2 ), E (0, 2, 2). 设 FQ ? ? FE(0 ? ? ? 1) , 2

1? ? 2(1 ? ? ) 1? ? 2(1 ? ? ) , 2? , ) , BQ ? (? , 2? ? 1, ), …………………11 分 2 2 2 2 ? 因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 , 6
整理得 Q( 所以 sin

? BQ ? m | 5? ? 1| 1 ?| cos BQ, m |?| |? ? , 2 6 BQ ? m 2 19? ? 10? ? 7 2

…………………13 分

2 则 ? ? 1,由0 ? ? ? 1知 ? ? 1 ,即 Q 点与 E 点重合.

故在线段 EF 上存在一点 Q ,且 | FQ |?| EF |?

19 . 2

…………………14 分

2、(Ⅰ)证明: 在 ?PBC 中,因为点 E 是 PB 中点,点 F 是 BC 中点, 所以 EF // PC . 又因为 EF ? 平面 PAC , PC ? 平面 PAC , 所以 EF //平面 PAC .……………..4 分 (Ⅱ)证明: 因为底面 ABCD 是正方形,所以 BC ? AB . 又因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,平面 PAB 且 BC ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 PAB . 由于 AE ? 平面 PAB ,所以 BC ? AE . 由已知 PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点,所以 AE ? PB . 又因为 PB 平面 ABCD = AB ,

BC =B ,所以 AE ? 平面 PBC .

因为 PF ? 平面 PBC ,所以 AE ? PF .……………..9 分 (Ⅲ)点 F 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点. 因为 PA ? AB , PB ?

2 AB ,所以 PA ? AB .
z F

由(Ⅱ)可知, BC ? 平面 PAB .又 BC // AD , 所以 AD ? 平面 PAB ,即 AD ? PA , AD ? AB . 所以 AD , AB , AP 两两垂直. 分别以 AD , AB , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴 建立空间直角坐标系(如图). 不妨设 AB ? 2 , BF ? m ,则

P E

A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0) , P(0, 0, 2) , E (0,1,1) , F (m, 2, 0) .
D 于是 AE ? (0,1,1) , AF ? (m, 2,0) . 设平面 AEF 的一个法向量为 n ? ( p, q, r ) , x F

A F C

B y

由?

? ? n ? AE ? 0, ? ?n ? AF ? 0,

得?

? q ? r ? 0, 取 p ? 2 ,则 q ? ?m , r ? m , mp ? 2 q ? 0. ?

得 n ? (2, ?m, m) .

由于 AP ? AB , AP ? AD , AB

AD ? A ,所以 AP ? 平面 ABCD .

即平面 ABF 的一个法向量为 AP ? (0,0, 2) .

根据题意,

n ? AP | n | ? | AP |

?

2m 4 ? 2m ? 2
2

?

2 11 ,解得 m ? . 3 11

由于 BC ? AB ? 2 ,所以 BF ?

1 BC . 3

即点 F 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点.……………..14 分 3、证明:(Ⅰ)如图,取 CD 中点 G ,连 OG , FG , 在 ?CAD 中,因为 O, G 分别是 CA, CD 的中点, 所以 OG ∥ AD ,且 OG ?

E

F

1 AD , 2 1 AD , 2

又由已知得, EF ∥ AD ,且 EF ?

A

D

G O EO // FG ………3 分 所以 EF // B C ? OG ,所以四边形 OGFE 是平行四边形,所以 O
又 EO ? 平面FCD , FG ? 平面FCD 所以 EO // 平面FCD ………4 分 (Ⅱ)如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0) , B(6,0,0) , F (0,3,3 2 )

z

E

F

D(0,6,0) , E(0,0,3 2 ) ,………2 分
所以 DE ? (0,?6,3 2 ) ,

A
O

D

y

AB ? (6,0,0) , AF ? (0,3,3 2 )
所以 DE ? AB ? 0 , 且 DE ? AF ? 0 ? 18 ? 18 ? 0 所以 DE ? AB , DE ? AF ; 又 AB ? AF ? A ,所以 DE ? 平面ABF (Ⅲ) 设平面 BFD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 由(Ⅱ)知 DF ? (0,?3,3 2 ) , DB ? (6,?6,0)

B
x
………4 分 ………5 分

C

所以 ?

? ?n ? DF ? ?3 y ? 3 2 z ? 0 ? ?n ? DB ? 6 x ? 6 y ? 0

,令 z ? 1 ,得 n ? ( 2 , 2 ,1)

………2 分

又平面 AFD 的法向量为 AB ? (6,0,0) 设二面角 A ? FD ? B 的大小为 θ , θ 是锐角

………3 分

则 cos θ ?

n ? AB n ? AB

?

6 2 10 ? 5 6 5

所以二面角 A ? FD ? B 的余弦值为 4、

10 5

………5 分

5、证明:(I)连结 AC. 因为为在 ?ABC 中,

AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 ,
所以 BC 2 ? AB2 ? AC 2 , 所以 AB ? AC . 因为 AB//CD, 所以 AC ? CD . 又因为 PA ? 地面 ABCD, 所以 PA ? CD . 因为 AC PA ? A , 所以 CD ? 平面 PAC. ……………4 分 (II)如图建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), P(0,0, 2), B(2,0,0), C(0, 2,0), D( ?2, 2,0) . 因为 M 是棱 PD 的中点, 所以 M (?1,1,1) . 所以 AM ? (?1,1,1) , AB ? (2,0,0) . 设 n ? ( x, y, z) 为平面 MAB 的法向量, 所以 ?

? ?n ? AM ? 0 ? ?n ? AB ? 0



即?

?? x ? y ? z ? 0 , ?2 x ? 0

?x ? 0 ? 令 y ? 1 ,则 ? y ? 1 , ? z ? ?1 ?
所以平面 MAB 的法向量 n ? (0,1, ?1) . 因为 PA ? 平面 ABCD, 所以 AP ? (0,0, 2) 是平面 ABC 的一个法向量. 所以 cos n, AP ?

n ? AP AP n

?

?2 2 . ?? 2 2? 2
? .……………4 分 4

因为二面角 M ? AB ? C 为锐二面角, 所以二面角 M ? AB ? C 的大小为

(III)因为 N 是棱 AB 上一点,所以设 N ( x, 0, 0) , NC ? (? x, 2,0) .

设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 ? , 因为平面 MAB 的法向量 n ? (0,1, ?1) ,

所以 sin ? ? cos(

? n ? NC 2 10 ? ?) ? ? ? . 2 2 5 n NC 2? x ?4
AN ?1. NB

解得 x ? 1 ,即 AN ? 1 , NB ? 1 ,所以 ……………14 分

6、证明:(Ⅰ)连接 BC1 . 在正方形 ABB1 A 1. 1 中, AB ^ BB 因为 平 面 AA 1C1C , 平 面 1B 1B ? 平 面 BB 平 面 B B C 1 C 1 ? , B B AB ? 平 面 1
C C1

AA1B1B ABB1 A1 ,

所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ^ B1C .

………………1 分
A

B A1

B1

………………2 分

在菱形 BB1C1C 中, BC1 ^ B1C . 因为 BC1 ? 平面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 , BC1 所以 B1C ^ 平面 ABC1 . 因为 AC1 ? 平面 ABC1 , 所以 B1C ? AC1 . (Ⅱ) EF ∥平面 ABC ,理由如下: 取 BC 的中点 G ,连接 GE, GA . ………………5 分 ………………6 分

AB = B ,
………………4 分

因为 E 是 B1C 的中点, 所以 GE ∥ BB1 ,且 GE = 因为 F 是 AA1 的中点, 所以 AF =

1 BB1 . 2

1 AA1 . 2

C

C1 G

在正方形 ABB1 A 1 ∥ BB1 , AA 1 = BB 1. 1 中, AA 所以 GE ∥ AF ,且 GE = AF . 所以 四边形 GEFA 为平行四边形. 所 以

E

B

B1 A1

EF



A

F

GA .
因为 EF ? 平面 ABC , GA ? 平面 ABC , 所以

………………8 分

EF ∥平面 ABC .

………………9 分

(Ⅲ)在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz ^ BB1 . 由(Ⅰ)可知: AB ^ 平面 BB1C1C . 以点 B 为坐标原点,分别以 BA, BB1 所在的直线为 x , y 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz ,设 A(2, 0, 0) ,则 B1 (0,2,0) . 在菱形 BB1C1C 中, ?BB1C1 =60 ,所以 C(0, ?1, 3) , C1 (0,1, 3) . 设平面 ACC1 的一个法向量为 n ? ( x, y,1) . 因为 ?

? ?n ? AC ? 0, ? ?n ? CC1 ? 0

即?

?( x, y,1) ? (?2, ?1, 3) ? 0, ? ? ?( x, y,1) ? (0, 2, 0) ? 0,
C

z C1 E

? 3 , ?x ? 所以 ? 2 即 ? y ? 0, ?

B A x F A1

B1

y

n?(

3 , 0,1) . 2

………………11 分

由(Ⅰ)可知: CB1 是平面 ABC1 的一个法向量.

………………12 分

所以 cos ? n, CB1 ??

n ? CB1 n ? CB1

?

(

3 , 0,1) ? (0,3, ? 3) 7 2 ?? . 7 3 ?1 ? 9 ? 3 4
7 . 7
………………14 分

所以 二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值为

7、(Ⅰ)? AD ? 面BCD , BC ? 面BCD ? AD ? BC

………………2 分

? BC ? CD 且 AD ? CD ? D ? BC ? 面ACD

? BC ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD

………………4 分

A M P Q D

(Ⅱ)证明:如图所示,取 BD 中点 O,且 P 是 BM 中点,

1 所以 PO // MD 且 PO ? MD ; 2
取 CD 的四等分点 H,使 DH=3CH, 且 AQ =3QC, 所以, PO // QH 且 PO ? QH , 所以,四边形 OPQH 为平行四边形, 所以 PQ // OH ,且 OH ? BCD , 所以 PQ//面 BDC. (III)如图建系, 则 C (0,0,0) , B(0, 6 ,0) , M ( 2 ,0,1) , D( 2 ,0,0) 设面 CBM 的法向量 n ? ( x, y, z)

B

O
C

H

……………………9 分

……………………10 分 z
A

CB ? (0, 6,0) , CM ? ( 2,0,1)

? ? ?n ? CB ? 0 ? 6y ? 0 ,即 ? ? ? ? 2x ? z ? 0 ?n ? CM ? 0 ?
令 x ? 1 ,则 n ? (1,0,? 2 )

M P Q D C

y B

x

设面 BMD 的法向量 m ? ( x, y, z)

……………………11 分

BD ? ( 2 ,? 6 ,0) DM ? (0,0,1)

? ?m ? BD ? 0 ? 2 x ? 6 y ? 0 即? ? ? m ? DM ? 0 ?z ? 0 ?
令 y ? 1 , 则 m ? ( 3,1,0) ……………………12 分

cos ? n, m ??

1 2
…………………14 分

所以二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 ? 8、 (Ⅰ)证明:因为 ABCD ? A1B1C1D1 是棱柱, 所以平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1 . 又因为平面 ABCD 平面 A1ECF ? EC ,平面 A1B1C1D1 所以 A1F ∥ EC . 又因为 A1F ? 平面 B1CE , EC ? 平面 B1CE , 所以 A1F ∥平面 B1CE . (Ⅱ)解:因为 AA1 ? 底面 ABCD , ?BAD ? 90 ,

平面 A1ECF ? A1F , …………………2 分

…………………4 分

所以 AA1 , AB , AD 两两垂直,以 A 为原点,以 AB , AD , AA1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴, 如图建立空间直角坐标系. 则A 1 (0,0, 2) , E (1, 0, 0) , C (2,1, 0) , 所以 A , 1 ? (2,1, ?2) . 1E ? (1,0, ?2) AC 设平面 A1 ECF 的法向量为 m ? ( x, y, z ), 由 A1E ? m ? 0 , AC 1 ?m ? 0, 得? E x B C …………………5 分 z A1 M B1 C1 F D1

A

D

y

? x ? 2 z ? 0, ?2 x ? y ? 2 z ? 0.

令 z ? 1 ,得 m ? (2, ?2,1) .

…………………7 分

又因为平面 DEC 的法向量为 n ? (0,0,1) , 所以 cos ? m, n ??

…………………8 分

m?n 1 ? , | m|?| n | 3

由图可知,二面角 A1 ? EC ? D 的平面角为锐角, 所以二面角 A1 ? EC ? D 的余弦值为 . 解:过点 F 作 FM ? A1B1 于点 M ,

1 3

…………………10 分(Ⅲ)

? 平面 A1B1C1D1 , FM ? 平面 A1B1C1D1 , 因为平面 A 1 ABB 1
所以 FM ? 平面 A1 ABB1 , 所以 VB1 ? A1EF ? VF ? B1 A1E ? ? S ?A1B1E ? FM

1 3

…………………12 分

1 2? 2 2 ? ? ? FM ? FM . 3 2 3
因为当 F 与点 D1 重合时, FM 取到最大值 2(此时点 E 与点 B 重合) , 所以当 F 与点 D1 重合时,三棱锥 B1 ? A1EF 的体积的最大值为 9、解:(I)连接 AC,则 AC⊥CD, 又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, ∴CD⊥平面 PAC, 又 PC ? 平面 PAC, ∴∠PCD=90°,(2 分) 而∠PAD=90°, 从而三棱锥 P-ACD 外接球的球心为 PD 中点 E。(4 分) 直径 PD ? 12 ? 2 2 ? 5 , 所以三棱锥 P-ACD 外接球的体积

4 . ………………14 分 3

4 ? 5? 5 ? ? V ? ?? 5? 。(6 分) ? ? 3 ? 2 ? 6

3

(II)建立坐标系,以点 A 为坐标原点,

AB, AD, AP 分别为 x、y、z 轴正方向,
则 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)

BC ? ?0, 1, 0?, PB ? ?1, 0, ? 1? 。
设平面 PBC 的法向量 n ? ?x, y, z ? ,则 ? ∴ n =(1,0,1) 由(I)知 CD⊥平面 PAC,故平面 PAC 的一个法向量为 CD =(-1,1,0),(8 分) 所以 cos ? n, CD ??

? ?n ? BC ? 0 ? ?n ? PB ? 0

即?

? y ? 0, ?x ? z ? 0

1 ?? 。 2 1 ? 0 ?1 ? 1 ?1 ? 0
2 2 2 2 2 2

?1,

0, 1? ? ?? 1, 1, 0?

二面角 B-PC-A 的大小为

? 3 ,其正弦值为 ,(10 分) 3 2

由 CD⊥平面 PAC,得平面 PCD⊥平面 PAC,二面角 A-PC-D 为直二面角,其正弦值为 1, (12 分) 综上,二面角 B—PC—A 与二面角 A—PC—D 的正弦值之比为

3 。(13 分) 2


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北京市2015届高三理科数学期末一模分类汇编(立体几何)

北京市2015届高三理科数学期末一模分类汇编(立体几何)_数学_高中教育_教育专区。2014-2015学年度北京市高三理科数学期末一模立几汇编按照选择、填空、解答题分类2014...

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